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2020版物理新增分大一轮新高考（京津鲁琼）讲义：第九章磁场专题强化十
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专题强化十 带电粒子在复合场中运动的实例分析
专题解读 1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现．
2．学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力．针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题压轴题的信心．
3．用到的知识有：动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒定律)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律)．
一、带电粒子在复合场中的运动
1．复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现．
2．带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．
(3)较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．
二、电场与磁场的组合应用实例
装置
原理图
规律
质谱仪
带电粒子由静止被加速电场加速qU＝mv2，在磁场中做匀速圆周运动qvB＝m，则比荷＝
回旋加速器
交变电流的周期和带电粒子做圆周运动的周期相同，带电粒子在圆周运动过程中每次经过D形盒缝隙都会被加速．由qvB＝m得Ekm＝
三、电场与磁场的叠加应用实例
装置
原理图
规律
速度选择器
若qv0B＝Eq，即v0＝，带电粒子做匀速直线运动
电磁流量计
q＝qvB，所以v＝，所以流量Q＝vS＝π()2＝
霍尔
元件
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
命题点一 质谱仪的原理和分析
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器．
2．原理(如图1所示)
图1
(1)加速电场：qU＝mv2；
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r；由以上两式可得
r＝，m＝，＝.
例1 一台质谱仪的工作原理如图2所示．大量的带电荷量为＋q、质量为2m的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度忽略不计，经加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上．图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N时离子的运动轨迹．不考虑离子间的相互作用．
图2
(1)求离子打在底片上的位置到N点的最小距离x；
(2)在图中用斜线标出磁场中离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d.
答案 (1)－L
(2)见解析图 －
解析 (1)设离子在磁场中的运动半径为r1，
在电场中加速时，有qU0＝×2mv2
在匀强磁场中，有qvB＝2m，解得 r1＝
根据几何关系x＝2r1－L，解得x＝－L.
(2)如图所示，最窄处位于过两虚线交点的垂线上
d＝r1－，解得d＝－
变式1 (2016·全国卷Ⅰ·15)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图3所示，其中加速电压恒定．质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场．若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍．此离子和质子的质量比约为( )
图3
A．11 B．12 C．121 D．144
答案 D
解析 由qU＝mv2得带电粒子进入磁场的速度为v＝，结合带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R＝，联立得到R＝ ，由题意可知，该离子与质子在磁场中具有相同的轨道半径和电荷量，故离子和质子的质量之比＝144，故选D.
命题点二 回旋加速器的原理和分析
1．构造：如图4所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源．
2．原理：交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次．
图4
3．粒子获得的最大动能：由qvmB＝、Ekm＝mv得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关．
4．粒子在磁场中运动的总时间：粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝.
例2 (2018·山东省泰安市上学期期末)回旋加速器的工作原理如图5所示，置于真空中的两个D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直. 设两D形盒之间所加的交流电压为U，被加速的粒子质量为m、电荷量为q，粒子从D形盒一侧开始被加速(初动能可以忽略)，经若干次加速后粒子从D形盒边缘射出．求：
图5
(1)粒子从静止开始第1次经过两D形盒间狭缝加速后的速度大小；
(2)粒子第一次进入D形盒磁场中做圆周运动的轨道半径；
(3)粒子至少经过多少次加速才能从回旋加速器D形盒射出．
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)粒子在电场中被加速，由动能定理
qU＝mv
得：v1＝
(2)带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得，qv1B＝m
解得：r1＝
代入数据得：r1＝
(3)若粒子从回旋加速器D形盒射出，则粒子做圆周运动的轨道半径为R，设此时速度为vn
由洛伦兹力提供向心力得qvnB＝m，解得此时粒子的速度为vn＝
此时粒子的动能为Ek＝mv，代入数据得Ek＝
粒子每经过一次加速动能增加qU，设经过n次加速粒子射出，则nqU＝Ek，
代入数据解得：n＝.
变式2 (2010·山东卷·25)如图6所示，以两虚线为界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为m、带电荷量＋q、重力不计的带电粒子，以初速度v1垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动．已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推．求：
图6
(1)粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W1；
(2)粒子第n次经过电场时电场强度的大小En；
(3)粒子第n次经过电场所用的时间tn；
(4)假设粒子在磁场中运动时，电场区域电场强度为零．请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线(不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值)．
答案 见解析
解析 (1)由qvB＝m可得r＝
因为粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍……第n次为第一次的n倍，所以速度也分别是初速度的二倍、三倍……n倍．
由动能定理得W1＝mv－mv
＝m(2v1)2－mv＝mv
(2)由动能定理得
qEnd＝m[(n＋1)v1]2－m(nv1)2
所以En＝
(3)粒子第n次经过电场的平均速度
＝＝v1
所以粒子第n次经过电场所用的时间
tn＝＝＝
(4)如图所示
命题点三 电场与磁场叠加的应用实例分析
共同特点：当带电粒子(不计重力)在复合场中做匀速直线运动时，qvB＝qE.
1．速度选择器
图7
(1)平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直．(如图7)
(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qvB＝qE，即v＝.
(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量．
(4)速度选择器具有单向性．
例3 如图8所示是一速度选择器，当粒子速度满足v0＝时，粒子沿图中虚线水平射出；若某一粒子以速度v射入该速度选择器后，运动轨迹为图中实线，则关于该粒子的说法正确的是( )
图8
A．粒子射入的速度一定是v>
B．粒子射入的速度可能是v<
C．粒子射出时的速度一定大于射入速度
D．粒子射出时的速度一定小于射入速度
答案 B
2．磁流体发电机
(1)原理：如图9所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在A、B板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能．
图9
(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B是发电机的正极．
(3)电源电动势U：设A、B平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R.当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U(即电源电动势)，则q＝qvB，即U＝Blv.
(4)电源内阻：r＝ρ.
(5)回路电流：I＝.
例4 (多选)如图10所示是磁流体发电机的示意图，两平行金属板P、Q之间有一个很强的磁场．一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)沿垂直于磁场的方向喷入磁场．把P、Q与电阻R相连接．下列说法正确的是( )
图10
A．Q板的电势高于P板的电势
B．R中有由a向b方向的电流
C．若只改变磁场强弱，R中电流保持不变
D．若只增大粒子入射速度，R中电流增大
答案 BD
解析 等离子体进入磁场，根据左手定则，正离子向上偏，打在上极板上，负离子向下偏，打在下极板上，所以上极板带正电，下极板带负电，则P板的电势高于Q板的电势，流过电阻R的电流方向由a到b，故A错误，B正确；依据电场力等于洛伦兹力，即为q＝qvB，则有U＝Bdv，再由闭合电路欧姆定律I＝＝，电流与磁感应强度成正比，故C错误；由上分析可知，若只增大粒子的入射速度，R中电流会增大，故D正确．
3．电磁流量计
(1)流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积．
(2)公式：Q＝Sv；S为导管的横截面积，v是导电液体的流速．
(3)导电液体的流速(v)的计算
如图11所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动．导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝.
图11
(4)流量的表达式：Q＝Sv＝·＝.
(5)电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb.
例5 (2018·山东省淄博一中三模)为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图12所示的长方体流量计．该装置由绝缘材料制成，其长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口．在垂直于上下底面方向加一匀强磁场，前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M、N两端间的电压表将显示两个电极间的电压U.若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是( )
图12
A．M端的电势比N端的高
B．电压表的示数U与a和b均成正比，与c无关
C．电压表的示数U与污水的流量Q成正比
D．若污水中正、负离子数相同，则电压表的示数为0
答案 C
解析 根据左手定则知，正离子所受的洛伦兹力方向向里，则向里偏转，N端带正电，M端带负电，则M端的电势比N端电势低，故A错误； 最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡，有：qvB＝q，解得U＝vBb，电压表的示数U与b成正比，与污水中正、负离子数无关，故B、D错误；因v＝，则流量Q＝vbc＝，因此U＝，所以电压表的示数U与污水流量Q成正比，故C正确．
4．霍尔效应的原理和分析
(1)定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压．
(2)电势高低的判断：如图13，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低．
图13
(3)霍尔电压的计算：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd；联立得U＝＝k，k＝称为霍尔系数．
例6 (多选)(2018·华南师大附中三模)利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域．如图14所示是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度B 垂直于霍尔元件的工作面向下，当元件中通入图示方向的电流I 时，C、D 两侧面会形成一定的电势差U.下列说法中正确的是( )
图14
A．若C侧面电势高于D侧面，则元件中形成电流的载流子带负电
B．若C侧面电势高于D侧面，则元件中形成电流的载流子带正电
C．在地球南、北极上方测地磁场强弱时，元件工作面竖直放置时U最大
D．在地球赤道上方测地磁场强弱时，元件工作面竖直放置且与地球经线垂直时，U最大
答案 AD
解析 若元件的载流子带负电，由左手定则可知，载流子受到的洛伦兹力方向向D侧面偏，则C侧面的电势高于D侧面的电势，故A正确；若元件的载流子带正电，由左手定则可知，载流子受到的洛伦兹力方向向D侧面偏，则D侧面的电势高于C侧面的电势，故B错误；在测地球南、北极上方的地磁场强弱时，因磁场方向竖直，则元件的工作面保持水平时U最大，故C错误；地球赤道上方的地磁场方向水平，在测地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持竖直，当与地球经线垂直时U最大，故D正确．
1．在如图1所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直．一带电粒子(重力不计)从左端以速度v沿虚线射入后做直线运动，则该粒子( )
图1
A．一定带正电
B．速度v＝
C．若速度v＞，粒子一定不能从板间射出
D．若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动
答案 B
解析 粒子带正电和负电均可，选项A错误；由洛伦兹力等于电场力，可得qvB＝qE，解得速度v＝，选项B正确；若速度v＞，粒子可能从板间射出，选项C错误；若此粒子从右端沿虚线方向进入，所受电场力和洛伦兹力方向相同，不能做直线运动，选项D错误．
2.(多选)如图2所示，a、b是一对平行金属板，分别接到直流电源的两极上，使a、b两板间产生匀强电场(场强大小为E)，右边有一块挡板，正中间开有一小孔d，在较大空间范围内存在着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．从两板左侧中点c处射入一束正离子(不计重力)，这些正离子都沿直线运动到右侧，从d孔射出后分成三束，则下列判断正确的是( )
图2
A．这三束正离子的速度一定不相同
B．这三束正离子的比荷一定不相同
C．a、b两板间的匀强电场方向一定由a指向b
D．若这三束离子改为带负电而其他条件不变，则仍能从d孔射出
答案 BCD
解析 因为三束正离子在两极板间都是沿直线运动的，电场力等于洛伦兹力，可以判断三束正离子的速度一定相同，且电场方向一定由a指向b，A错误，C正确；在右侧磁场中三束正离子运动轨迹半径不同，可知这三束正离子的比荷一定不相同，B正确；若将这三束离子改为带负电，而其他条件不变的情况下分析受力可知，三束离子在两板间仍做匀速直线运动，仍能从d孔射出，D正确．
3．(2018·山东省济宁市模拟)为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在排污管中安装了监测装置，该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分别为b和c，左、右两端开口与排污管相连，如图3所示．在垂直于上、下底面方向加磁感应强度大小为B的匀强磁场，在空腔前、后两个侧面上各有长为a的相互平行且正对的电极M和N，M、N与内阻为R的电流表相连．污水从左向右流经该装置时，电流表将显示出污水排放情况．下列说法中错误的是( )
图3
A．M板比N板电势低
B．污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小
C．污水流量越大，则电流表的示数越大
D．若只增大所加磁场的磁感应强度，则电流表的示数也增大
答案 B
解析 污水从左向右流动时，根据左手定则，正、负离子在洛伦兹力作用下分别向N板和M板偏转，故N板带正电，M板带负电，A正确．稳定时带电离子在两板间受力平衡，可得qvB＝q，此时U＝Bbv，又因流速v＝＝，故U＝＝，式中Q是流量，可见当污水流量越大、磁感应强度越强时，M、N间的电压越大，电流表的示数越大，而与污水中离子浓度无关，B错误，C、D正确．
4．(多选)如图4是质谱仪的工作原理示意图．带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是( )
图4
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
答案 ABC
解析 质谱仪是分析同位素的重要工具，A正确；带电粒子在速度选择器中沿直线运动时，所受电场力和洛伦兹力应等大反向，结合左手定则可知B正确；由qE＝qvB可得v＝，C正确；粒子在平板S下方的匀强磁场中做匀速圆周运动，由qvB0＝得R＝，所以＝，故粒子越靠近狭缝P，粒子的比荷越大，D错误．
5．(多选)(2018·甘肃省兰州市三诊)如图5所示为磁流体发电机的原理图，将一束等离子体(带有等量正、负离子的高速离子流)喷射入磁场，在磁场中有两块金属板A、B，这时金属板上就会聚集电荷，产生电压．如果射入的等离子体速度为v，两金属板间距离d，板的正对面积为S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向与速度方向垂直，负载电阻为R.当发电机稳定发电时电动势为E，电流为I，则下列说法正确的是( )
图5
A．A板为发电机的正极
B．其他条件一定时，v越大，发电机的电动势E越大
C．其他条件一定时，S越大，发电机的电动势E越大
D．板间等离子体的电阻率为(－R)
答案 BD
6．(2018·江苏省徐州市考前打靶)如图6所示为回旋加速器的示意图．两个靠得很近的D形金属盒处在与盒面垂直的匀强磁场中，一质子从加速器的A处开始加速．已知D形盒的半径为R，磁场的磁感应强度为B，高频交变电源的电压为U、频率为f，质子质量为m，电荷量为q.下列说法错误的是( )
图6
A．质子的最大速度不超过2πRf
B．质子的最大动能为
C．质子的最大动能与电压U无关
D．只增大磁感应强度B，可减小质子的最大动能
答案 D
7．(多选)如图7所示为一种质谱仪的示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成．若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场，在中心线处的电场强度大小为E，磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点．不计粒子重力．下列说法正确的是( )
图7
A．极板M比极板N的电势高
B．加速电场的电压U＝ER
C．直径PQ＝2B
D．若一群粒子从静止开始经过题述过程都落在胶片上的同一点，则该群粒子具有相同的比荷
答案 AD
解析 粒子在静电分析器内沿电场线方向偏转，说明粒子带正电荷，极板M比极板N的电势高，选项A正确；由Uq＝mv2和Eq＝可得U＝，选项B错误；在磁场中，由牛顿第二定律得qvB＝m，即r＝，直径PQ＝2r＝＝2，可见只有比荷相同的粒子才能打在胶片上的同一点，选项C错误，D正确．
8．一台质谱仪的工作原理图如图8所示，电荷量均为＋q、质量不同的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为零．这些离子经加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片上．已知放置底片的区域MN＝L，且OM＝L.某次测量发现MN中左侧区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧区域QN仍能正常检测到离子．在适当调节加速电压后，原本打在MQ区域的离子即可在QN区域检测到．
图8
(1)求原本打在MN中点P点的离子质量m；
(2)为使原本打在P点的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围．
答案 (1)
(2)≤U≤
解析 (1)离子在电场中加速时有qU0＝mv2，在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得r0＝ ，代入r0＝L，
解得m＝.
(2)由(1)知，U＝，离子打在Q点r＝L，U＝，离子打在N点r＝L，U＝，则电压的调节范围为≤U≤.
9．(2019·福建省龙岩市一模)环保部门为了监测某化肥厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图9所示的流量计．该装置的外形为一长方体，由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直于上下表面加磁感应强度为B的匀强磁场，在前后两个内侧面固定有金属板作为电极，电阻率为ρ的污水从左向右匀速流经该装置时，接在两电极间的理想电压表显示两个电极间的电压为U，求：
图9
(1)该装置内电场场强的大小和方向；
(2)污水的流量Q(单位时间内排出的污水体积)；
(3)若从两个电极引出两条导线，导线间接一阻值为R的电阻时理想电压表的示数．
答案 (1) 方向指向纸外(或由后侧面指向前侧面) (2) (3)U
解析 (1)根据匀强电场场强的公式得：E＝，因为正、负离子在流动时，根据左手定则可知，正离子受洛伦兹力向后侧面偏转，负离子受洛伦兹力向前侧面偏转，故后侧面上带正电，前侧面上带负电，故后侧面电势比前侧面高，故场强的方向指向纸外或由后侧面指向前侧面
(2)最终正、负离子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡，有：Eq＝qvB
又Q＝vS＝vcb
联立解得：Q＝
(3)根据电阻定律有：r＝ρ
根据串联电路的特点有：＝
联立得：U1＝U
专题解读 1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现．
2．学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力．针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题压轴题的信心．
3．用到的知识有：动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒定律)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律)．
一、带电粒子在复合场中的运动
1．复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现．
2．带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．
(3)较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．
二、电场与磁场的组合应用实例
装置
原理图
规律
质谱仪
带电粒子由静止被加速电场加速qU＝mv2，在磁场中做匀速圆周运动qvB＝m，则比荷＝
回旋加速器
交变电流的周期和带电粒子做圆周运动的周期相同，带电粒子在圆周运动过程中每次经过D形盒缝隙都会被加速．由qvB＝m得Ekm＝
三、电场与磁场的叠加应用实例
装置
原理图
规律
速度选择器
若qv0B＝Eq，即v0＝，带电粒子做匀速直线运动
电磁流量计
q＝qvB，所以v＝，所以流量Q＝vS＝π()2＝
霍尔
元件
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
命题点一 质谱仪的原理和分析
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器．
2．原理(如图1所示)
图1
(1)加速电场：qU＝mv2；
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r；由以上两式可得
r＝，m＝，＝.
例1 一台质谱仪的工作原理如图2所示．大量的带电荷量为＋q、质量为2m的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度忽略不计，经加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上．图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N时离子的运动轨迹．不考虑离子间的相互作用．
图2
(1)求离子打在底片上的位置到N点的最小距离x；
(2)在图中用斜线标出磁场中离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d.
答案 (1)－L
(2)见解析图 －
解析 (1)设离子在磁场中的运动半径为r1，
在电场中加速时，有qU0＝×2mv2
在匀强磁场中，有qvB＝2m，解得 r1＝
根据几何关系x＝2r1－L，解得x＝－L.
(2)如图所示，最窄处位于过两虚线交点的垂线上
d＝r1－，解得d＝－
变式1 (2016·全国卷Ⅰ·15)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图3所示，其中加速电压恒定．质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场．若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍．此离子和质子的质量比约为( )
图3
A．11 B．12 C．121 D．144
答案 D
解析 由qU＝mv2得带电粒子进入磁场的速度为v＝，结合带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R＝，联立得到R＝ ，由题意可知，该离子与质子在磁场中具有相同的轨道半径和电荷量，故离子和质子的质量之比＝144，故选D.
命题点二 回旋加速器的原理和分析
1．构造：如图4所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源．
2．原理：交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次．
图4
3．粒子获得的最大动能：由qvmB＝、Ekm＝mv得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关．
4．粒子在磁场中运动的总时间：粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝.
例2 (2018·山东省泰安市上学期期末)回旋加速器的工作原理如图5所示，置于真空中的两个D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直. 设两D形盒之间所加的交流电压为U，被加速的粒子质量为m、电荷量为q，粒子从D形盒一侧开始被加速(初动能可以忽略)，经若干次加速后粒子从D形盒边缘射出．求：
图5
(1)粒子从静止开始第1次经过两D形盒间狭缝加速后的速度大小；
(2)粒子第一次进入D形盒磁场中做圆周运动的轨道半径；
(3)粒子至少经过多少次加速才能从回旋加速器D形盒射出．
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)粒子在电场中被加速，由动能定理
qU＝mv
得：v1＝
(2)带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得，qv1B＝m
解得：r1＝
代入数据得：r1＝
(3)若粒子从回旋加速器D形盒射出，则粒子做圆周运动的轨道半径为R，设此时速度为vn
由洛伦兹力提供向心力得qvnB＝m，解得此时粒子的速度为vn＝
此时粒子的动能为Ek＝mv，代入数据得Ek＝
粒子每经过一次加速动能增加qU，设经过n次加速粒子射出，则nqU＝Ek，
代入数据解得：n＝.
变式2 (2010·山东卷·25)如图6所示，以两虚线为界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为m、带电荷量＋q、重力不计的带电粒子，以初速度v1垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动．已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推．求：
图6
(1)粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W1；
(2)粒子第n次经过电场时电场强度的大小En；
(3)粒子第n次经过电场所用的时间tn；
(4)假设粒子在磁场中运动时，电场区域电场强度为零．请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线(不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值)．
答案 见解析
解析 (1)由qvB＝m可得r＝
因为粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍……第n次为第一次的n倍，所以速度也分别是初速度的二倍、三倍……n倍．
由动能定理得W1＝mv－mv
＝m(2v1)2－mv＝mv
(2)由动能定理得
qEnd＝m[(n＋1)v1]2－m(nv1)2
所以En＝
(3)粒子第n次经过电场的平均速度
＝＝v1
所以粒子第n次经过电场所用的时间
tn＝＝＝
(4)如图所示
命题点三 电场与磁场叠加的应用实例分析
共同特点：当带电粒子(不计重力)在复合场中做匀速直线运动时，qvB＝qE.
1．速度选择器
图7
(1)平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直．(如图7)
(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qvB＝qE，即v＝.
(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量．
(4)速度选择器具有单向性．
例3 如图8所示是一速度选择器，当粒子速度满足v0＝时，粒子沿图中虚线水平射出；若某一粒子以速度v射入该速度选择器后，运动轨迹为图中实线，则关于该粒子的说法正确的是( )
图8
A．粒子射入的速度一定是v>
B．粒子射入的速度可能是v<
C．粒子射出时的速度一定大于射入速度
D．粒子射出时的速度一定小于射入速度
答案 B
2．磁流体发电机
(1)原理：如图9所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在A、B板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能．
图9
(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B是发电机的正极．
(3)电源电动势U：设A、B平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R.当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U(即电源电动势)，则q＝qvB，即U＝Blv.
(4)电源内阻：r＝ρ.
(5)回路电流：I＝.
例4 (多选)如图10所示是磁流体发电机的示意图，两平行金属板P、Q之间有一个很强的磁场．一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)沿垂直于磁场的方向喷入磁场．把P、Q与电阻R相连接．下列说法正确的是( )
图10
A．Q板的电势高于P板的电势
B．R中有由a向b方向的电流
C．若只改变磁场强弱，R中电流保持不变
D．若只增大粒子入射速度，R中电流增大
答案 BD
解析 等离子体进入磁场，根据左手定则，正离子向上偏，打在上极板上，负离子向下偏，打在下极板上，所以上极板带正电，下极板带负电，则P板的电势高于Q板的电势，流过电阻R的电流方向由a到b，故A错误，B正确；依据电场力等于洛伦兹力，即为q＝qvB，则有U＝Bdv，再由闭合电路欧姆定律I＝＝，电流与磁感应强度成正比，故C错误；由上分析可知，若只增大粒子的入射速度，R中电流会增大，故D正确．
3．电磁流量计
(1)流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积．
(2)公式：Q＝Sv；S为导管的横截面积，v是导电液体的流速．
(3)导电液体的流速(v)的计算
如图11所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动．导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝.
图11
(4)流量的表达式：Q＝Sv＝·＝.
(5)电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb.
例5 (2018·山东省淄博一中三模)为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图12所示的长方体流量计．该装置由绝缘材料制成，其长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口．在垂直于上下底面方向加一匀强磁场，前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M、N两端间的电压表将显示两个电极间的电压U.若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是( )
图12
A．M端的电势比N端的高
B．电压表的示数U与a和b均成正比，与c无关
C．电压表的示数U与污水的流量Q成正比
D．若污水中正、负离子数相同，则电压表的示数为0
答案 C
解析 根据左手定则知，正离子所受的洛伦兹力方向向里，则向里偏转，N端带正电，M端带负电，则M端的电势比N端电势低，故A错误； 最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡，有：qvB＝q，解得U＝vBb，电压表的示数U与b成正比，与污水中正、负离子数无关，故B、D错误；因v＝，则流量Q＝vbc＝，因此U＝，所以电压表的示数U与污水流量Q成正比，故C正确．
4．霍尔效应的原理和分析
(1)定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压．
(2)电势高低的判断：如图13，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低．
图13
(3)霍尔电压的计算：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd；联立得U＝＝k，k＝称为霍尔系数．
例6 (多选)(2018·华南师大附中三模)利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域．如图14所示是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度B 垂直于霍尔元件的工作面向下，当元件中通入图示方向的电流I 时，C、D 两侧面会形成一定的电势差U.下列说法中正确的是( )
图14
A．若C侧面电势高于D侧面，则元件中形成电流的载流子带负电
B．若C侧面电势高于D侧面，则元件中形成电流的载流子带正电
C．在地球南、北极上方测地磁场强弱时，元件工作面竖直放置时U最大
D．在地球赤道上方测地磁场强弱时，元件工作面竖直放置且与地球经线垂直时，U最大
答案 AD
解析 若元件的载流子带负电，由左手定则可知，载流子受到的洛伦兹力方向向D侧面偏，则C侧面的电势高于D侧面的电势，故A正确；若元件的载流子带正电，由左手定则可知，载流子受到的洛伦兹力方向向D侧面偏，则D侧面的电势高于C侧面的电势，故B错误；在测地球南、北极上方的地磁场强弱时，因磁场方向竖直，则元件的工作面保持水平时U最大，故C错误；地球赤道上方的地磁场方向水平，在测地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持竖直，当与地球经线垂直时U最大，故D正确．
1．在如图1所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直．一带电粒子(重力不计)从左端以速度v沿虚线射入后做直线运动，则该粒子( )
图1
A．一定带正电
B．速度v＝
C．若速度v＞，粒子一定不能从板间射出
D．若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动
答案 B
解析 粒子带正电和负电均可，选项A错误；由洛伦兹力等于电场力，可得qvB＝qE，解得速度v＝，选项B正确；若速度v＞，粒子可能从板间射出，选项C错误；若此粒子从右端沿虚线方向进入，所受电场力和洛伦兹力方向相同，不能做直线运动，选项D错误．
2.(多选)如图2所示，a、b是一对平行金属板，分别接到直流电源的两极上，使a、b两板间产生匀强电场(场强大小为E)，右边有一块挡板，正中间开有一小孔d，在较大空间范围内存在着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．从两板左侧中点c处射入一束正离子(不计重力)，这些正离子都沿直线运动到右侧，从d孔射出后分成三束，则下列判断正确的是( )
图2
A．这三束正离子的速度一定不相同
B．这三束正离子的比荷一定不相同
C．a、b两板间的匀强电场方向一定由a指向b
D．若这三束离子改为带负电而其他条件不变，则仍能从d孔射出
答案 BCD
解析 因为三束正离子在两极板间都是沿直线运动的，电场力等于洛伦兹力，可以判断三束正离子的速度一定相同，且电场方向一定由a指向b，A错误，C正确；在右侧磁场中三束正离子运动轨迹半径不同，可知这三束正离子的比荷一定不相同，B正确；若将这三束离子改为带负电，而其他条件不变的情况下分析受力可知，三束离子在两板间仍做匀速直线运动，仍能从d孔射出，D正确．
3．(2018·山东省济宁市模拟)为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在排污管中安装了监测装置，该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分别为b和c，左、右两端开口与排污管相连，如图3所示．在垂直于上、下底面方向加磁感应强度大小为B的匀强磁场，在空腔前、后两个侧面上各有长为a的相互平行且正对的电极M和N，M、N与内阻为R的电流表相连．污水从左向右流经该装置时，电流表将显示出污水排放情况．下列说法中错误的是( )
图3
A．M板比N板电势低
B．污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小
C．污水流量越大，则电流表的示数越大
D．若只增大所加磁场的磁感应强度，则电流表的示数也增大
答案 B
解析 污水从左向右流动时，根据左手定则，正、负离子在洛伦兹力作用下分别向N板和M板偏转，故N板带正电，M板带负电，A正确．稳定时带电离子在两板间受力平衡，可得qvB＝q，此时U＝Bbv，又因流速v＝＝，故U＝＝，式中Q是流量，可见当污水流量越大、磁感应强度越强时，M、N间的电压越大，电流表的示数越大，而与污水中离子浓度无关，B错误，C、D正确．
4．(多选)如图4是质谱仪的工作原理示意图．带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是( )
图4
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
答案 ABC
解析 质谱仪是分析同位素的重要工具，A正确；带电粒子在速度选择器中沿直线运动时，所受电场力和洛伦兹力应等大反向，结合左手定则可知B正确；由qE＝qvB可得v＝，C正确；粒子在平板S下方的匀强磁场中做匀速圆周运动，由qvB0＝得R＝，所以＝，故粒子越靠近狭缝P，粒子的比荷越大，D错误．
5．(多选)(2018·甘肃省兰州市三诊)如图5所示为磁流体发电机的原理图，将一束等离子体(带有等量正、负离子的高速离子流)喷射入磁场，在磁场中有两块金属板A、B，这时金属板上就会聚集电荷，产生电压．如果射入的等离子体速度为v，两金属板间距离d，板的正对面积为S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向与速度方向垂直，负载电阻为R.当发电机稳定发电时电动势为E，电流为I，则下列说法正确的是( )
图5
A．A板为发电机的正极
B．其他条件一定时，v越大，发电机的电动势E越大
C．其他条件一定时，S越大，发电机的电动势E越大
D．板间等离子体的电阻率为(－R)
答案 BD
6．(2018·江苏省徐州市考前打靶)如图6所示为回旋加速器的示意图．两个靠得很近的D形金属盒处在与盒面垂直的匀强磁场中，一质子从加速器的A处开始加速．已知D形盒的半径为R，磁场的磁感应强度为B，高频交变电源的电压为U、频率为f，质子质量为m，电荷量为q.下列说法错误的是( )
图6
A．质子的最大速度不超过2πRf
B．质子的最大动能为
C．质子的最大动能与电压U无关
D．只增大磁感应强度B，可减小质子的最大动能
答案 D
7．(多选)如图7所示为一种质谱仪的示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成．若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场，在中心线处的电场强度大小为E，磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点．不计粒子重力．下列说法正确的是( )
图7
A．极板M比极板N的电势高
B．加速电场的电压U＝ER
C．直径PQ＝2B
D．若一群粒子从静止开始经过题述过程都落在胶片上的同一点，则该群粒子具有相同的比荷
答案 AD
解析 粒子在静电分析器内沿电场线方向偏转，说明粒子带正电荷，极板M比极板N的电势高，选项A正确；由Uq＝mv2和Eq＝可得U＝，选项B错误；在磁场中，由牛顿第二定律得qvB＝m，即r＝，直径PQ＝2r＝＝2，可见只有比荷相同的粒子才能打在胶片上的同一点，选项C错误，D正确．
8．一台质谱仪的工作原理图如图8所示，电荷量均为＋q、质量不同的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为零．这些离子经加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片上．已知放置底片的区域MN＝L，且OM＝L.某次测量发现MN中左侧区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧区域QN仍能正常检测到离子．在适当调节加速电压后，原本打在MQ区域的离子即可在QN区域检测到．
图8
(1)求原本打在MN中点P点的离子质量m；
(2)为使原本打在P点的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围．
答案 (1)
(2)≤U≤
解析 (1)离子在电场中加速时有qU0＝mv2，在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得r0＝ ，代入r0＝L，
解得m＝.
(2)由(1)知，U＝，离子打在Q点r＝L，U＝，离子打在N点r＝L，U＝，则电压的调节范围为≤U≤.
9．(2019·福建省龙岩市一模)环保部门为了监测某化肥厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图9所示的流量计．该装置的外形为一长方体，由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直于上下表面加磁感应强度为B的匀强磁场，在前后两个内侧面固定有金属板作为电极，电阻率为ρ的污水从左向右匀速流经该装置时，接在两电极间的理想电压表显示两个电极间的电压为U，求：
图9
(1)该装置内电场场强的大小和方向；
(2)污水的流量Q(单位时间内排出的污水体积)；
(3)若从两个电极引出两条导线，导线间接一阻值为R的电阻时理想电压表的示数．
答案 (1) 方向指向纸外(或由后侧面指向前侧面) (2) (3)U
解析 (1)根据匀强电场场强的公式得：E＝，因为正、负离子在流动时，根据左手定则可知，正离子受洛伦兹力向后侧面偏转，负离子受洛伦兹力向前侧面偏转，故后侧面上带正电，前侧面上带负电，故后侧面电势比前侧面高，故场强的方向指向纸外或由后侧面指向前侧面
(2)最终正、负离子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡，有：Eq＝qvB
又Q＝vS＝vcb
联立解得：Q＝
(3)根据电阻定律有：r＝ρ
根据串联电路的特点有：＝
联立得：U1＝U
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