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2020年高考物理一轮复习文档：第8章静电场第36讲 学案
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第36讲 电场能的性质
考点一 电势能、电势、电势差的理解
1．电势能
(1)静电力做功
①特点：静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关。
②计算方法
a．W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离，计算时q要带正负号。
b．WAB＝qUAB，适用于任何电场，计算时q要带正负号。
(2)电势能
①定义：电荷在电场中由于受到电场力的作用而具有的与其相对位置有关的能量叫做电势能，用符号Ep表示。
②静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。
③大小：电荷在某点的电势能，等于将电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功。
(1)电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，我们习惯说成电场中的电荷所具有的。
(2)电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电势能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关。
(3)电势能是标量，有正负，无方向。电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能为负值表示电势能小于在参考点时的电势能。
(4)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。
2．电势
(1)电势
①定义：电荷在电场中某一点的电势能Ep与它的电荷量q的比值。
②定义式：φ＝。
③矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
④相对性：电势具有相对性，同一点的电势与选取的电势零点的位置有关。一般选取无穷远处为电势零点，在实际应用中常取大地的电势为零。
(2)等势面
①定义：电场中电势相同的各点构成的面。
②四个特点
a．在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
b．等势面一定与电场线垂直。
c．电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
d．等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷和所放电荷的电性、电荷量及电势能均无关。
3．电势差
(1)定义：电场中两点间电势的差值。
(2)定义式：UAB＝φA－φB。显然，UAB＝－UBA。
(3)影响因素：电场中两点间电势差由电场本身决定，与电势零点的选取无关。
(4)电势差与电场力做功的关系：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做的功WAB与移动的电荷的电荷量q的比值等于A、B两点间的电势差，即UAB＝，计算时q要带正负号。
4．电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中电势差与场强的关系式
UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点沿电场方向的距离。
(2)电场强度的另一表达式
①表达式：E＝。(只适用于匀强电场)
②意义：电场中，场强方向是电势降低最快的方向。在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向单位长度降低的电势。
5．静电感应和静电平衡
(1)静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异号的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同号的感应电荷，这种现象叫静电感应。
(2)静电平衡
①定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场在导体内部处处大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态。
②处于静电平衡状态的导体的特点
a．导体内部的场强处处为零。
b．导体是一个等势体，导体表面是等势面。
c．导体表面处的场强方向与导体表面垂直。
d．导体内部没有电荷，电荷只分布在导体的外表面上。
e．在导体外表面，越尖锐的位置电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有电荷。
1．关于电场中两点电势的高低的判断，下列说法正确的是( )
A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势
B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势
C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值
D．电势降低的方向即为电场线方向
答案 A
解析 由Ep＝qφ知正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；若Ep与q均为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。
2．关于静电场，下列说法中正确的是( )
A．将负电荷由电势低的地方移到电势高的地方，电势能一定增加
B．无论是正电荷还是负电荷，从电场中某点移到无穷远处时，静电力做的正功越多，电荷在该点的电势能就越大
C．在同一个等势面上的各点处场强的大小一定是相等的
D．电势降低的方向就是场强的方向
答案 B
解析 将负电荷由电势低的地方移到电势高的地方，电场力做正功，因此电势能一定减小，故A错误；无论是正电荷还是负电荷，从电场中某点移到无穷远处时，因无穷远处电势能为零，因此静电力做的正功越多，电荷在该点的电势能就越大，故B正确；在等势面上，电势处处相等，但场强不一定相等，故C错误；电势降低最快的方向才是场强的方向，故D错误。
3.如图所示，下列说法正确的是( )
A．φA>φB
B．负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C．负电荷由B移动到A时静电力做正功
D．UAB>0
答案 B
解析 沿着电场线的方向是电势降低的方向，由图知φA<φB，UAB<0，故A、D错误；WBA＝qUBA，其中q<0，UBA>0，则WBA<0，故C错误；由Ep＝qφ知负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，故B正确。
4．关于等势面的说法，正确的是( )
A．电荷在等势面上移动时，由于不受电场力作用，所以说电场力不做功
B．在同一个等势面上各点的场强大小相等
C．两个电势不等的等势面可能相交
D．若相邻两等势面的电势差相等，则等势面的疏密程度能反映场强的大小
答案 D
解析 等势面由电势相等的点组成，等势面附近的电场线跟等势面垂直，因此电荷在等势面上移动时，电场力不做功，但并不是不受电场力的作用，A错误。等势面上各点场强大小不一定相等，等势面不可能相交，B、C错误。等差等势面的疏密能反映场强的大小，D正确。
5．[教材母题] (人教版选修3－1 P23·T2)带有等量异号电荷、相距10 cm的平行板A和B之间有一个匀强电场，如图所示，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板3 cm，D点距A板2 cm。
(1)C、D两点哪点电势高？两点的电势差UCD等于多少？
(2)如果令B板接地(即电势φB＝0)，则C和D的电势φC和φD各是多少？如果令A板接地，则φC和φD各是多少？在这两种情况中，UCD相同吗？
(3)一个电子从C点移动到D点，静电力做多少功？如果使电子先移到P点，再移到D点，静电力做的功是否会发生变化？
[变式子题] 带有等量异号电荷、相距10 cm的平行板A和B之间有一匀强电场，如图，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板为3 cm，D点距A板为2 cm。下列说法正确的是( )
A．UCD＝1000 V
B．让B板接地，则C点的电势φC＝600 V
C．让A板接地，则D点的电势φD＝400 V
D．将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同
答案 B
解析 UCD＝－Ed＝－1000 V，故A错误；让B板接地，则φC＝EdCB＝600 V，故B正确；让A板接地，则φD＝－400 V，故C错误；静电力做功与路径无关，只与初末位置有关，故D错误。
考点二 电场能的性质的理解
1．电势高低的四种判断方法
(1)依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低。
(3)电荷的正负：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低。
(4)依据电势能的高低：正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。
2．电势能高低的四种判断方法
(1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。
(2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。
(3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大，Ep的负值越小，电势能越大。
(4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大。
3．求电势差的常用方法
(1)UAB＝φA－φB。
(2)UAB＝，因UAB、WAB、q均有正、负，可由公式据其中两个物理量的正负得到第三个物理量的正负。
(3)UAB＝Ed，d为从A到B沿电场方向的距离。
如图所示，在两个等量负点电荷形成的电场中，O点是两电荷连线的中点，a、b是该线上的两点，c、d是两电荷连线中垂线上的两点，acbd为一菱形。若将一负粒子(不计重力且不影响原电场分布)从c点匀速移动到d点，电场强度用E，电势用φ来表示。则下列说法正确的是( )
A．φa一定小于φO，φO一定大于φc
B．Ea一定大于EO，EO一定大于Ec
C．负粒子的电势能一定先增大后减小
D．施加在负粒子上的外力一定先减小后增大
解析 由沿着电场线电势降落可知φc>φO>φa，A错误；O点合场强为零，故Ea>EO，Ec>EO，B错误；负粒子在电势低处电势能大，在电势高处电势能小，可判断出C正确；粒子沿cd匀速移动，受力平衡，外力在大小上等于其所受的静电力，而沿cd方向，电场强度大小无法判断，因此外力如何变化无法得知，故D错误。
答案 C
方法感悟
1．等量异号点电荷的电势特征
(1)沿电场线，由正电荷到负电荷电势逐渐降低，其等势面如图1所示。若取无穷远处电势为零，在两电荷连线上的中点处电势为零。
(2)中垂面是一个等势面，由于中垂面可以延伸到无限远处，所以若取无穷远处电势为零，则在中垂面上电势为零。
(3)若将两电荷连线的中点作为坐标原点，两电荷连线作为x轴，则两个等量异号点电荷的电势φ随x变化的图象如图2所示。
2．两个等量同号点电荷的电势特征
(1)两个等量正点电荷电场中各点电势均为正值，两个等量负点电荷电场中各点电势均为负值，两个等量正点电荷电场的等势面如图3所示。
(2)在两个等量正点电荷连线上，由连线的一端到另一端电势先降低再升高，中点处电势最低但不为零，电势φ随x变化的图象大致如图4所示。
(3)在两个等量正点电荷连线的中垂线上中点处电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零。若把中垂线作为y轴，沿中垂线方向的φy图象大致如图5所示的曲线。
1.如图所示，空间有两个等量的正点电荷，a、b两点在其连线的中垂线上，则下列说法一定正确的是( )
A．场强Ea>Eb
B．场强Ea
D．电势φa<φb
答案 C
解析 两个等量同号点电荷连线中点O的电场强度为零，无穷远处电场强度也为零，故从O点沿着中垂线向上到无穷远处电场强度先增大后减小，由于ab间电场线的分布情况不能确定，所以ab两点的场强大小不能确定，故A、B错误；根据电场的叠加原理可知，Oab上电场方向向上，根据沿着电场线方向电势降低可知，a点电势一定高于b点电势，故C正确，D错误。
2．(2018·广东揭阳高三调研)在电场中，下列说法正确的是( )
A．某点的电场强度大，该点的电势一定高
B．某点的电势高，试探电荷在该点的电势能一定大
C．某点的场强为零，试探电荷在该点的电势能一定为零
D．某点的电势为零，试探电荷在该点的电势能一定为零
答案 D
解析 电势与电势零点位置的选取有关，与电场强度无关，电势能与零势能面的选取有关，与电场强度无关，A、C错误；负电荷在高电势处电势能小，B错误；根据Ep＝qφ可知，电势为零，电势能为零，D正确。
3.(2016·江苏高考)一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场线分布如图所示。容器内表面为等势面，A、B为容器内表面上的两点，下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度比B点的大
B．小球表面的电势比容器内表面的低
C．B点的电场强度方向与该处内表面垂直
D．将检验电荷从A点沿不同路径移到B点，电场力所做的功不同
答案 C
解析 电场线的疏密表示场强的大小，因为A点处电场线较B点处稀疏，所以EA
A．A板电势φA＝2×104 V B．A板电势φA＝－200 V
C．C点电势φC＝60 V D．C点电势φC＝－60 V
答案 C
解析 由电势差与电场强度的关系式U＝Ed可知，UAB＝EdAB＝2×103×0.1 V＝200 V，又因为B板接地，则B板的电势为零，由UAB＝φA－φB，解得φA＝200 V，A、B错误；同理，UCB＝EdCB＝2×103×0.03 V＝60 V，由UCB＝φC－φB，解得φC＝60 V，C正确，D错误。
考点三 电场线、等势线(面)及带电粒子在电场中的运动轨迹问题
1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线。
2．几种常见的典型电场的等势面比较
3．解决运动轨迹问题应熟练掌握的知识及规律
(1)带电粒子所受合力(往往仅为电场力)指向轨迹曲线的内侧。
(2)某点速度方向为轨迹切线方向。
(3)电场线(或等差等势面)密集的地方场强大。
(4)电场线垂直于等势面。
(5)顺着电场线方向电势降低最快。
(6)电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。有时还要用到牛顿第二定律、动能定理等知识。
(多选)如图所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc。实线为一带正电的质点(不计重力)仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，下列判断正确的是( )
A．三个等势面中，a的电势最低
B．带电质点在M点具有的电势能比在N点具有的电势能大
C．带电质点通过M点时的动能比通过N点时大
D．带电质点通过M点时的加速度比通过N点时大
解析 带电质点所受电场力指向轨迹内侧，由于质点带正电，因此电场线指向右下方，根据电场线与等势面垂直，画出电场线，沿电场线电势降低，故a等势线的电势最高，故A错误；由带电质点受力情况可知，从M到N过程中电场力做正功，电势能降低，动能增大，故B正确，C错误；等差等势面密的地方电场线也密，则M点场强大，电场力大，加速度大，则D正确。
答案 BD
方法感悟
1．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)某点速度方向即为该点轨迹的切线方向。
(2)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。
(3)结合轨迹、速度方向与电场力的方向，确定电场力做功的正负，从而确定电势能、电势的变化、电势差等。
2．解决带电粒子在电场中运动轨迹问题的思路
根据运动轨迹判断出所受电场力方向，由电场线画出等势面或由等势面画出电场线，然后进一步判断电荷正负或电场强度、电势、电势能、动能等物理量的变化。
(1)
(2)
1.(2016·全国卷Ⅰ)(多选)如图所示，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知( )
A．Q点的电势比P点高
B．油滴在Q点的动能比它在P点的大
C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
答案 AB
解析 由油滴轨迹在竖直面内相对于过P点的竖直线对称可知油滴在水平方向所受合力为0，竖直方向上油滴受重力和电场力，结合曲线轨迹的特点可知电场力竖直向上且电场力大于重力，油滴受力及电场线方向如图所示，由沿电场线方向电势逐渐降低，得Q点的电势比P点的高，A项正确；油滴从Q点到P点合力做负功，根据动能定理得油滴在Q点的动能大于它在P点的动能，这一过程中电场力做负功，则油滴在Q点的电势能小于它在P点的电势能，故B项正确，C项错误；因为重力和电场力为恒力，所以油滴在Q、P两点的加速度相同，故D项错误。
2.(2019·百师联盟七调)(多选)如图所示的实线为电场线，电场线分布及a、e两点关于直线OO′对称，带电粒子从a点沿虚线adb运动到b点，过直线OO′时速度方向恰好与OO′垂直(只考虑电场力作用)，则下列说法正确的是( )
A．过b点后带电粒子可能运动到c点
B．带电粒子的运动轨迹是抛物线的一部分
C．带电粒子从a运动到b，其电势能增大
D．直线OO′垂直于电场中的等势面
答案 CD
解析 由于电场线关于直线OO′对称，在OO′线上，电场力沿OO′方向，因此带电粒子在每个点受到的电场力方向也关于直线OO′对称，过b点后只能运动到和a点对称的位置，不可能运动到c点，故A错误；由于带电粒子所受到的电场力是变力，所以它所做的运动不是类抛体运动，轨迹不是抛物线，故B错误；由于曲线运动合力指向曲线的内侧，根据带电粒子的轨迹，从图可以看出，带电粒子从a到b的运动过程中，电场力方向与速度方向夹角为钝角，电场力做负功，电势能增加，故C正确；在OO′线上，电场力沿OO′，电场力与等势面垂直，则直线OO′垂直于电场中的等势面，D正确。
考点四 电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为从A到B沿电场方向的距离。
(2)沿电场强度方向电势降落得最快。
(3)在同一直线上或相互平行的两条直线上距离相等的两点间电势差相等。
①如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
②如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
2．E＝在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场中电势差的大小关系：如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φx图象的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝＝＝－Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
解析 设OA中点为C，由＝，且UAC＋UCO＝UAO，可得C点的电势φC＝3 V, φC＝φB，即B、C在同一等势面上，如图所示，由电场线与等势面的关系和几何关系知：d＝1.5 cm，则E＝＝ V/m＝200 V/m，A正确。
答案 A
方法感悟
如何确定匀强电场中的电场线
(1)先确定等势线，根据“两点确定一条直线”，找出电场中电势相等的两个点，然后连接成一条等势线；因匀强电场的电势在一条直线上均匀变化，任一线段中点的电势为两端点电势的平均值。
(2)电场线跟等势线一定垂直，作出等势线的垂线即得电场线。
(3)比较电势的高低，即沿着电场线的方向，电势逐渐降低；根据电势高低在电场线上标出箭头，表示电场的方向。
1．a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图所示，由此可知c点的电势为( )
A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V
答案 B
解析 因为ab＝cd且ab∥cd，所以φb－φa＝φc－φd，解得φc＝8 V，B正确。
2．(多选)如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－20 V，则下列说法正确的是( )
A．C点的电势φC＝5 V
B．C点的电势φC>5 V
C．C点的电势φC<5 V
D．负电荷在A点的电势能小于在B点的电势能
答案 CD
解析 从电场线的分布情况可以看出φA－φC＞φC－φB，所以有φC<5 V，C正确，A、B错误；因为负电荷在电势高的地方电势能较小，所以D正确。
3.如图所示，A、B两平行金属板间的匀强电场的电场强度E＝2×105 V/m，方向如图所示。电场中a、b两点相距10 cm，ab连线与电场线成60°角，a点距A板2 cm，b点距B板3 cm。求电势差UAa、Uab和UAB多大？
答案 4×103 V 1×104 V 2×104 V
解析 匀强电场中电场强度与电势差的关系为U＝Ed，
故UAa＝EdAa＝2×105×0.02 V＝4×103 V，
Uab＝Edab＝2×105×0.1×cos60° V＝1×104 V，
UAB＝EdAB＝2×105×(0.02＋0.1×cos60°＋0.03) V＝2×104 V。
考点五 电场中的功能关系
1．电场力做功的特点：电场力对某电荷做的功与该电荷的电量及初、末位置的电势差有关，与电荷经过的路径无关。
2．电场力做功与电势能变化的关系
对电场力做功的理解可类比重力做功。电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。
3．电场力做功的计算方法
(1)由公式W＝Flcosα计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcosα。
(2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场。
(3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk。
(4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB。
4．电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力、弹簧的弹力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化。
(4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化。
(多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平。a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零。则小球a( )
A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N到P的过程中，速率先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能一直增加
D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量
解析 a从N点静止释放，过P点后到Q点速度为零，整个运动过程只有重力和库仑力做功，库仑力方向与a速度方向夹角一直大于90°，所以库仑力整个过程做负功。小球a从N到Q的过程中，库仑力增大，库仑力与重力的夹角从90°一直减小，所以它们的合力一直增大，故A错误；带电小球a受力如图所示，在靠近N点的位置，合力与速度夹角小于90°，在P点合力与速度夹角大于90°，所以小球a从N到P的过程中，速率应先增大后减小，故B正确；从N到Q的过程中，库仑力一直做负功，所以电势能一直增加，故C正确；根据能量守恒可知，P到Q的过程中，动能的减少量等于重力势能和电势能的增加量之和，故D错误。
答案 BC
方法感悟
功是能转化的量度，能的变化通过做功来量度。特别注意电荷的正、负，再判定电场力是否做功，电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。
1．(2018·泰安一模)(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上，上端连接一带正电小球，小球静止时位于N点，弹簧恰好处于原长状态。保持小球的带电量不变，现将小球提高到M点由静止释放。则释放后小球从M运动到N过程中( )
A．小球的机械能与弹簧的弹性势能之和保持不变
B．小球重力势能的减少量等于小球电势能的增加量
C．弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量
D．小球动能的增加量等于电场力和重力做功的代数和
答案 BC
解析 由于有电场力做功，故小球的机械能与弹簧的弹性势能之和是改变的，故A错误；由题意，小球受到的电场力与重力大小相等，在小球从M运动到N过程中，重力做多少正功，重力势能就减少多少，电场力做多少负功，电势能就增加多少，又两力做功一样多，可知B正确；显然电场力和重力做功的代数和为零，由动能定理可知，弹力对小球做的功等于小球动能的增加量，又弹力的功等于弹性势能的减少量，故C正确，故D错误。
2．[教材母题] (人教版选修3－1 P20·T7)某电场的等势面如图所示，试画出电场线的大致分布。若单位正电荷q沿任一路径从A点移到B点，静电力所做的功是多少？说明理由。正电荷q从A点移到C点，跟从B点移到C点，静电力所做的功是否相等？说明理由。
[变式子题] 如图所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC＝0，φA＝φB＝10 V，φD＝－30 V，将电荷量q＝1.2×10－6 C的电荷在电场中移动。
(1)把这个电荷从C移到D，电场力做功多少？
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少？
答案 (1)3.6×10－5 J (2)增加4.8×10－5 J
解析 (1)UCD＝0－(－30) V＝30 V
WCD＝qUCD＝1.2×10－6×30 J＝3.6×10－5 J。
(2)UDA＝－30－10 V＝－40 V
WDA＝qUDA＝1.2×10－6×(－40) J＝－4.8×10－5 J
电场力做负功，电荷的电势能增加
ΔEp＝－WDA＝4.8×10－5 J。
3.如图所示，在O点处固定一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q。小球下落的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h，若小球通过B点时的速度为v，试求：
(1)小球通过C点时的速度大小；
(2)小球由A到C的过程中电场力做的功。
答案 (1) (2)mv2＋mgR－mgh
解析 (1)由题分析知B、C两点电势相等，则小球由B到C只有重力做功，由动能定理有：
mgR·sin30°＝mv－mv2
得：vC＝。
(2)由A到C应用动能定理有：WAC＋mgh＝mv－0
得：WAC＝mv－mgh＝mv2＋mgR－mgh。
课后作业
[巩固强化练]
1．(多选)一带电小球在空中由A点运动到B点的过程中，只受重力、电场力和空气阻力三个力的作用。若小球的重力势能增加5 J，机械能增加1.5 J，电场力做功2 J，则( )
A．重力做功5 J B．电势能减少2 J
C．空气阻力做功0.5 J D．动能减少3.5 J
答案 BD
解析 小球的重力势能增加5 J，则小球克服重力做功5 J，故A错误；电场力对小球做功2 J，则小球的电势能减少2 J，故B正确；小球受到重力、电场力、空气阻力三个力的作用，小球的机械能增加1.5 J，则除重力以外的力做功为1.5 J，因电场力对小球做功2 J，则空气阻力做功为－0.5 J，即小球克服空气阻力做功0.5 J，故C错误；重力、电场力、空气阻力三力做功之和为－3.5 J，根据动能定理，小球的动能减少3.5 J，D正确。
2．如图所示，实线表示电场线，虚线表示带电粒子运动的轨迹，带电粒子只受电场力的作用，运动过程中电势能逐渐减少，它运动到b处时的运动方向与受力方向可能的是( )
答案 D
解析 由于带电粒子只受电场力的作用，而且运动过程中电势能逐渐减少，可判断电场力做正功，即电场力方向与粒子速度方向夹角为锐角，且电场力方向沿着电场线指向轨迹凹侧，故D项正确。
3．如果空气中的电场很强，使得气体分子中带正、负电荷的微粒所受的相反的静电力很大，以至于分子破碎，于是空气中出现了可以自由移动的电荷，那么空气变成了导体。这种现象叫做空气的“击穿”。已知高铁上方的高压电接触网的电压为27.5 kV，阴雨天时当雨伞伞尖周围的电场强度达到2.5×104 V/m时空气就有可能被击穿。因此乘客阴雨天打伞站在站台上时，伞尖与高压电接触网的安全距离至少为( )
A．0.6 m B．1.1 m C．1.6 m D．2.1 m
答案 B
解析 安全距离至少为dmin＝ m＝1.1 m，所以B项正确。
4．如图，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ。一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，则( )
A．直线a位于某一等势面内，φM>φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM>φN
C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
答案 B
解析 根据电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，可知N点和P点处于同一等势面上，直线d位于某一等势面内。根据匀强电场的特性，可知直线c位于另一等势面内。由于电子由M点运动到N点的过程中，电场力做负功，说明电场线方向从M指向N，故M点电势高于N点电势，所以选项B正确，选项A错误；由于M、Q处于同一等势面内，电子由M点运动到Q点的过程中，电场力不做功，选项C错误；电子由P点运动到Q点的过程中，电场力做正功，选项D错误。
5．(多选)如图所示， A、B、C为直角三角形的三个顶点，∠A＝30°，D为AB的中点，负点电荷Q位于D点。A、B、C三点的电势分别用φA、φB、φC表示，下列说法不正确的是( )
A．φC大于φA
B．A、B两点电场强度相同
C．负检验电荷在BC连线上各点具有的电势能都相等
D．将正检验电荷沿AC从A点移到C点，电场力先做正功后做负功
答案 ABC
解析 点电荷的等势面是一系列的同心圆，A、C两点在同一个等势面上，故φC等于φA，故A错误；A、B两点与场源点电荷距离相等，根据点电荷场强公式E＝k，故A、B两点的电场强度大小相等，但方向不同，故A、B两点的电场强度不相同，故B错误；BC连线上各点距场源点电荷距离不等，电势不等，根据Ep＝qφ，负检验电荷在BC连线上各点具有的电势能不相等，故C错误；AC连线上，越靠近负电荷电势越低，从A到C电势先降低后升高，正检验电荷具有的电势能先减小后增大，故电场力先做正功后做负功，故D正确。题目要求选不正确的，故选A、B、C。
6．(多选)空间内存在与纸面平行的匀强电场，纸面内的A、B、C三点均位于以O点为圆心、半径为10 cm的圆周上，并且∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，如图所示。现把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A点移到B点时，电场力做功为－1×10－4 J；从B点移到C点时，电场力做功为3×10－4 J，则该匀强电场的场强( )
A．大小为200 V/m B．大小为200 V/m
C．方向垂直于OA向右 D．方向垂直于OC向下
答案 AC
解析 由题意知，UAB＝＝ V＝－10 V，UBC＝＝ V＝30 V，则UAC＝UAB＋UBC＝20 V，若设φC＝0，则φA＝20 V，φB＝30 V，延长AO与BC交于BC的三等分点D，则D点的电势应为20 V，AD是电势为20 V的等势线，故场强方向垂直于OA向右，场强大小为E＝＝ V/m＝200 V/m，故A、C正确。
[真题模拟练]
7．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
答案 AB
解析 匀强电场内a、b、c、d、f间距相等，则电子每通过相邻两个等势面电场力做功相同，则Wad＝3Wbc，即Wbc＝－eUbc＝－2 eV，Ubc＝φb－φc＝2 V，所以φc＝0，A正确；根据动能定理从a到d：Wad＝Ekd－Eka，可得：Ekd＝4 eV，电子在d时有动能4 eV，速度可能沿各个方向，取极端情况：①电子沿电场线方向运动，从d到f电场力做功Wdf＝Wbc＝－2 eV，Ekf＝Ekd＋Wdf＝2 eV>0，可到达；②电子到d时速度方向沿等势面d，将不能到达平面f，B正确；同理电子到达等势面c的动能Ekc＝6 eV，由于等势面c的电势为零，电子在等势面c的电势能为零，根据能量守恒，电子在运动过程中电势能和动能的总和保持一个定值，即Epd＋Ekd＝Epc＋Ekc＝6 eV，故电子经过平面d时，其电势能为Epd＝2 eV，C错误；电子经过平面b和d时的动能分别为：Ekb＝8 eV和Ekd＝4 eV，由Ek＝mv2可得电子经过平面b时的速率是经过d时的倍，D错误。
8．(2018·全国卷Ⅱ)(多选)如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
答案 BD
解析 根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝，φN＝。若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝q－q＝＝，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是，故C错误；若W1＝W2，说明Ucd＝Uab，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝，φN＝，解得：UaM－UbN＝0，故D正确。
9．(2018·天津高考)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN
答案 D
解析 将粒子的运动分情况讨论：如图，从M点运动到N点或从N点运动到M点，根据电场的性质依次判断；电场线越密，电场强度越大，同一个粒子受到的电场力越大，根据牛顿第二定律可知其加速度越大，故有aM＜aN；(a)若粒子从M点运动到N点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图甲所示，故电场力做负功，电势能增大，动能减小，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN；(b)若粒子从N点运动到M点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图乙所示，故电场力做正功，电势能减小，动能增大，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN。综上所述，D正确。
10．(2017·全国卷Ⅲ)(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析 如图所示，由匀强电场中两平行线距离相等的两点间电势差相等知，Oa间电势差与bc间电势差相等，故O点电势为1 V，选项B正确；则在x轴上，每0.5 cm长度对应电势差为1 V，10 V对应的等势线与x轴交点e坐标为(4.5,0)，△aOe中，Oe∶Oa＝4.5∶6＝3∶4，由几何知识得：Od长度为3.6 cm，代入公式E＝得，E＝2.5 V/cm，选项A正确；电子带负电，电势越高，电势能越小，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，选项C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝－eUbc＝9 eV，选项D正确。
11．(2016·全国卷Ⅲ)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
答案 B
解析 假设两个电势不同的等势面相交，则交点处的电势就是两个不同的值，这是不可能的，A错误；电场线与等势面处处垂直，B正确；同一等势面上各点电势相等，而场强不一定相等，C错误；负电荷从高电势处移到低电势处，电势能增加，电场力做负功，D错误。
12.(2016·全国卷Ⅱ)如图，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆。带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点。若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc。则( )
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc>va
C．ab>ac>aa，vb>vc>va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
答案 D
解析 带电粒子在电场中仅受电场力作用，由牛顿第二定律知加速度a＝＝，E＝k，因为rbac>aa；
由动能定理有Wab＝qQUab＝mv－mv
Wbc＝qQUbc＝mv－mv
因为Wab<0，所以va>vb
因为Wbc>0，所以vc>vb
因为|Uab|>|Ubc|，所以va>vc
故有va>vc>vb，D项正确。
13．(2017·天津高考)(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB。下列说法正确的是( )
A．电子一定从A向B运动
B．若aA>aB，则Q靠近M端且为正电荷
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpA
答案 BC
解析 若Q在M端，由电子运动的轨迹可知Q为正电荷，电子从A向B运动或从B向A运动均可，由于rAEB，FA>FB，aA>aB，φA>φB，EpArB，故φA>φB，EpA
A．微粒的运动轨迹显示的是电场线的分布情况
B．微粒向工件运动的过程中所受电场力先减小后增大
C．在向工件运动的过程中，微粒的动能逐渐减小
D．在向工件运动的过程中，微粒的电势能逐渐增大
答案 B
解析 电场力指向运动轨迹的凹侧，且电场力与电场线相切，所以A错误。工件带正电，喷枪端部带负电，电场分布类似于正负点电荷间的电场，所以带负电的微粒所受电场力先减小后增大，B正确。带负电的微粒向电势高的工件加速运动，电场力做正功，动能增大，电势能减小，C、D错误。
15．(2018·北京高考)(1)静电场可以用电场线和等势面形象描述。
a．请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
b．点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比。
(2)观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要途径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a．设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P1，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P2；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。
答案 (1)a.k b. (2)a.25P1 b．125N0
解析 (1)a.在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷，根据库仑定律，检验电荷受到的电场力F＝k，根据电场强度的定义E＝，得E＝k；
b．穿过每个面的电场线的总条数是相等的，若面积大，则单位面积上通过的条数就少，故通过两等势面单位面积上的电场线条数之比＝＝＝。
(2)a.地球上不同望远镜观测同一天体，单位面积上接收的功率应该相同，因此P2＝P1＝25P1；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。因此一个望远镜能观测到的此类天体数目正比于以望远镜为球心、以最远观测距离为半径的球体体积。设地面上望远镜能观测到此类天体需收集到的电磁波的总功率的最小值为P0，直径为100 m望远镜和FAST能观测到的最远距离分别为L0和L，
则P0＝π2·＝π2·，
可得L＝5L0，则N＝N0＝125N0。
考点一 电势能、电势、电势差的理解
1．电势能
(1)静电力做功
①特点：静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关。
②计算方法
a．W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离，计算时q要带正负号。
b．WAB＝qUAB，适用于任何电场，计算时q要带正负号。
(2)电势能
①定义：电荷在电场中由于受到电场力的作用而具有的与其相对位置有关的能量叫做电势能，用符号Ep表示。
②静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。
③大小：电荷在某点的电势能，等于将电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功。
(1)电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，我们习惯说成电场中的电荷所具有的。
(2)电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电势能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关。
(3)电势能是标量，有正负，无方向。电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能为负值表示电势能小于在参考点时的电势能。
(4)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。
2．电势
(1)电势
①定义：电荷在电场中某一点的电势能Ep与它的电荷量q的比值。
②定义式：φ＝。
③矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
④相对性：电势具有相对性，同一点的电势与选取的电势零点的位置有关。一般选取无穷远处为电势零点，在实际应用中常取大地的电势为零。
(2)等势面
①定义：电场中电势相同的各点构成的面。
②四个特点
a．在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
b．等势面一定与电场线垂直。
c．电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
d．等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷和所放电荷的电性、电荷量及电势能均无关。
3．电势差
(1)定义：电场中两点间电势的差值。
(2)定义式：UAB＝φA－φB。显然，UAB＝－UBA。
(3)影响因素：电场中两点间电势差由电场本身决定，与电势零点的选取无关。
(4)电势差与电场力做功的关系：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做的功WAB与移动的电荷的电荷量q的比值等于A、B两点间的电势差，即UAB＝，计算时q要带正负号。
4．电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中电势差与场强的关系式
UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点沿电场方向的距离。
(2)电场强度的另一表达式
①表达式：E＝。(只适用于匀强电场)
②意义：电场中，场强方向是电势降低最快的方向。在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向单位长度降低的电势。
5．静电感应和静电平衡
(1)静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异号的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同号的感应电荷，这种现象叫静电感应。
(2)静电平衡
①定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场在导体内部处处大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态。
②处于静电平衡状态的导体的特点
a．导体内部的场强处处为零。
b．导体是一个等势体，导体表面是等势面。
c．导体表面处的场强方向与导体表面垂直。
d．导体内部没有电荷，电荷只分布在导体的外表面上。
e．在导体外表面，越尖锐的位置电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有电荷。
1．关于电场中两点电势的高低的判断，下列说法正确的是( )
A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势
B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势
C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值
D．电势降低的方向即为电场线方向
答案 A
解析 由Ep＝qφ知正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；若Ep与q均为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。
2．关于静电场，下列说法中正确的是( )
A．将负电荷由电势低的地方移到电势高的地方，电势能一定增加
B．无论是正电荷还是负电荷，从电场中某点移到无穷远处时，静电力做的正功越多，电荷在该点的电势能就越大
C．在同一个等势面上的各点处场强的大小一定是相等的
D．电势降低的方向就是场强的方向
答案 B
解析 将负电荷由电势低的地方移到电势高的地方，电场力做正功，因此电势能一定减小，故A错误；无论是正电荷还是负电荷，从电场中某点移到无穷远处时，因无穷远处电势能为零，因此静电力做的正功越多，电荷在该点的电势能就越大，故B正确；在等势面上，电势处处相等，但场强不一定相等，故C错误；电势降低最快的方向才是场强的方向，故D错误。
3.如图所示，下列说法正确的是( )
A．φA>φB
B．负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C．负电荷由B移动到A时静电力做正功
D．UAB>0
答案 B
解析 沿着电场线的方向是电势降低的方向，由图知φA<φB，UAB<0，故A、D错误；WBA＝qUBA，其中q<0，UBA>0，则WBA<0，故C错误；由Ep＝qφ知负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，故B正确。
4．关于等势面的说法，正确的是( )
A．电荷在等势面上移动时，由于不受电场力作用，所以说电场力不做功
B．在同一个等势面上各点的场强大小相等
C．两个电势不等的等势面可能相交
D．若相邻两等势面的电势差相等，则等势面的疏密程度能反映场强的大小
答案 D
解析 等势面由电势相等的点组成，等势面附近的电场线跟等势面垂直，因此电荷在等势面上移动时，电场力不做功，但并不是不受电场力的作用，A错误。等势面上各点场强大小不一定相等，等势面不可能相交，B、C错误。等差等势面的疏密能反映场强的大小，D正确。
5．[教材母题] (人教版选修3－1 P23·T2)带有等量异号电荷、相距10 cm的平行板A和B之间有一个匀强电场，如图所示，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板3 cm，D点距A板2 cm。
(1)C、D两点哪点电势高？两点的电势差UCD等于多少？
(2)如果令B板接地(即电势φB＝0)，则C和D的电势φC和φD各是多少？如果令A板接地，则φC和φD各是多少？在这两种情况中，UCD相同吗？
(3)一个电子从C点移动到D点，静电力做多少功？如果使电子先移到P点，再移到D点，静电力做的功是否会发生变化？
[变式子题] 带有等量异号电荷、相距10 cm的平行板A和B之间有一匀强电场，如图，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板为3 cm，D点距A板为2 cm。下列说法正确的是( )
A．UCD＝1000 V
B．让B板接地，则C点的电势φC＝600 V
C．让A板接地，则D点的电势φD＝400 V
D．将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同
答案 B
解析 UCD＝－Ed＝－1000 V，故A错误；让B板接地，则φC＝EdCB＝600 V，故B正确；让A板接地，则φD＝－400 V，故C错误；静电力做功与路径无关，只与初末位置有关，故D错误。
考点二 电场能的性质的理解
1．电势高低的四种判断方法
(1)依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低。
(3)电荷的正负：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低。
(4)依据电势能的高低：正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。
2．电势能高低的四种判断方法
(1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。
(2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。
(3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大，Ep的负值越小，电势能越大。
(4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大。
3．求电势差的常用方法
(1)UAB＝φA－φB。
(2)UAB＝，因UAB、WAB、q均有正、负，可由公式据其中两个物理量的正负得到第三个物理量的正负。
(3)UAB＝Ed，d为从A到B沿电场方向的距离。
如图所示，在两个等量负点电荷形成的电场中，O点是两电荷连线的中点，a、b是该线上的两点，c、d是两电荷连线中垂线上的两点，acbd为一菱形。若将一负粒子(不计重力且不影响原电场分布)从c点匀速移动到d点，电场强度用E，电势用φ来表示。则下列说法正确的是( )
A．φa一定小于φO，φO一定大于φc
B．Ea一定大于EO，EO一定大于Ec
C．负粒子的电势能一定先增大后减小
D．施加在负粒子上的外力一定先减小后增大
解析 由沿着电场线电势降落可知φc>φO>φa，A错误；O点合场强为零，故Ea>EO，Ec>EO，B错误；负粒子在电势低处电势能大，在电势高处电势能小，可判断出C正确；粒子沿cd匀速移动，受力平衡，外力在大小上等于其所受的静电力，而沿cd方向，电场强度大小无法判断，因此外力如何变化无法得知，故D错误。
答案 C
方法感悟
1．等量异号点电荷的电势特征
(1)沿电场线，由正电荷到负电荷电势逐渐降低，其等势面如图1所示。若取无穷远处电势为零，在两电荷连线上的中点处电势为零。
(2)中垂面是一个等势面，由于中垂面可以延伸到无限远处，所以若取无穷远处电势为零，则在中垂面上电势为零。
(3)若将两电荷连线的中点作为坐标原点，两电荷连线作为x轴，则两个等量异号点电荷的电势φ随x变化的图象如图2所示。
2．两个等量同号点电荷的电势特征
(1)两个等量正点电荷电场中各点电势均为正值，两个等量负点电荷电场中各点电势均为负值，两个等量正点电荷电场的等势面如图3所示。
(2)在两个等量正点电荷连线上，由连线的一端到另一端电势先降低再升高，中点处电势最低但不为零，电势φ随x变化的图象大致如图4所示。
(3)在两个等量正点电荷连线的中垂线上中点处电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零。若把中垂线作为y轴，沿中垂线方向的φy图象大致如图5所示的曲线。
1.如图所示，空间有两个等量的正点电荷，a、b两点在其连线的中垂线上，则下列说法一定正确的是( )
A．场强Ea>Eb
B．场强Ea
D．电势φa<φb
答案 C
解析 两个等量同号点电荷连线中点O的电场强度为零，无穷远处电场强度也为零，故从O点沿着中垂线向上到无穷远处电场强度先增大后减小，由于ab间电场线的分布情况不能确定，所以ab两点的场强大小不能确定，故A、B错误；根据电场的叠加原理可知，Oab上电场方向向上，根据沿着电场线方向电势降低可知，a点电势一定高于b点电势，故C正确，D错误。
2．(2018·广东揭阳高三调研)在电场中，下列说法正确的是( )
A．某点的电场强度大，该点的电势一定高
B．某点的电势高，试探电荷在该点的电势能一定大
C．某点的场强为零，试探电荷在该点的电势能一定为零
D．某点的电势为零，试探电荷在该点的电势能一定为零
答案 D
解析 电势与电势零点位置的选取有关，与电场强度无关，电势能与零势能面的选取有关，与电场强度无关，A、C错误；负电荷在高电势处电势能小，B错误；根据Ep＝qφ可知，电势为零，电势能为零，D正确。
3.(2016·江苏高考)一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场线分布如图所示。容器内表面为等势面，A、B为容器内表面上的两点，下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度比B点的大
B．小球表面的电势比容器内表面的低
C．B点的电场强度方向与该处内表面垂直
D．将检验电荷从A点沿不同路径移到B点，电场力所做的功不同
答案 C
解析 电场线的疏密表示场强的大小，因为A点处电场线较B点处稀疏，所以EA
A．A板电势φA＝2×104 V B．A板电势φA＝－200 V
C．C点电势φC＝60 V D．C点电势φC＝－60 V
答案 C
解析 由电势差与电场强度的关系式U＝Ed可知，UAB＝EdAB＝2×103×0.1 V＝200 V，又因为B板接地，则B板的电势为零，由UAB＝φA－φB，解得φA＝200 V，A、B错误；同理，UCB＝EdCB＝2×103×0.03 V＝60 V，由UCB＝φC－φB，解得φC＝60 V，C正确，D错误。
考点三 电场线、等势线(面)及带电粒子在电场中的运动轨迹问题
1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线。
2．几种常见的典型电场的等势面比较
3．解决运动轨迹问题应熟练掌握的知识及规律
(1)带电粒子所受合力(往往仅为电场力)指向轨迹曲线的内侧。
(2)某点速度方向为轨迹切线方向。
(3)电场线(或等差等势面)密集的地方场强大。
(4)电场线垂直于等势面。
(5)顺着电场线方向电势降低最快。
(6)电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。有时还要用到牛顿第二定律、动能定理等知识。
(多选)如图所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc。实线为一带正电的质点(不计重力)仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，下列判断正确的是( )
A．三个等势面中，a的电势最低
B．带电质点在M点具有的电势能比在N点具有的电势能大
C．带电质点通过M点时的动能比通过N点时大
D．带电质点通过M点时的加速度比通过N点时大
解析 带电质点所受电场力指向轨迹内侧，由于质点带正电，因此电场线指向右下方，根据电场线与等势面垂直，画出电场线，沿电场线电势降低，故a等势线的电势最高，故A错误；由带电质点受力情况可知，从M到N过程中电场力做正功，电势能降低，动能增大，故B正确，C错误；等差等势面密的地方电场线也密，则M点场强大，电场力大，加速度大，则D正确。
答案 BD
方法感悟
1．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)某点速度方向即为该点轨迹的切线方向。
(2)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。
(3)结合轨迹、速度方向与电场力的方向，确定电场力做功的正负，从而确定电势能、电势的变化、电势差等。
2．解决带电粒子在电场中运动轨迹问题的思路
根据运动轨迹判断出所受电场力方向，由电场线画出等势面或由等势面画出电场线，然后进一步判断电荷正负或电场强度、电势、电势能、动能等物理量的变化。
(1)
(2)
1.(2016·全国卷Ⅰ)(多选)如图所示，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知( )
A．Q点的电势比P点高
B．油滴在Q点的动能比它在P点的大
C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
答案 AB
解析 由油滴轨迹在竖直面内相对于过P点的竖直线对称可知油滴在水平方向所受合力为0，竖直方向上油滴受重力和电场力，结合曲线轨迹的特点可知电场力竖直向上且电场力大于重力，油滴受力及电场线方向如图所示，由沿电场线方向电势逐渐降低，得Q点的电势比P点的高，A项正确；油滴从Q点到P点合力做负功，根据动能定理得油滴在Q点的动能大于它在P点的动能，这一过程中电场力做负功，则油滴在Q点的电势能小于它在P点的电势能，故B项正确，C项错误；因为重力和电场力为恒力，所以油滴在Q、P两点的加速度相同，故D项错误。
2.(2019·百师联盟七调)(多选)如图所示的实线为电场线，电场线分布及a、e两点关于直线OO′对称，带电粒子从a点沿虚线adb运动到b点，过直线OO′时速度方向恰好与OO′垂直(只考虑电场力作用)，则下列说法正确的是( )
A．过b点后带电粒子可能运动到c点
B．带电粒子的运动轨迹是抛物线的一部分
C．带电粒子从a运动到b，其电势能增大
D．直线OO′垂直于电场中的等势面
答案 CD
解析 由于电场线关于直线OO′对称，在OO′线上，电场力沿OO′方向，因此带电粒子在每个点受到的电场力方向也关于直线OO′对称，过b点后只能运动到和a点对称的位置，不可能运动到c点，故A错误；由于带电粒子所受到的电场力是变力，所以它所做的运动不是类抛体运动，轨迹不是抛物线，故B错误；由于曲线运动合力指向曲线的内侧，根据带电粒子的轨迹，从图可以看出，带电粒子从a到b的运动过程中，电场力方向与速度方向夹角为钝角，电场力做负功，电势能增加，故C正确；在OO′线上，电场力沿OO′，电场力与等势面垂直，则直线OO′垂直于电场中的等势面，D正确。
考点四 电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为从A到B沿电场方向的距离。
(2)沿电场强度方向电势降落得最快。
(3)在同一直线上或相互平行的两条直线上距离相等的两点间电势差相等。
①如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
②如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
2．E＝在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场中电势差的大小关系：如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φx图象的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝＝＝－Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
解析 设OA中点为C，由＝，且UAC＋UCO＝UAO，可得C点的电势φC＝3 V, φC＝φB，即B、C在同一等势面上，如图所示，由电场线与等势面的关系和几何关系知：d＝1.5 cm，则E＝＝ V/m＝200 V/m，A正确。
答案 A
方法感悟
如何确定匀强电场中的电场线
(1)先确定等势线，根据“两点确定一条直线”，找出电场中电势相等的两个点，然后连接成一条等势线；因匀强电场的电势在一条直线上均匀变化，任一线段中点的电势为两端点电势的平均值。
(2)电场线跟等势线一定垂直，作出等势线的垂线即得电场线。
(3)比较电势的高低，即沿着电场线的方向，电势逐渐降低；根据电势高低在电场线上标出箭头，表示电场的方向。
1．a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图所示，由此可知c点的电势为( )
A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V
答案 B
解析 因为ab＝cd且ab∥cd，所以φb－φa＝φc－φd，解得φc＝8 V，B正确。
2．(多选)如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－20 V，则下列说法正确的是( )
A．C点的电势φC＝5 V
B．C点的电势φC>5 V
C．C点的电势φC<5 V
D．负电荷在A点的电势能小于在B点的电势能
答案 CD
解析 从电场线的分布情况可以看出φA－φC＞φC－φB，所以有φC<5 V，C正确，A、B错误；因为负电荷在电势高的地方电势能较小，所以D正确。
3.如图所示，A、B两平行金属板间的匀强电场的电场强度E＝2×105 V/m，方向如图所示。电场中a、b两点相距10 cm，ab连线与电场线成60°角，a点距A板2 cm，b点距B板3 cm。求电势差UAa、Uab和UAB多大？
答案 4×103 V 1×104 V 2×104 V
解析 匀强电场中电场强度与电势差的关系为U＝Ed，
故UAa＝EdAa＝2×105×0.02 V＝4×103 V，
Uab＝Edab＝2×105×0.1×cos60° V＝1×104 V，
UAB＝EdAB＝2×105×(0.02＋0.1×cos60°＋0.03) V＝2×104 V。
考点五 电场中的功能关系
1．电场力做功的特点：电场力对某电荷做的功与该电荷的电量及初、末位置的电势差有关，与电荷经过的路径无关。
2．电场力做功与电势能变化的关系
对电场力做功的理解可类比重力做功。电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。
3．电场力做功的计算方法
(1)由公式W＝Flcosα计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcosα。
(2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场。
(3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk。
(4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB。
4．电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力、弹簧的弹力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化。
(4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化。
(多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平。a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零。则小球a( )
A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N到P的过程中，速率先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能一直增加
D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量
解析 a从N点静止释放，过P点后到Q点速度为零，整个运动过程只有重力和库仑力做功，库仑力方向与a速度方向夹角一直大于90°，所以库仑力整个过程做负功。小球a从N到Q的过程中，库仑力增大，库仑力与重力的夹角从90°一直减小，所以它们的合力一直增大，故A错误；带电小球a受力如图所示，在靠近N点的位置，合力与速度夹角小于90°，在P点合力与速度夹角大于90°，所以小球a从N到P的过程中，速率应先增大后减小，故B正确；从N到Q的过程中，库仑力一直做负功，所以电势能一直增加，故C正确；根据能量守恒可知，P到Q的过程中，动能的减少量等于重力势能和电势能的增加量之和，故D错误。
答案 BC
方法感悟
功是能转化的量度，能的变化通过做功来量度。特别注意电荷的正、负，再判定电场力是否做功，电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。
1．(2018·泰安一模)(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上，上端连接一带正电小球，小球静止时位于N点，弹簧恰好处于原长状态。保持小球的带电量不变，现将小球提高到M点由静止释放。则释放后小球从M运动到N过程中( )
A．小球的机械能与弹簧的弹性势能之和保持不变
B．小球重力势能的减少量等于小球电势能的增加量
C．弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量
D．小球动能的增加量等于电场力和重力做功的代数和
答案 BC
解析 由于有电场力做功，故小球的机械能与弹簧的弹性势能之和是改变的，故A错误；由题意，小球受到的电场力与重力大小相等，在小球从M运动到N过程中，重力做多少正功，重力势能就减少多少，电场力做多少负功，电势能就增加多少，又两力做功一样多，可知B正确；显然电场力和重力做功的代数和为零，由动能定理可知，弹力对小球做的功等于小球动能的增加量，又弹力的功等于弹性势能的减少量，故C正确，故D错误。
2．[教材母题] (人教版选修3－1 P20·T7)某电场的等势面如图所示，试画出电场线的大致分布。若单位正电荷q沿任一路径从A点移到B点，静电力所做的功是多少？说明理由。正电荷q从A点移到C点，跟从B点移到C点，静电力所做的功是否相等？说明理由。
[变式子题] 如图所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC＝0，φA＝φB＝10 V，φD＝－30 V，将电荷量q＝1.2×10－6 C的电荷在电场中移动。
(1)把这个电荷从C移到D，电场力做功多少？
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少？
答案 (1)3.6×10－5 J (2)增加4.8×10－5 J
解析 (1)UCD＝0－(－30) V＝30 V
WCD＝qUCD＝1.2×10－6×30 J＝3.6×10－5 J。
(2)UDA＝－30－10 V＝－40 V
WDA＝qUDA＝1.2×10－6×(－40) J＝－4.8×10－5 J
电场力做负功，电荷的电势能增加
ΔEp＝－WDA＝4.8×10－5 J。
3.如图所示，在O点处固定一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q。小球下落的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h，若小球通过B点时的速度为v，试求：
(1)小球通过C点时的速度大小；
(2)小球由A到C的过程中电场力做的功。
答案 (1) (2)mv2＋mgR－mgh
解析 (1)由题分析知B、C两点电势相等，则小球由B到C只有重力做功，由动能定理有：
mgR·sin30°＝mv－mv2
得：vC＝。
(2)由A到C应用动能定理有：WAC＋mgh＝mv－0
得：WAC＝mv－mgh＝mv2＋mgR－mgh。
课后作业
[巩固强化练]
1．(多选)一带电小球在空中由A点运动到B点的过程中，只受重力、电场力和空气阻力三个力的作用。若小球的重力势能增加5 J，机械能增加1.5 J，电场力做功2 J，则( )
A．重力做功5 J B．电势能减少2 J
C．空气阻力做功0.5 J D．动能减少3.5 J
答案 BD
解析 小球的重力势能增加5 J，则小球克服重力做功5 J，故A错误；电场力对小球做功2 J，则小球的电势能减少2 J，故B正确；小球受到重力、电场力、空气阻力三个力的作用，小球的机械能增加1.5 J，则除重力以外的力做功为1.5 J，因电场力对小球做功2 J，则空气阻力做功为－0.5 J，即小球克服空气阻力做功0.5 J，故C错误；重力、电场力、空气阻力三力做功之和为－3.5 J，根据动能定理，小球的动能减少3.5 J，D正确。
2．如图所示，实线表示电场线，虚线表示带电粒子运动的轨迹，带电粒子只受电场力的作用，运动过程中电势能逐渐减少，它运动到b处时的运动方向与受力方向可能的是( )
答案 D
解析 由于带电粒子只受电场力的作用，而且运动过程中电势能逐渐减少，可判断电场力做正功，即电场力方向与粒子速度方向夹角为锐角，且电场力方向沿着电场线指向轨迹凹侧，故D项正确。
3．如果空气中的电场很强，使得气体分子中带正、负电荷的微粒所受的相反的静电力很大，以至于分子破碎，于是空气中出现了可以自由移动的电荷，那么空气变成了导体。这种现象叫做空气的“击穿”。已知高铁上方的高压电接触网的电压为27.5 kV，阴雨天时当雨伞伞尖周围的电场强度达到2.5×104 V/m时空气就有可能被击穿。因此乘客阴雨天打伞站在站台上时，伞尖与高压电接触网的安全距离至少为( )
A．0.6 m B．1.1 m C．1.6 m D．2.1 m
答案 B
解析 安全距离至少为dmin＝ m＝1.1 m，所以B项正确。
4．如图，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ。一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，则( )
A．直线a位于某一等势面内，φM>φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM>φN
C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
答案 B
解析 根据电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，可知N点和P点处于同一等势面上，直线d位于某一等势面内。根据匀强电场的特性，可知直线c位于另一等势面内。由于电子由M点运动到N点的过程中，电场力做负功，说明电场线方向从M指向N，故M点电势高于N点电势，所以选项B正确，选项A错误；由于M、Q处于同一等势面内，电子由M点运动到Q点的过程中，电场力不做功，选项C错误；电子由P点运动到Q点的过程中，电场力做正功，选项D错误。
5．(多选)如图所示， A、B、C为直角三角形的三个顶点，∠A＝30°，D为AB的中点，负点电荷Q位于D点。A、B、C三点的电势分别用φA、φB、φC表示，下列说法不正确的是( )
A．φC大于φA
B．A、B两点电场强度相同
C．负检验电荷在BC连线上各点具有的电势能都相等
D．将正检验电荷沿AC从A点移到C点，电场力先做正功后做负功
答案 ABC
解析 点电荷的等势面是一系列的同心圆，A、C两点在同一个等势面上，故φC等于φA，故A错误；A、B两点与场源点电荷距离相等，根据点电荷场强公式E＝k，故A、B两点的电场强度大小相等，但方向不同，故A、B两点的电场强度不相同，故B错误；BC连线上各点距场源点电荷距离不等，电势不等，根据Ep＝qφ，负检验电荷在BC连线上各点具有的电势能不相等，故C错误；AC连线上，越靠近负电荷电势越低，从A到C电势先降低后升高，正检验电荷具有的电势能先减小后增大，故电场力先做正功后做负功，故D正确。题目要求选不正确的，故选A、B、C。
6．(多选)空间内存在与纸面平行的匀强电场，纸面内的A、B、C三点均位于以O点为圆心、半径为10 cm的圆周上，并且∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，如图所示。现把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A点移到B点时，电场力做功为－1×10－4 J；从B点移到C点时，电场力做功为3×10－4 J，则该匀强电场的场强( )
A．大小为200 V/m B．大小为200 V/m
C．方向垂直于OA向右 D．方向垂直于OC向下
答案 AC
解析 由题意知，UAB＝＝ V＝－10 V，UBC＝＝ V＝30 V，则UAC＝UAB＋UBC＝20 V，若设φC＝0，则φA＝20 V，φB＝30 V，延长AO与BC交于BC的三等分点D，则D点的电势应为20 V，AD是电势为20 V的等势线，故场强方向垂直于OA向右，场强大小为E＝＝ V/m＝200 V/m，故A、C正确。
[真题模拟练]
7．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
答案 AB
解析 匀强电场内a、b、c、d、f间距相等，则电子每通过相邻两个等势面电场力做功相同，则Wad＝3Wbc，即Wbc＝－eUbc＝－2 eV，Ubc＝φb－φc＝2 V，所以φc＝0，A正确；根据动能定理从a到d：Wad＝Ekd－Eka，可得：Ekd＝4 eV，电子在d时有动能4 eV，速度可能沿各个方向，取极端情况：①电子沿电场线方向运动，从d到f电场力做功Wdf＝Wbc＝－2 eV，Ekf＝Ekd＋Wdf＝2 eV>0，可到达；②电子到d时速度方向沿等势面d，将不能到达平面f，B正确；同理电子到达等势面c的动能Ekc＝6 eV，由于等势面c的电势为零，电子在等势面c的电势能为零，根据能量守恒，电子在运动过程中电势能和动能的总和保持一个定值，即Epd＋Ekd＝Epc＋Ekc＝6 eV，故电子经过平面d时，其电势能为Epd＝2 eV，C错误；电子经过平面b和d时的动能分别为：Ekb＝8 eV和Ekd＝4 eV，由Ek＝mv2可得电子经过平面b时的速率是经过d时的倍，D错误。
8．(2018·全国卷Ⅱ)(多选)如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
答案 BD
解析 根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝，φN＝。若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝q－q＝＝，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是，故C错误；若W1＝W2，说明Ucd＝Uab，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝，φN＝，解得：UaM－UbN＝0，故D正确。
9．(2018·天津高考)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN
答案 D
解析 将粒子的运动分情况讨论：如图，从M点运动到N点或从N点运动到M点，根据电场的性质依次判断；电场线越密，电场强度越大，同一个粒子受到的电场力越大，根据牛顿第二定律可知其加速度越大，故有aM＜aN；(a)若粒子从M点运动到N点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图甲所示，故电场力做负功，电势能增大，动能减小，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN；(b)若粒子从N点运动到M点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图乙所示，故电场力做正功，电势能减小，动能增大，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN。综上所述，D正确。
10．(2017·全国卷Ⅲ)(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析 如图所示，由匀强电场中两平行线距离相等的两点间电势差相等知，Oa间电势差与bc间电势差相等，故O点电势为1 V，选项B正确；则在x轴上，每0.5 cm长度对应电势差为1 V，10 V对应的等势线与x轴交点e坐标为(4.5,0)，△aOe中，Oe∶Oa＝4.5∶6＝3∶4，由几何知识得：Od长度为3.6 cm，代入公式E＝得，E＝2.5 V/cm，选项A正确；电子带负电，电势越高，电势能越小，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，选项C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝－eUbc＝9 eV，选项D正确。
11．(2016·全国卷Ⅲ)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
答案 B
解析 假设两个电势不同的等势面相交，则交点处的电势就是两个不同的值，这是不可能的，A错误；电场线与等势面处处垂直，B正确；同一等势面上各点电势相等，而场强不一定相等，C错误；负电荷从高电势处移到低电势处，电势能增加，电场力做负功，D错误。
12.(2016·全国卷Ⅱ)如图，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆。带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点。若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc。则( )
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc>va
C．ab>ac>aa，vb>vc>va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
答案 D
解析 带电粒子在电场中仅受电场力作用，由牛顿第二定律知加速度a＝＝，E＝k，因为rb
由动能定理有Wab＝qQUab＝mv－mv
Wbc＝qQUbc＝mv－mv
因为Wab<0，所以va>vb
因为Wbc>0，所以vc>vb
因为|Uab|>|Ubc|，所以va>vc
故有va>vc>vb，D项正确。
13．(2017·天津高考)(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB。下列说法正确的是( )
A．电子一定从A向B运动
B．若aA>aB，则Q靠近M端且为正电荷
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpA
答案 BC
解析 若Q在M端，由电子运动的轨迹可知Q为正电荷，电子从A向B运动或从B向A运动均可，由于rA
A．微粒的运动轨迹显示的是电场线的分布情况
B．微粒向工件运动的过程中所受电场力先减小后增大
C．在向工件运动的过程中，微粒的动能逐渐减小
D．在向工件运动的过程中，微粒的电势能逐渐增大
答案 B
解析 电场力指向运动轨迹的凹侧，且电场力与电场线相切，所以A错误。工件带正电，喷枪端部带负电，电场分布类似于正负点电荷间的电场，所以带负电的微粒所受电场力先减小后增大，B正确。带负电的微粒向电势高的工件加速运动，电场力做正功，动能增大，电势能减小，C、D错误。
15．(2018·北京高考)(1)静电场可以用电场线和等势面形象描述。
a．请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
b．点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比。
(2)观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要途径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a．设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P1，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P2；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。
答案 (1)a.k b. (2)a.25P1 b．125N0
解析 (1)a.在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷，根据库仑定律，检验电荷受到的电场力F＝k，根据电场强度的定义E＝，得E＝k；
b．穿过每个面的电场线的总条数是相等的，若面积大，则单位面积上通过的条数就少，故通过两等势面单位面积上的电场线条数之比＝＝＝。
(2)a.地球上不同望远镜观测同一天体，单位面积上接收的功率应该相同，因此P2＝P1＝25P1；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。因此一个望远镜能观测到的此类天体数目正比于以望远镜为球心、以最远观测距离为半径的球体体积。设地面上望远镜能观测到此类天体需收集到的电磁波的总功率的最小值为P0，直径为100 m望远镜和FAST能观测到的最远距离分别为L0和L，
则P0＝π2·＝π2·，
可得L＝5L0，则N＝N0＝125N0。
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