2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：选修第二节参数方程

第二节参数方程

1.曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数.
(2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程
参数方程与普通方程互化的注意点
(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性.
(2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.
3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程
轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
(t为参数)
圆
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)

[熟记常用结论]
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝；
(2)|PM|＝|t0|＝；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.(　　)
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量.(　　)
(3)方程(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.(　　)
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
二、选填题
1.曲线(θ为参数)的对称中心(　　)
A.在直线y＝2x上　　　 B.在直线y＝－2x上
C.在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上
解析：选B　由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上.
2.若直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相切，则实数m的值为(　　)
A.－4或6 B.－6或4
C.－1或9 D.－9或1
解析：选A　由(t为参数)，得直线l：2x＋y－1＝0，由(θ为参数)，得曲线C：x2＋(y－m)2＝5，因为直线l与曲线C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝，解得m＝－4或m＝6.故选A.
3.在平面直角坐标系中，若曲线C的参数方程为 (t为参数)，则其普通方程为____________.
解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
4.已知两曲线的参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，则它们的交点坐标为________.
解析：消去参数θ得普通方程为＋y2＝1(0≤y≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t得普通方程为y2＝x，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为.
答案：
5.曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为____________.
解析：由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1).
答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)

考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关]
[题组练透]
1.已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.
解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
即实数a的取值范围为[－2，2 ].
2.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)，设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.
解：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.
因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，
从而点P到直线l的距离
d＝＝，
当s＝时，dmin＝.
因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.
[名师微点]
将参数方程化为普通方程消参的3种方法
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.
(2)利用三角恒等式消去参数.
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.
[提醒]　将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.
考点二 参数方程的应用 [师生共研过关]
[典例精析]
(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
[解]　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点.
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点需满足＜1，
解得k＜－1或k＞1，
即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
.
[解题技法]
一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.
[过关训练]
已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关]
[典例精析]
(2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin.
(1)求曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；
(2)若过点A(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值.
[解]　(1)由题意可得曲线C的普通方程为＋＝1，
将代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为＋＝1，即ρ2＝ .
因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin，
所以ρ2＝4ρsin＝4ρ，
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2y－2x，
所以曲线C的极坐标方程为ρ2＝，
曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.
(2)由点A，得所以A(2,2).
因为直线l过点A(2,2)且倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数)，代入＋＝1可得，
t2＋(8＋18)t＋16＝0，
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－，t1t2＝，
所以＝＝.
[解题技法]
参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
[过关训练]
　(2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)已知直线l过点 P(1,0)且与曲线C交于A，B两点，若|PA|＋|PB|＝，求直线l的倾斜角α.
解：(1)由ρ＝2cos＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x2＋y2＝2x＋2y⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2，
故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)由条件可设直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆的方程，有t2－2tsin α－1＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2sin α， t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，
解得sin α＝或sin α＝－(舍去)，
故α＝或.

1.设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围.
解：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，
所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率k＝.
(2)由圆C的参数方程(θ为参数)，得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.
由直线l的参数方程(t为参数，α为倾斜角)，
得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，
即kx－y＋4－3k＝0.
当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，
即＜2，解得k＞.
即直线l的斜率的取值范围为.
2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.
解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α；
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，
于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acos θ(a＞0).
(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；
(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值.
解：(1)由ρsin2θ＝2acos θ(a＞0)两边同乘以ρ得，
曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0).
由直线l的参数方程为(t为参数)，消去t，
得直线l的普通方程为x－y＋2＝0.
(2)将代入y2＝2ax，得t2－2at＋8a＝0，
由Δ＞0得a＞4，
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2a，t1t2＝8a，
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.
4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，
C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝.
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若射线l：y＝kx(x≥0)分别交C1，C2于A，B两点(A，B异于原点)，当k∈(1，]时，求|OA|·|OB|的取值范围.
解：(1)由可得(x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，
即C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
方程ρcos2θ＝sin θ可化为ρ2cos2θ＝ρsin θ　(*)，
将代入(*)式，可得x2＝y，
所以C2的直角坐标方程为x2＝y.
(2)因为A，B异于原点，
所以联立可得A；
联立可得B(k，k2).
故|OA|·|OB|＝···|k|＝2|k|.
又k∈(1，]，所以|OA|·|OB|∈(2,2].
6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为，求＋的值.
解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x＋3y－2＝0.
由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得，曲线C2的直角坐标方程为y＝x2.
(2)由点P的极坐标为，可得点P的直角坐标为(2，－2)，∴点P在曲线C1上.将曲线C1的参数方程(t为参数)代入y＝x2，得9t2－80t＋150＝0，
设t1，t2是点A，B对应的参数，
则t1＋t2＝，t1t2＝＞0.
∴＋＝＝＝.
7.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且l过点A，曲线C1的参数方程为(α为参数).
(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；
(2)过点B(－1,1)且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|·|BN|的值.
解：(1)由直线l过点A，得cos＝a，故a＝，
则易得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
由点到直线的距离公式，得曲线C1上的点到直线l的距离d＝＝，，
∴dmax＝＝.
即曲线C1上的点到直线l的距离的最大值为.
(2)由(1)知直线l的倾斜角为，
则直线l1的参数方程为(t为参数).
易知曲线C1的普通方程为＋＝1.
把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程，
得t2＋7t－5＝0，
设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－，
根据参数t的几何意义可知|BM|·|BN|＝|t1t2|＝.
8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝8cos，直线l与圆C交于A，B两点.
(1)若OA⊥OB，求直线l的普通方程；
(2)设P(，1)是直线l上的点，若|AB|＝λ|PC|，求λ的值.
解：(1)消去参数t，得直线l的普通方程为x＋y＝＋m，将圆C的极坐标方程ρ＝8cos的两边同时乘ρ，
得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，
则圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝16，
所以圆C的圆心C(2，2)，半径为4，且经过原点O，数形结合得，若OA⊥OB，则直线l经过圆心C，
即2＋×2＝＋m，解得m＝3，
即直线l的普通方程为x＋y－4＝0.
(2)由P(，1)是直线l上的点，得m＝1，
此时直线l的参数方程为(t为参数)，
代入到圆C的方程(x－2)2＋(y－2)2＝16中，
得t2＋2t－12＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－2，t1t2＝－12，
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝2，
又|PC|＝2，|AB|＝λ|PC|，所以λ＝.