2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第五章第四节三角函数与平面向量的难点问题集释

第四节三角函数与平面向量的难点问题集释
难点一　三角形中的最值、范围问题
考法(一)　角的最值或范围问题
[例1]　在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠，sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，则角A的取值范围为(　　)
A. B.
C. D．
[解析]　在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin 2A，即2sin Bcos A＝2sin Acos A，因为A≠，所以cos A≠0，所以sin B＝sin A，由正弦定理，得b＝a，由余弦定理得cos A＝＝≥＝，当且仅当c＝b时等号成立，所以A∈.
[答案]　B
考法(二)　边(周长)的最值或范围问题
[例2]　如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.
(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长；
(2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围．
[解]　(1)由已知，易得∠ACB＝45°，在△ABC中，＝，解得BC＝5.因为AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.在△BCD中，CD＝＝5.
(2)AC＋AB＞BC＝10，由cos 60°＝，
得(AB＋AC)2－100＝3AB·AC，而AB·AC≤2，所以≤2，解得AB＋AC≤20，
故AC＋AB的取值范围为(10,20]．

考法(三)　面积的最值或范围问题
[例3]　在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin Acos2A－cos(B＋C)＝sin 3A＋.
(1)求A的大小；
(2)若b＝2，求△ABC面积的取值范围．
[解]　(1)∵4sin Acos2A－cos(B＋C)＝sin 3A＋，
∴4sin Acos2A＋cos A＝sin 3A＋，
∴2sin 2Acos A＋cos A＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A＋，
sin 2Acos A－cos 2Asin A＋cos A＝，
即sin(2A－A)＋cos A＝.
∴sin A＋cos A＝，即sin＝，
又A∈，∴A＋＝，即A＝.
(2)由(1)得B＋C＝，∴C＝－B，
∵△ABC为锐角三角形，
∴－B∈且B∈，
解得B∈，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴c＝＝＝＋1，
又B∈，∴∈(0，)，∴c∈(1,4)，
∵S△ABC＝bcsin A＝c，∴S△ABC∈.
故△ABC面积的取值范围为.

三角形中最值、范围问题的解题思路
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
[提醒]　(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．　　　　
[过关训练]
1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin Asin B＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是______．
解析：由已知及正弦定理得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A，∴sin B＝2sin A，∴b＝2a，由余弦定理得cos A＝＝＝≥＝，当且仅当c＝a时取等号，∵A为三角形的内角，且y＝cos x在(0，π)上是减函数，∴0＜A≤，则角A的取值范围是.
答案：
2．(2019·长春质检)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________．
解析：由cos A＝sin Acos C，得bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，则bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，即bcos A＝sin B，又＝，所以sin B＝，所以bcos A＝，由a＝2，得tan A＝，则A＝.由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bccos，则b2＋c2＝12＋bc≥2bc，所以bc≤12，当且仅当b＝c时取等号，则S△ABC＝bcsin≤×12×＝3，所以△ABC面积的最大值为3.
答案：3
3．(2019·合肥调研)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a－2b)cos C＋ccos A＝0.
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC周长的最大值．
解：(1)根据正弦定理，由已知得(sin A－2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0，
即sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos C，
∴sin(A＋C)＝2sin Bcos C，
∵A＋C＝π－B，
∴sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B＞0，
∴sin B＝2sin Bcos C，∴cos C＝.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由(1)及余弦定理得cos C＝＝，
又c＝2，∴a2＋b2－12＝ab，
∴(a＋b)2－12＝3ab≤32，
即(a＋b)2≤48(当且仅当a＝b＝2时等号成立)．
∴△ABC周长的最大值为6.
难点二　平面向量中的最值、范围问题
[典例]　(1)(2019·武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)
A．1＋　　　　　　　 B.1－
C.－1 D．1
(2)(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)
A. B.
C. D．3
(3)(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)
A.－1 B.＋1
C．2 D．2－
[解析]　(1)如图，作出，使得＋＝，(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.
(2)如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.
由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，
∠ACD＝∠ACB＝30°，
则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)．
设E(0，y)(0≤y≤)，
则＝(－1，y)，＝，
∴·＝＋y2－y＝2＋，
∴当y＝时，·有最小值.
(3)∵b2－4e·b＋3＝0，
∴(b－2e)2＝1，∴|b－2e|＝1.
如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，|a－b|就是线段AB的长度．
要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a－b|的最小值为－1.
[答案]　(1)A　(2)A　(3)A

1．平面向量中有关最值、范围问题的2种解题思路
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．求向量模的最值(范围)的方法
(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．　　　　
[过关训练]
1.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为(　　)
A．3 B.2
C．6 D．9
解析：选D　由平面向量数量积的几何意义知，·等于与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9.
2．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2 B.－
C．－ D．－1
解析：选B　如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.
难点三　平面向量在解析几何中的应用
[典例]　若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
[解析]　由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则有＋＝1，解得y＝3，
因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，
因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，·取得最大值6.
[答案]　6

[解题技法]　向量在解析几何中的2个作用
载体作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
工具作用
利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法

[过关训练]
1．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3　　　 B.2　　　　C.　　　 D．2
解析：选A　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.
因为P在圆C上，所以P.
又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
所以
λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
2．已知F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3FA―→，则此双曲线的离心率为________．
解析：由F(－c,0)，A(0，b)，
得直线AF的方程为y＝x＋b.
根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，
联立得消去x得，yB＝.
由＝3FA―→，得yB＝4b，
所以＝4b，化简得3c＝4a，
所以离心率e＝.
答案：

1．在非等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D．
解析：选D　由题意得sin2A＜sin2B＋sin2C，由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0，则cos A＝＞0.因为0＜A＜π，所以0＜A＜，又a为最大边，所以A＞，即角A的取值范围为.
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A－sin B＝，b＝，则△ABC的面积的最大值为(　　)
A. B.
C. D．
解析：选A　根据正弦定理由sin A－sin B＝，可得a－b＝，得a2－b2＝c(a－c)，即a2＋c2－b2＝ac，故＝＝cos B，∵B∈(0，π)，∴B＝.又由b＝，可得a2＋c2＝ac＋3，故a2＋c2＝ac＋3≥2ac，即ac≤3，当且仅当a＝c＝时取等号，故ac的最大值为3，这时△ABC的面积取得最大值，为×3×sin＝.
3．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A＝bsin A，则sin A＋sin C的最大值为(　　)
A. B.
C．1 D．
解析：选B　∵acos A＝bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A＝sin Bsin A，∵sin A≠0，∴cos A＝sin B，又B为钝角，∴B＝A＋，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A＝sin A＋1－2sin2A＝－22＋，
∴sin A＋sin C的最大值为.
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝bcos C＋csin B，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　　)
A．2 B.3
C. D．
解析：选A　由a＝bcos C＋csin B及正弦定理，得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，即sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Csin B，得sin Ccos B＝sin Csin B，又sin C≠0，所以tan B＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsin B＝1＋，得ac＝2＋4.又b2＝a2＋c2－2accos B≥2ac－ac＝(2－)(4＋2)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2，故选A.
5．(2019·合肥质检)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　)
A．(5,6] B.(3,5)
C．(3,6] D．[5,6]
解析：选A　由正弦定理可得，(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，则A＝.又＝＝＝2，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4＝sin 2B－cos 2B＋4＝2sin＋4.又△ABC是锐角三角形，所以B∈，所以2B－∈.所以b2＋c2的取值范围是(5,6]．
6.如图，△ABC是边长为2的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则·的取值范围是(　　)
A．[1,13] B.(1,13)
C．(4,10) D．[4,10]
解析：选A　取AB的中点D，连接CD，CP，则＋＝2，所以·＝(－)·(－)＝·－2·＋1＝(2)2cos－2×3×1×cos〈，〉＋1＝7－6cos〈，〉，所以当cos〈，〉＝1时，·取得最小值为1；当cos〈，〉＝－1时，·取得最大值为13，因此·的取值范围是[1,13]．
7．已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(2,3)
解析：选A　以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)．设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0＜x＜1.因为＝(－3,0)，＝(－3,4)，＝(x－3，y)，且＝λ＋μ，所以得所以λ＋μ＝1－x，又0＜x＜1，所以λ＋μ∈，故选A.
8．(2019·唐山模拟)在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．
解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，即(－3)·(－)＝0，整理得2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2 ＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值为.
答案：
9．(2018·沈阳质监)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为__________．
解析：由题意得，4×bcsin A＝a2－b2－c2＋2bc，又a2＝b2＋c2－2bccos A，代入上式得，2bcsin A＝－2bccos A＋2bc，即sin A＋cos A＝1，sin＝1.∵0＜A＜π，∴＜A＋＜，∴A＋＝，∴A＝，S＝bcsin A＝bc.又b＋c＝8≥2，当且仅当b＝c时取“＝”，∴bc≤16，∴S的最大值为8.
答案：8
10．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面内一点，若＝＋，则△PBC面积的最小值为________．

解析：由于AB⊥AC，故以AB，AC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则B，C(0，t)，因为＝＋，所以点P坐标为(4,1)，直线BC的方程为t2x＋y－t＝0，所以点P到直线BC的距离为d＝，BC＝，所以△PBC的面积为××＝≥，当且仅当t＝时取等号．
故△PBC面积的最小值为.
答案：
11.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4，O为BC的中点，以O为圆心，1为半径的半圆与BC交于点D，P为半圆上任意一点，则·的最小值为________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－2,0)，A(0,2)，D(1,0)，设P(x，y)，故＝(x＋2，y)，＝(1，－2)，所以·＝x－2y＋2.令x－2y＋2＝t，根据直线的几何意义可知，当直线x－2y＋2＝t与半圆相切时，t取得最小值，由点到直线的距离公式可得＝1，t＝2－，即·的最小值是2－.
答案：2－
12．(2019·长沙长郡中学月考)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝－4(其中O为坐标原点)，则△ABO面积的最小值是________．
解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，由·＝－4，即x1x2＋y1y2＝－4得yy＋y1y2＝－4，得y1y2＝－8.所以S△ABO＝|x1y2－x2y1|＝|y1－y2|≥4，当y1＝2，y2＝－2时取等号，故△ABO面积的最小值为4.
答案：4
13．(2018·武汉调研)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0.
(1)求角A的值；
(2)若b＝且b≤a，求a的取值范围．
解：(1)由cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0，
得2sin2B－2sin2A＋2＝0，
化简得sin A＝，又△ABC为锐角三角形，故A＝.
(2)∵b＝≤a，∴c≥a，∴≤C＜，＜B≤，
∴＜sin B≤.
由正弦定理＝，得＝，∴a＝，
由sin B∈得a∈[，3)．
故a的取值范围为[，3)．