2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第四章第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：

角α的弧度数公式
|α|＝(l表示弧长)
注意：(1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．
(2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用
角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.

(3)三角函数值在各象限内的符号
,
(1)终边相同的角不一定相等．
(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．
(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如＝.
当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．
[熟记常用结论]
1．象限角　

2．轴线角

3．若α∈，则tan α＞α＞sin α.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)小于90°的角是锐角．(　　)
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　)
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(　　)
(4)三角形的内角必是第一、二象限角．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、选填题
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)　　　　 B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选C　由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，结合选项知C正确．
2.若角α＝2 rad(rad为弧度制单位)，则下列说法错误的是(　　)
A．角α为第二象限角 B．α＝°
C．sin α＞0 D．sin α＜cos α
解析：选D　对于A，∵＜α＜π，∴角α为第二象限角，故A正确；对于B，α＝2×°＝2 rad，故B正确；对于C，sin α＞0，故C正确；对于D，sin α＞0，cos α＜0，故D错误．选D.
3．已知角α的终边与单位圆的交点P，则tan α＝(　　)
A. B．±
C. D．±
解析：选B　由|OP|2＝x2＋＝1，得x＝±.
所以tan α＝＝±.故选B.
4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
解析：设此扇形的半径为r，由题意得r＝2π，所以r＝6，
所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.
答案：6π
5．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________．
解析：与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得在0到2π范围内与角－终边相同的角是.
答案：

考点一象限角及终边相同的角[基础自学过关]
[题组练透]
1．设集合M＝，N＝，那么(　　)
A．M＝N　　　　　　　　 B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
解析：选B　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
2．若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
解析：选C　∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．
∴是第一或第三象限角．
3．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

解析：选C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和≤α≤的终边一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样，结合选项知选C.
4．与－2 010°终边相同的最小正角是________．
解析：因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°.
答案：150°
5．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________．
解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；
在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为.
答案：
[名师微点]
1．判断象限角的2种方法
图象法
在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法
先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)再写出kα或的范围；
(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在的位置．
3．求终边在某直线上角的4个步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
(2)按逆时针方向写出[0,2π]内的角；
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
(4)求并集化简集合．
考点二扇形的弧长及面积公式的应用[师生共研过关]
[典例精析]
已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
[解]　(1)因为α＝100°＝100×＝，
所以S扇形＝lr＝αr2＝××4＝.
(2)由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，
故S扇形＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25，此时l＝10，则α＝＝2.
[解题技法]
有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[过关训练]
1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．sin 2
C. D．2sin 1
解析：选C　如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D.
则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，
且AC＝AB＝1，
在Rt△AOC中，AO＝＝，即r＝，
从而的长l＝α·r＝.
2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)
A. B.
C．3 D.
解析：选D　如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，
作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，
∴AM＝r，AB＝r，
∴l＝r，
由弧长公式得α＝＝＝.
3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C　设扇形的半径为r(r＞0)，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝|α|r2＝×4×r2，解得r＝1，l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
考点三三角函数的定义及应用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)(2019·广州模拟)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点和，则sin(α＋β)＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
(3)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________.
[解析]　(1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，
则α为第二象限角或第三象限角．
由＜0可知cos α，tan α异号，
则α为第三象限角或第四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
(2)因为角α，β的终边分别与单位圆交于点和，所以sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.
(3)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，
所以cos α＝＝－，
解得x＝或x＝－(舍去)，
所以P，所以sin α＝－，
所以tan α＝＝，
则＋＝－＋＝－.
[答案]　(1)C　(2)D　(3)－
[解题技法]
利用三角函数定义解题的常见类型及方法
(1)已知角α终边上一点P的坐标求三角函数值．先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数定义求解．
(2)已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值．可直接根据三角函数线求解．
(3)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值．先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．
(4)判断三角函数值的符号问题．先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．
[过关训练]
1．下列各选项中正确的是(　　)
A．sin 300°＞0 B．cos(－305°)＜0
C．tan＞0 D．sin 10＜0
解析：选D　300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°＜0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)＞0；而－π＝－8π＋，所以－π是第二象限角，故tan＜0；因为3π＜10＜，所以10是第三象限角，故sin 10＜0.
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选B　设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝.当t＞0时，cos θ＝；当t＜0时，cos θ＝－.因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
3．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，求cos α，tan α的值．
解：设P(x，y)．由题设知x＝－，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，r＝，
所以sin α＝＝＝，
所以r＝＝2，即3＋m2＝8，
解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
所以cos α＝＝－，tan α＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
所以cos α＝＝－，tan α＝.
综上，cos α＝－，tan α＝－或cos α＝－，tan α＝.

一、题点全面练
1．若cos θ＜0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0，cos θ＜0，得sin θ＞0，所以角θ的终边所在的象限为第二象限．故选B.
2．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选B　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝2k·180°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
解析：选C　因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.
4．已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x的可能区间是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x＜0，即sin x＜cos x，所以－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是.
5．若α是第三象限角，则y＝＋的值为(　　)
A．0 B．2
C．－2 D．2或－2
解析：选A　因为α是第三象限角，
所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，
所以kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，
所以是第二象限角或第四象限角．
当是第二象限角时，y＝－＝0，
当是第四象限角时，y＝－＋＝0，故选A.
6．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．
解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，
所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.
答案：1∶2
7．一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．
解析：设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r.
则(R－r)sin＝r，即R＝r.
又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝πr2，
∴＝.
答案：(7＋4)∶9
8．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m及sin α的值．
解：(1)由＝－，得sin α＜0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α＞0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±.
又α为第四象限角，故m＜0，
从而m＝－，sin α＝＝＝－.
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．
解：(1)设点B的纵坐标为m，
则由题意m2＋2＝1，
且m＞0，所以m＝，故B，
根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝(　　)
A. B．±
C．－ D．－
解析：选D　∵cos α＝＝x，∴x＝0或x＝或x＝－，又α是第二象限角，∴x＝－，故选D.
2．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
解析：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，则最小的正角为.
答案：
3．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
(二)素养专练——学会更学通
4. [直观想象、数学运算]如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝________.
解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，在Rt△POB中，PB＝rtan α，则△POB的面积为r·rtan α，由题意得r·rtan α＝2×αr2，∴tan α＝2α，∴＝.
答案：
5．[数学建模]如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转，求点P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P，Q各自走过的弧长．
解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t秒，
则t·＋t·＝2π.
所以t＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒．
设第一次相遇时，相遇点为C，
则∠COx＝·4＝，
则P点走过的弧长为·4＝，
Q点走过的弧长为·4＝；
xC＝－cos·4＝－2，
yC＝－sin·4＝－2.
所以C点的坐标为(－2，－2)．