2020-2021学年湖北省武汉市硚口区同济附中八年级（上）段测数学试卷（9月份） 解析版

2020-2021学年湖北省武汉市硚口区同济附中八年级（上）段测数学试卷（9月份）
一．选择题（共5小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如果三角形的两边长分别为7和9．那么第三边的长可能是下列数据中的（　　）
A．2 B．13 C．16 D．18
2．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　）

A．45° B．60° C．50° D．55°
3．（3分）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形．如图是5×5的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　）

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．70°
5．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（　　）

A．35° B．40° C．50° D．55°
二．解答题（共6小题，共90分）
6．（10分）已知∠AOB，点M、N，在∠AOB的内部求作一点P．使点P到∠AOB的两边距离相等，且PM＝PN（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．

7．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连结DE．
（1）若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数；
（2）若∠A＝∠1，求证：∠CDE＝∠DCE．

8．（15分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F．
（1）求证：EF＝DF；
（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG．

9．（15分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC+∠BDC＝180°．
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE＝∠BAC且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系　 　．

10．（20分）已知：在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰△DBE，取CE的中点为G，连接AG、DG．
（1）如图1，若BE＝AE，∠BDE＝120°，∠BAC＝60°，求证AG⊥DG；
（2）如图2，若BE≠AE，∠BDE+∠BAC＝180°，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由．

11．（20分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰Rt△ABC，如图所示．
（1）若S△ABC的值为5平方单位，求m的值；
（2）BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值；
（3）连接OC，当OC+AC最小时，求点C的坐标．


2020-2021学年湖北省武汉市硚口区同济附中八年级（上）段测数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如果三角形的两边长分别为7和9．那么第三边的长可能是下列数据中的（　　）
A．2 B．13 C．16 D．18
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案．
【解答】解：∵三角形的两边长分别为7和9，
∴9﹣7＜第三边的长＜9+7，即2＜第三边的长＜16，
选项中只有，13符合题意．
故选：B．
2．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　）

A．45° B．60° C．50° D．55°
【分析】想办法求出∠AED，再利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE，
∴∠B＝80°﹣30°＝50°，
故选：C．
3．（3分）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形．如图是5×5的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　）

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【分析】观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形．
【解答】解：根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．
故选：B．

4．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．70°
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠C＝70°，
∴∠DAB＝110°，
∴∠HAA′＝70°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，
∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，
故选：B．
5．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（　　）

A．35° B．40° C．50° D．55°
【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝70°，
∴∠B+∠C＝180°﹣70°＝110°，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，
∴∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，
＝110°﹣70°
＝40°．
故选：B．
二．解答题（共6小题，共90分）
6．（10分）已知∠AOB，点M、N，在∠AOB的内部求作一点P．使点P到∠AOB的两边距离相等，且PM＝PN（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．

【分析】使P到点M、N的距离相等，即画MN的垂直平分线，且到∠AOB的两边的距离相等，即画它的角平分线，两线的交点就是点P的位置．
【解答】解：如图所示：P点即为所求．

7．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连结DE．
（1）若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数；
（2）若∠A＝∠1，求证：∠CDE＝∠DCE．

【分析】（1）求出∠A+∠BCD＝180°，求出∠BCD，求出∠BCE，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形内角和定理和∠A+∠BCD＝180°求出∠CDE＝∠BCE，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵∠B+∠ADC＝180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠BCD＝130°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠BCD＝65°，
∵∠B＝85°，
∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝180°﹣65°﹣85°＝30°；

（2）证明：∵由（1）知：∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠BCE+∠DCE＝180°，
∵∠CDE+∠DCE+∠1＝180°，∠1＝∠A，
∴∠BCE＝∠CDE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠CDE＝∠DCE．
8．（15分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F．
（1）求证：EF＝DF；
（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG．

【分析】（1）过点D作DH∥AC，DH交BC于H，由平行线的性质得∠DHB＝∠ACB，∠DHF＝∠ECF，由等腰三角形的性质得∠B＝∠ACB，则∠B＝∠DHB，证出BD＝HD，得HD＝CE，证△DHF≌△ECF（AAS），即可得出EF＝DF；
（2）由（1）知BD＝HD，由等腰三角形的性质得BG＝GH，由全等三角形的性质得HF＝CF，则GH+HF＝BC，即可得出结论．
【解答】证明：（1）过点D作DH∥AC，DH交BC于H，如图1所示：
则∠DHB＝∠ACB，∠DHF＝∠ECF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DHB，
∴BD＝HD，
∵CE＝BD，
∴HD＝CE，
在△DHF和△ECF中，，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴EF＝DF；
（2）如图2，由（1）知：BD＝HD，
∵DG⊥BC，
∴BG＝GH，
由（1）得：△DHF≌△ECF，
∴HF＝CF，
∴GH+HF＝BH+CH＝BC，
∴BC＝2FG．


9．（15分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC+∠BDC＝180°．
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE＝∠BAC且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系　DE＝DC+BE　．

【分析】（1）延长DC至E，使CE＝BD，连接AE，利用SAS证明△ABD≌△ACE可证明∠ADB＝∠ADE，进而证明结论；
（2）延长DC至F，使CF＝BE，连接AF，利用SAS证明△ABE≌△ACF可得AE＝AF，结合角平分线的性质可得DE＝DF，进而可证明结论．
【解答】（1）证明：延长DC至E，使CE＝BD，连接AE，

∵∠BAC+∠BDC＝180°，∠BAD+∠BDC+∠ABC+∠DCA＝360°，
∴∠ABD+∠DCA＝180°，
∵∠ACE+∠DCA＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，
∴∠ADE＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴AD为∠BDC的平分线；
（2）DE＝DC+BE．
延长DC至F，使CF＝BE，连接AF，

∵∠BAC+∠BDC＝180°，∠BAD+∠BDC+∠ABC+∠DCA＝360°，
∴∠ABD+∠DCA＝180°，
∵∠ACF+∠DCA＝180°，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，∠AEB＝∠AFC，
∵∠ADB＝∠BDC，∠DAE＝∠BAC，
∴∠ADB+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴∠AFC＝∠AEB＝90°，
∴DE＝DF，
∴DE＝DF＝DC+CF＝DC+BE，
即DE＝DC+BE．
10．（20分）已知：在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰△DBE，取CE的中点为G，连接AG、DG．
（1）如图1，若BE＝AE，∠BDE＝120°，∠BAC＝60°，求证AG⊥DG；
（2）如图2，若BE≠AE，∠BDE+∠BAC＝180°，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由．

【分析】（1）延长DG至H，使GH＝GD，连接AD，AH，CH，利用SAS证明△CHG≌△EDG可得CH＝ED，∠HCG＝∠DEG，再利用SAS证明△ABD≌△ACH可得AD＝AH，根据等腰三角形的性质可证明结论；
（2）延长DG至M，使GM＝GD，连接AD，AM，CM，利用SAS证明△CMG≌△EDG可得CM＝ED，∠MCG＝∠DEG，再利用SAS证明△ABD≌△ACM可得AD＝AM，根据等腰三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：延长DG至H，使GH＝GD，连接AD，AH，CH，如图1，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CHG和△EDG中，
，
∴△CHG≌△EDG（SAS），
∴CH＝ED，∠HCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠EBD＝30°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE＝BE，
∴CE⊥AB，
∴∠BED+∠DEG＝90°，∠BAC+∠ACE＝90°，
∴∠HCG＝∠DEG＝60°，∠ACE＝30°，
∴∠ACH＝30°，
∴∠ABD＝∠ACH，
在△ABD和△ACH中，
，
∴△ABD≌△ACH（SAS），
∴AD＝AH，
∵HG＝DG，
∴AG⊥DG；
（2）解：（1）中结论仍然成立．
理由：延长DG至M，使GM＝GD，连接AD，AM，CM，如图2，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CMG和△EDG中，
，
∴△CMG≌△EDG（SAS），
∴CM＝ED，∠MCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，
∴∠BED＝∠EBD＝180°﹣∠BDE，
∵∠BDE+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDE，
∴∠BAC＝2∠BED＝2∠EBD，
∵∠BEC＝∠BED+∠DEG＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BED+∠MCG＝∠BAC+∠ACE，
∵∠MCG＝∠ACM+∠ACE，
∴∠BED+∠ACM+∠ACE＝2∠BED+∠ACE，
∴∠ACM＝∠BED＝∠ABD，
在△ABD和△ACM中，
，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴AD＝AM，
∵MG＝DG，
∴AG⊥DG．

11．（20分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰Rt△ABC，如图所示．
（1）若S△ABC的值为5平方单位，求m的值；
（2）BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值；
（3）连接OC，当OC+AC最小时，求点C的坐标．

【分析】（1）由三角形的面积公式可得AB2＝10，由勾股定理可求解；
（2）延长CE，AB交于点H，由“ASA”可证△AEH≌△AEC，可得HE＝EC，由“ASA”可证△ABD≌△CBH，可得AD＝CH＝2CE，可求解；
（3）先求出点C的运动轨迹，由一次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴S△ABC＝AB2，
∴AB2＝10，
∵AO2+BO2＝AB2，
∴9+BO2＝10，
∴BO＝1，
∵点B在x轴的负半轴，
∴m＝﹣1；
（2）如图2，延长CE，AB交于点H，

∵y轴平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠HAE，
在△AEH和△AEC中，
，
∴△AEH≌△AEC（ASA），
∴HE＝EC，
∴CH＝2EC，
∵∠H+∠HAE＝90°，∠H+∠HCB＝90°，
∴∠HAE＝∠HCE，
又∵AB＝BC，∠ABC＝∠CBH＝90°，
∴△ABD≌△CBH（ASA），
∴AD＝CH＝2CE，
∴＝2；
（3）如图3，过点C作CP⊥x轴于P，

∵∠ABO+∠CBP＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBP，
又∵∠AOB＝∠BPC＝90°，AB＝BC，
∴△ABO≌△BCP（AAS），
∴BO＝CP＝﹣m，AO＝BP＝3，
∴OP＝m+3，
∴点C坐标为（m+3，m），
∴点C在直线y＝x﹣3上运动，
如图，直线y＝x﹣3与x轴交于点K，与y轴交于点M，过点O作MK的对称点N，连接ON交直线MK于点F，连接AN交MK于点C'，即点C'为所求点，
∴点M（0，﹣3），点N（3，0），
∴OM＝OK，
∵点O，点N关于直线MK对称，
∴OF⊥MK，OF＝FN，
∴点F（，﹣），
∴点N（3，﹣3），
∴直线AN解析式为：y＝﹣2x+3，
联立方程组，
解得，
∴点C坐标为（2，﹣1）．