2023-2024学年广东省广州一中九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省广州一中九年级（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点A（﹣1，a），点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
3．已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
4．如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
5．点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（ ）
A．5cm或9cmB．2.5cm
C．4.5cmD．2.5cm或4.5cm
6．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ）
A．16米B．18米C．20米D．24米
7．已知点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3从小到
大排列（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2
8．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
A．1.6B．1.8C．2D．2.6
9．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（a≠0且b≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0）对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根；⑤4a+c＜0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线y＝2（x+1）2+2的顶点坐标为 ．
12．如图，等边△ABC内接于⊙O，D是⊙O上的一点，∠CAD＝45°，则∠BCD的度数是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为 ．
14．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为 ．
15．若二次函数y＝x2+mx+1顶点在x轴上，那么m的值是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是平面内一动点，且∠APB＝90°，取BC的中点E，连接PE，则线段PE的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1．画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A′B′C′．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，以C为旋转中心，旋转一定角度后成△A′B′C，此时B′落在斜边AB上，试确定∠ACA′，∠BB′C的度数．
19．（6分）如图，在⊙O中，C为弦AB的中点，连接CO并延长交⊙O于点D，AB＝CD＝8，求⊙O的半径．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC．⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．
（1）求证：∠B＝2∠ACD；
（2）若∠ACD＝35°，求∠DAE的度数．
21．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）已知P为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点P′恰好在直线BC：y＝﹣x+3上，求点P的坐标．
22．某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣2），B（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D．
①在P点的运动过程中是否存在四边形PCDB为平行四边形，若不存在，请说明理由；若存在，请求点P的坐标；
②求PC+PD的最大值．
24．（12分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ．
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），过点（﹣2，c）．
（1）求a，b之间的关系；
（2）若c＝﹣1，抛物线y＝ax2+bx+c在﹣2≤x≤3的最大值为a+2，求a的值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+c向右平移a（a＞0）个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线顶点记为点P，若，求c的取值范围．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．解：选项A、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2．解：∵点A（﹣1，a），点B（b，2）关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，
故选：A．
3．解：A选项，∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；
D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
4．解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
由圆周角定理得，∠A＝∠BOC＝50°，
故选：D．
5．解：①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为7，
∴圆的直径为7﹣2＝5，
∴该圆的半径是2.5；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为2，最长距离为7，
∴圆的直径＝7+2＝9，
∴圆的半径为4.5，
故选：D．
6．解：∵喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
设抛物线解析式为y＝a（x﹣8）2+1.8，将点（0，1）代入，得1＝64a+1.8
解得
∴抛物线解析式为
令y＝0，解得x＝20（负值舍去）
即C（20，0），∴OC＝20米．
故选：C．
7．解：∵二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，
∴点B离直线x＝2近，点C离直线x＝2最远，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
8．解：由旋转的性质可知，AD＝AB，
∵∠B＝60°，AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝CB﹣BD＝1.6，
故选：A．
9．解：A、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0且对称轴为y轴，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意．
故选：A．
10．解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，且过点（3，0），
∴b＝﹣2a＞0，抛物线过点（﹣1.0）．
∴abc＜0，a﹣b+c＝0．
∴①错误，②正确．
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，
∴当x＝1时，y有最大值＝a+b+c＝a﹣2a+（﹣3a）＝﹣4a，
其值与a有关，
∴③错误．
∵方程ax2+bx+c+1＝0的根即是y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的交点，
由图象知，y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的图象有两个交点．
∴④正确．
∵抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴4a+c＝a＜0，
∴⑤正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．解：因为二次函数的解析式y＝a（x﹣h）2+k称为顶点式，且顶点坐标为（h，k），
所以抛物线y＝2（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
12．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝15°，
∴∠BCD＝∠BAD＝15°，
故答案为：15°．
13．解：分别过点B、B′向x轴作垂线，垂足分别为M、N．
（方法一）∵∠BOB′＝90°，
∴∠BOM+∠B′ON＝90°．
又∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠B′ON＝∠OBM．
在Rt△OMB和Rt△B′NO中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△B′NO（AAS），
∴B′N＝OM＝8，ON＝BM＝4，
∴点B′的坐标为（﹣4，8）．
（方法二）根据题意，得OB′＝OB＝＝＝4．
sin∠BOM＝sin（90°﹣∠B′ON）＝cs∠B′ON＝＝＝，
cs∠BOM＝cs（90°﹣∠B′ON）＝sin∠B′ON＝＝＝．
∴ON＝OB′•cs∠B′ON＝4×＝4，B′N＝OB′•sin∠B′ON＝4×＝8．
∴点B′的坐标为（﹣4，8）．
故答案为：（﹣4，8）．
14．解：连接AE，
∵边长为的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到正方形AB′C′D′，
∴，∠BAB′＝30°，
在△ADE与△AEB′中，
，
∴△ADE≌△AEB′，
∴∠EAD＝∠EAB′＝30°，
∴DE2+AD2＝（2DE）2，
∴，
∴，
故答案为：．
15．解：∵抛物线y＝x2+mx+1的顶点在x轴上，
∴Δ＝m2﹣4×1×1＝0，即m2＝4，
解得m＝±2．
故答案为：±2．
16．解：如图所示，取AB的中点O，
∵AB＝6，
∴，
∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB的圆上运动，即点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴当O在线段PE上时，PE有最大值，
连接EO交⊙O于D，则点P运动到点D时PE有最大值，
由勾股定理得，
∴，
∴PE的最大值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解：如图，△A'B′C'即为所求；
．
18．解：∵以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A'B'C的位置；
∴B′C＝BC；
∵∠B＝60°，
∴△BB′C是等边三角形；
∴∠BB′C＝60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA＝60°．
19．解：连接OA，如图所示：
∵C为AB中点，AB＝8，
∴OC⊥AB，AC＝AB＝4，
设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，
∵CD＝8，
∴OC＝8﹣r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（8﹣r）2+42，
解得：r＝5，
即⊙O的半径为5．
20．【解答】（1）证明：∵D为弧AC的中点，
∴AD＝CD，AC＝AD，
∴∠B＝2∠ACD；
（2）解：∵∠ACD＝35°，∠B＝2∠ACD，
∴∠B＝2×35°＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BCD＝70°+35°＝105°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝75°，
∴∠EAD＝180°﹣75°＝105°．
21．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
当时，y＝﹣12+2×1+3＝4，
∴此抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
（2）设点P′的坐标为（a，﹣a+3），
∵点P与点P′关于x轴对称，
∴点P的坐标为：（a，a﹣3），
又点P在抛物线上，
∴a﹣3＝﹣a2+2a+3，
解得：a1＝3，a2＝﹣2，
又∵点P不与点B重合，
∴a＝﹣2，
∴点P的坐标为：（﹣2，﹣5）．
22．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：．
∴y＝﹣x+150，
令y＝0，则﹣x+150＝0，
解得：x＝150．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+150（80＜x≤150）．
（2）∵y＝﹣x+150，
∴W＝（x﹣8）y＝（x﹣80）（﹣x+150）＝﹣x2+230x﹣12000，
又由题意可得：≤25%，
解得：x≤100，
∴80＜x≤100，
∵W＝﹣x2+230x﹣12000＝﹣（x﹣115）2+1225，
∴当x＝100时，W有最大值，
且Wmax＝﹣（100﹣115）2+1225＝1000（元）．
故将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元．
23．解：（1）∵A（0，﹣2），B（2，0）在抛物线 y＝x2+bx+c 的图象上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）①存在点P，使四边形PCDB为平行四边形 理由如下：
过点P作y轴的平行线交x轴于点D，交线段AB于点H．如图，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∵A（0，﹣2），B（2，0）在直线 y＝kx+b 的图象上，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣2；
设P点的横坐标为m，则：P（m，m2﹣m﹣2），
∵PC∥x轴，
∴C点的纵坐标为：m2﹣m﹣2，
∴C点的横坐标为：m2﹣m﹣2+2＝m2﹣m，
∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣2）
∵PD∥y轴，
∴D（m，0），PC＝m﹣（m2﹣m）＝2m﹣m2，BD＝2﹣m，
∵PC∥BD，
2m+m2＝2﹣m，
m1＝2 （舍去），m2＝1，
m2﹣m﹣2＝1﹣1﹣2＝﹣2，
∴当P点坐标为：P（1，﹣2）时，四边形PCDB为平行四边形；
②∵PC＝2m﹣m2，
PD＝﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+m+2，
PC+PD＝2m﹣m2﹣m2+m+2，
PC+PD＝﹣2m2+3m+2，
当时，
PC+PD有最大值：（PC+PD）＝﹣2×＝＝，
∴PC+PD 的最大值为：，此时点P的坐标为．
24．解：（1）BC＝DC+EC，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
故答案为：BC＝DC+EC；
（2）BD2+CD2＝2AD2，
理由如下：连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝9，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE＝＝＝6，
∵∠DAE＝90°，
∴AD＝AE＝DE＝6．
25．解：（1）把点（﹣2，c）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：
4a﹣2b+c＝c，
∴4a﹣2b＝0，
∴b＝2a；
（2）当x＝﹣1时，y＝ax2+bx﹣1，
∵b＝2a，
∴y＝ax2+2ax﹣1＝a（x+1）2﹣a﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣a﹣1，
当x＝﹣2时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝15a﹣1，
分两种情况：
①当a＞0时，﹣a﹣1＜﹣1＜15a﹣1，
故抛物线y＝ax2+bx+c在﹣2≤x≤3中最大值为15a﹣1，
∴15a﹣1＝a+2，
∴a＝；
②当a＜0时，15a﹣1＜﹣1＜﹣a﹣1，
故抛物线y＝ax2+bx+c在﹣2≤x≤3中最大值为﹣a﹣1，
∴﹣a﹣1＝a+2，
∴a＝﹣，
综上，a的值是或﹣；
（3）由（1）知：b＝2a，
∴y＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2﹣a+c，
∴抛物线y＝ax2+bx+c向右平移a（a＞0）个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线为：y＝a（x+1﹣a）2﹣a+c+1，
∴顶点P的坐标为（a﹣1，c+1﹣a），
∴顶点P在直线y＝﹣x+c上，
若a（a＞0）为任意正实数时，OP≥，即点O到直线y＝﹣x+c的最小距离为，
分两种情况：
①如图，当c＞0时，设直线y＝﹣x+c交x轴于N，交y轴于M，过点O作OH⊥MN于H，
则M（0，c），N（c，0），
∴OM＝ON＝|c|，OH＝MH＝NH，
∴OM＝OH，
∵OH≥，
∴OM≥OH＝2，
∴c≥2；
②当c＜0时，同理得：c≤﹣2；
综上，c的取值范围是c≥2或c≤﹣2．