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    2020届高考数学一轮复习:课时作业14《利用导数研究函数的单调性》(含解析) 练习

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    课时作业14 利用导数研究函数的单调性

                   

    1函数yx2lnx的单调递减区间为( B )

    A(1,1] B(0,1]

    C[1,+) D(0,+)

    解析:yx2lnxyx(x0)

    y′≤0,得0x1

    所以递减区间为(0,1]

    2.下列函数中,在(0,+)上为增函数的是( B )

    Af(x)sin2x Bf(x)xex

    Cf(x)x3x Df(x)=-xlnx

    解析:对于Af(x)sin2x的单调递增区间是(kZ);对于Bf(x)ex(x1),当x(0,+)时,f(x)0函数f(x)xex(0,+)上为增函数;对于Cf(x)3x21,令f(x)0,得xx<-函数f(x)x3x上单调递增;对于Df(x)=-1=-,令f(x)0,得0x1函数f(x)=-xlnx在区间(0,1)上单调递增.综上所述,故选B.

    3(2017·浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示,则函数yf(x)的图象可能是( D )

    解析:利用导数与函数的单调性进行验证.f(x)0的解集对应yf(x)的增区间,f(x)0的解集对应yf(x)的减区间,验证只有D选项符合.

    4(2019·豫南九校联考)已知f(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数,满足f(x)2f(x)0,且f(1)0,则f(x)0的解集为( A )

    A(,-1) B(1,1)

    C(0) D(1,+)

    解析:g(x),则g(x)0R上恒成立,所以g(x)R上递减,又因为g(1)0f(x)0g(x)0,所以x<-1.

    5(2019·安徽江南十校联考)设函数f(x)x29lnx在区间[a1a1]上单调递减,则实数a的取值范围是( A )

    A(1,2] B[4,+)

    C(2] D(0,3]

    解析:f(x)的定义域是(0,+)f(x)xf(x)0解得0x3,由题意知解得1a2.

    6(2019·安徽模拟)已知f(x),则( D )

    Af(2)f(e)f(3) Bf(3)f(e)f(2)

    Cf(3)f(2)f(e) Df(e)f(3)f(2)

    解析:f(x)的定义域是(0,+)

    f(x)x(0e)f(x)0x(e,+)

    f(x)0,故xe时,f(x)maxf(e),而f(2)f(3),则f(e)f(3)f(2)

    7(2019·张掖一诊)定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)1,且2f(x)1,当x时,不等式f(2cosx)2sin2的解集为( D )

    A.   B.

    C.   D.

    解析:g(x)f(x)

    g(x)f(x)0

    g(x)R上单调递增,

    g(1)f(1)0

    f(2cosx)2sin2f(2cosx)g(2cosx)

    f(2cosx)2sin2

    g(2cosx)02cosx1.

    xx.

    8(2019·武汉模拟)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x),当x0xf(x)f(x)0,若abc,则abc的大小关系正确的是( D )

    Aabc Bbca

    Cacb Dcab

    解析:g(x)

    g(x)

    x0时,xf(x)f(x)0

    g(x)0.

    g(x)(0,+)上是减函数.

    f(x)为奇函数,知g(x)为偶函数,

    g(3)g(3)

    ag(e)bg(ln2)cg(3)g(3)

    g(3)g(e)g(ln2),故cab.

    9(2019·银川诊断)若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是 (3,0)(0,+) .

    解析:由题意知f(x)3ax26x1

    由函数f(x)恰好有三个单调区间,

    f(x)有两个不相等的零点.

    需满足a0,且Δ3612a0

    解得a>-3,所以实数a的取值范围是(3,0)(0,+)

    10.已知函数f(x)=-x24x3lnx在区间[tt1]上不单调,则t的取值范围是 (0,1)(2,3) .

    解析:由题意知

    f(x)=-x4=-

    f(x)0,得函数f(x)的两个极值点为13

    则只要这两个极值点有一个在区间(tt1)内,

    函数f(x)在区间[tt1]上就不单调,

    t1t1t3t1,得0t12t3.

    11(2019·河北武邑中学调研)已知函数f(x)exax(aRe为自然对数的底数)

    (1)讨论函数f(x)的单调性;

    (2)a1,函数g(x)(xm)f(x)exx2x(2,+)上为增函数,求实数m的取值范围.

    解:(1)函数f(x)的定义域为Rf(x)exa.

    a0时,f(x)0

    f(x)R上为增函数;

    a0时,由f(x)0xlna

    则当x(lna)时,f(x)0

    函数f(x)(lna)上为减函数,

    x(lna,+)时,f(x)0

    函数f(x)(lna,+)上为增函数.

    (2)a1时,g(x)(xm)(exx)exx2x.

    g(x)(2,+)上为增函数,

    g(x)xexmexm10(2,+)上恒成立,

    m(2,+)上恒成立.

    h(x)x(2,+)

    h(x).

    L(x)exx2L(x)ex10(2,+)上恒成立,

    L(x)exx2(2,+)上为增函数,

    L(x)L(2)e240

    h(x)0(2,+)上成立,

    h(x)(2,+)上为增函数,

    h(x)h(2)m.

    实数m的取值范围是.

    12.已知函数f(x)alnxax3(aR)

    (1)求函数f(x)的单调区间;

    (2)若函数yf(x)的图象在点(2f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t[1,2],函数g(x)x3x2·在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围.

    解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+)

    f(x)

    a0时,f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+)

    a0时,f(x)的单调增区间为(1,+),单调减区间为(0,1)

    a0时,f(x)为常函数.

    (2)(1)及题意得f(2)=-1

    a=-2

    f(x)=-2lnx2x3f(x).

    g(x)x3x22x

    g(x)3x2(m4)x2.

    g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,

    g(x)在区间(t,3)上有变号零点.

    由于g(0)=-2

    g(t)0时,

    3t2(m4)t20对任意t[1,2]恒成立,

    由于g(0)0

    故只要g(1)0g(2)0

    m<-5m<-9,即m<-9

    g(3)0,即m>-.

    m<-9.

    即实数m的取值范围是.

    13(2017·山东卷)若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( A )

    Af(x)2x Bf(x)x2

    Cf(x)3x Df(x)cosx

    解析:设函数g(x)ex·f(x),对于Ag(x)ex·2xx,在定义域R上为增函数,A正确.对于Bg(x)ex·x2,则g(x)x(x2)ex,由g(x)0x<-2x0g(x)在定义域R上不是增函数,B不正确.对于Cg(x)ex·3xx在定义域R上是减函数,C不正确.对于Dg(x)ex·cosx,则g(x)excosg(x)0在定义域R上不恒成立,D不正确.

    14.定义在区间(0,+)上的函数yf(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,其中yf(x)yf(x)的导函数,则( B )

    A816 B48

    C34 D23

    解析:xf(x)2f(x)0x0

    0

    y(0,+)上单调递增,

    ,即4.

    xf(x)3f(x)0x0

    0

    y(0,+)上单调递减,

    ,即8.

    综上,48.

    15(2019·昆明调研)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1f(x)的导数f(x),则不等式f(x2)的解集为 {x|x<-1x1} .

    解析:F(x)f(x)x

    F(x)f(x)

    f(x)F(x)f(x)0

    即函数F(x)R上单调递减.

    f(x2)

    f(x2)f(1)

    F(x2)F(1),而函数F(x)R上单调递减,

    x21,即不等式的解集为{x|x<-1x1}

    16(2019·岳阳质检)已知函数f(x)(ax1)exaR.

    (1)讨论f(x)的单调区间;

    (2)mn0时,证明:mennnemm.

    解:(1)f(x)的定义域为R,且f(x)(axa1)ex.

    a0时,f(x)=-ex0

    此时f(x)的单调递减区间为(,+)

    a0时,由f(x)0,得x>-

    f(x)0,得x<-.

    此时f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.

    a0时,由f(x)0,得x<-

    f(x)0,得x>-.

    此时f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.

    (2)证明:当mn0时,要证mennnemm

    只要证m(en1)n(em1)

    即证.(*)

    g(x)x0

    g(x)x0.

    h(x)(x1)ex1

    (1)h(x)[0,+)上单调递增,

    所以当x0时,h(x)h(0)0

    于是g(x)0

    所以g(x)(0,+)上单调递增,

    所以当mn0时,(*)式成立,

    故当mn0时,mennnemm.

     

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