2020版高考数学一轮复习课后限时集训56《离散型随机变量及其分布列》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(五十六)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(    )

A．0   B.

C.   D.

C　[由已知得X的所有可能取值为0,1，

且P(X＝1)＝2P(X＝0)，

由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.]

2．若离散型随机变量X的分布列为

则常数c的值为(    )

A.或   B.

C.   D．1

C　[根据离散型随机变量分布列的性质知

解得c＝.]

3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(    )

A.   B.

C.   D.

D　[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.]

4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是(    )

A．P(X＝2)           B．P(X≤2)

C．P(X＝4)   D．P(X≤4)

C　[X服从超几何分布，故P(X＝k)＝，k＝4.]

5．若随机变量X的分布列为

则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(    )

A．(－∞，2]           B．[1,2]

C．(1,2]   D．(1,2)

C　[由随机变量X的分布列知P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．]

二、填空题

6．(2019·洛阳模拟)袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.

　[P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.]

7．已知随机变量X的概率分别为p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．

　[由已知得p1＝p2－d，p3＝p2＋d，由分布列性质知

(p2－d)＋p2＋(p2＋d)＝1，得p2＝，

又得－≤d≤.]

8．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．

－1,0,1,2,3　[X＝－1，甲抢到一题但答错了．

X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．

X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题， 且1错2对．

X＝2时，甲抢到2题均答对．

X＝3时，甲抢到3题均答对．]

三、解答题

9．有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入坐编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．

(1)求n的值；

(2)求随机变量X的概率分布列．

[解]　(1)因为当X＝2时，有C种坐法，

所以C＝6，即＝6，

n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.

(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，

由题意知X的可能取值是0,2,3,4，

所以P(X＝0)＝＝，

P(X＝2)＝＝＝，

P(X＝3)＝＝＝，

P(X＝4)＝1－－－＝，

所以X的概率分布列为：

10.(2019·天津模拟)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：

(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

[解]　(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.

所以随机变量X的分布列为

(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.

由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，

而P(A1)＝＝，

P(A2)＝P(X＝2)＝，

P(A3)＝P(X＝3)＝.

∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为

P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.

B组　能力提升

1．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤X≤x2)等于(    )

A．(1－α)(1－β)           B．1－(α＋β)

C．1－α(1－β)   D．1－β(1－α)

B　[显然P(X＞x2)＝β，P(X＜x1)＝α.由概率分布列的性质可知P(x1≤X≤x2)＝1－P(X＞x2)－P(X＜x1)＝1－α－β＝1－(α＋β)．]

2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(    )

A．P(X＝3)           B．P(X≥2)

C．P(X≤3)   D．P(X＝2)

D　[由超几何分布知P(X＝2)＝.]

3．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．

[ξ的可能取值为0,1，.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝)＝＝.

P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.

所以随机变量ξ的分布列为

　]

4．(2019·安庆模拟)为了了解高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在[100,110)间的频数为7，次数在110以下(不含110)视为不达标，次数在[110,130)间的视为达标，次数在130以上视为优秀．

(1)求此次抽样的样本总数为多少人？

(2)在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？

(3)将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标成绩记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们的分值和记为X，求X的分布列．

[解]　(1)设样本总数为n，

由频率分布直方图可知：次数在[100,110)间的频率为：0.014×10＝0.14，

所以＝0.14，解得n＝50.

(2)记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A.

P(C)＝0.006×10＋0.014×10＝0.20；

P(B)＝0.028×10＋0.022×10＝0.50；

P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.30.

(3)在高一学生中随机抽取2名学生的成绩和X＝10,15,20,25,30.

P(X＝10)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝15)＝2×0.2×0.5＝0.2；P(X＝20)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37；

P(X＝25)＝2×0.3×0.5＝0.3；P(X＝30)＝0.32＝0.09.

X的分布列为