2020版高考数学一轮复习课后限时集训58《离散型随机变量的均值与方差正态分布》(理数)（含解析） 试卷
展开课后限时集训(五十八)
(建议用时：60分钟)
A组 基础达标
一、选择题
1．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝( )
A. B. C．4 D.
B [由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.]
2．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：正态分布N(μ，σ2)中，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4)
A．0.045 6 B．0.135 9
C．0.271 8 D．0.317 4
B [因为P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，
所以P(3＜ξ＜6)＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，故选B.]
3．已知随机变量ξ的分布列为
ξ | －1 | 0 | 1 | 2 |
P | x | y |
若E(ξ)＝，则D(ξ)＝( )
A．1 B. C. D．2
B [∵E(ξ)＝，∴由随机变量ξ的分布列知，∴则D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.]
4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝( )
A．3 B. C. D．4
B [ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，则E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝，故选B.]
5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是( )
A. B.
C. D.
C [由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜.由p∈(0,1)，可得p∈.]
二、填空题
6．设X为随机变量，X～B，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于________．
[由X～B，E(X)＝2，得
np＝n＝2，∴n＝6，
则P(X＝2)＝C24＝.]
7．(2019·海口模拟)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：kg)服从正态分布N(25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4 kg的概率为________．(附：若Z～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.682 6，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.954 4，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.997 4)
0．818 5 [∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.
∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝×(0.682 6＋0.954 4)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.]
8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝________.
4．5 [X的取值为3,4,5.
又P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X | 3 | 4 | 5 |
P | 0.1 | 0.3 | 0.6 |
∴E(X)＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5.]
三、解答题
9．(2019·武汉模拟)某市高中某学科竞赛中，某区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．
(1)求这4 000名考生的平均成绩(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；
(2)认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)
附：①s2＝204.75，≈14.31；
②Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，
P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4；
③0.841 34≈0.501.
[解] (1)由题意知：
中间值 | 45 | 55 | 65 | 75 | 85 | 95 |
概率 | 0.1 | 0.15 | 0.2 | 0.3 | 0.15 | 0.1 |
∴＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，
∴这4 000名考生的平均成绩为70.5分．
(2)由题知Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5，
σ2＝204.75，σ≈14.31，
∴Z服从正态分布N(μ，σ2)，即N(70.5,14.312)．
而P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝P(56.19＜Z＜84.81)＝0.682 6，
∴P(Z≥84.81)＝＝0.158 7.
∴竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.158 7×4 000＝634.8≈635.
(3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1－0.158 7＝0.841 3.
而ξ～B(4,0.841 3)，
∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C×0.841 34≈1－0.501＝0.499.
10．(2019·辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利润200元．
(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；
(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位：台)，整理得下表：
周需求量n | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
频数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调，X表示当周的利润(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
[解] (1)当n≥20时，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6 000；
当n≤19时，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2 000，
∴f(n)＝(n∈N)．
(2)由(1)得f(18)＝8 800，f(19)＝9 400，
f(20)＝10 000，f(21)＝10 200，f(22)＝10 400，
∴P(X＝8 800)＝0.1，P(X＝9 400)＝0.2，P(X＝10 000)＝0.3，P(X＝10 200)＝0.3，P(X＝10 400)＝0.1，
X的分布列为
X | 8 800 | 9 400 | 10 000 | 10 200 | 10 400 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.1 |
∴E(X)＝8 800×0.1＋9 400×0.2＋10 000×0.3＋10 200×0.3＋10 400×0.1＝9 860.
B组 能力提升
1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ | 0 | 1 | 2 |
P | a | b | c |
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为( )
A. B. C. D.
B [由题意知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝.]
2．(2019·杭州模拟)已知0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：
ξ | －1 | 0 | 1 |
P | a | －a |
当a增大时，( )
A．E(ξ)增大，D(ξ)增大
B．E(ξ)减小，D(ξ)增大
C．E(ξ)增大，D(ξ)减小
D．E(ξ)减小，D(ξ)减小
B [由题意得，E(ξ)＝－a＋，D(ξ)＝2×a＋2＋2×＝－a2＋2a＋，
又∵0＜a＜，∴当a增大时，E(ξ)减小，D(ξ)增大．]
3．2018年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．
[由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N(95,82)，
∴P(ξ＞95)＝，故所求概率P＝C4＝.]
4．某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列、均值与方差．
[解] (1)由频率分布直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.
因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为＝40.
又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为，成绩不合格的概率为1－＝，可判断ξ～B.
P(ξ＝0)＝C×2＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C×2＝，
故所求分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P |
ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，
ξ的方差为D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
