2020版高考数学一轮复习课后限时集训3《全称量词与存在量词逻辑联结词“且”“或”“非”》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(三)

(建议用时：40分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．(2019·石家庄模拟)已知命题p：存在x∈(0，＋∞)，ln x=1－x，则命题p的真假及﹁p依次为(　　)

A．真；存在x∈(0，＋∞)，ln x≠1－x

B．真；任意x∈(0，＋∞)，ln x≠1－x

C．假；任意x∈(0，＋∞)，ln x≠1－x

D．假；存在x∈(0，＋∞)，ln x≠1－x

B　[当x=1时，ln x=1－x=0，故命题p为真命题．

∵命题p：存在x∈(0，＋∞)，ln x=1－x，∴﹁p：任意x∈(0，＋∞)，ln x≠1－x，故选B.]

2．(2019·广州模拟)设命题p：任意x＜1，x2＜1，命题q：存在x＞0,2x＞，则下列命题中是真命题的是(　　)

A．p且q　 B．(﹁p)且q

C．p且(﹁q)   D．(﹁p)且(﹁q)

B　[当x=－2时，x2=4＞1，显然命题p为假命题；

当x0=1时，2x0=2＞1=，显然命题q为真命题；

∴﹁p为真命题，﹁q为假命题，∴(﹁p)且q为真命题，故选B.]

3．(2019·衡水模拟)设命题p：“任意x2＜1，x＜1”，则﹁p为(　　)

A．任意x2≥1，x＜1  B．存在x2＜1，x≥1

C．任意x2＜1，x≥1  D．存在x2≥1，x≥1

B　[因为全称命题的否定是特称命题，所以﹁p为存在x2＜1，x≥1，故选B.]

4．(2019·沈阳模拟)已知命题“存在x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，0)   B．[0,4]

C．[4，＋∞)   D．(0,4)

D　[因为命题“存在x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“任意x∈R,4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命题，则Δ=(a－2)2－4×4×=a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故选D.]

5．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p且q   B．﹁p且﹁q

C．﹁p且q   D．p且﹁q

D　[由题设可知：p是真命题，q是假命题；所以，﹁p是假命题，﹁q是真命题；所以，p且q是假命题，﹁p且﹁q是假命题，﹁p且q是假命题，p且﹁q是真命题．故选D.]

6．命题“任意n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A．任意n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n

B．任意n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n

C．存在n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n

D．存在n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n

D　[命题“任意n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“存在n∈N*，f(n0)∉N*或f(n)＞n”，故选D.]

7．给出下列命题：

①任意α∈R，sin α＋cos α＞－1；

②存在α∈R，sin α＋cos α=；

③任意α∈R，sin αcos α≤；

④存在α∈R，sin αcos α=.

其中正确命题的序号是(　　)

A．①②  B．①③

C．③④  D．②④

C　[由sin α＋cos α=sin≤知①②是假命题，

由sin αcos α=sin 2α≤知③④是真命题，故选C.]

二、填空题

8．若“任意x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

1　[∵0≤x≤，∴0≤tan x≤1，

由“任意x∈，tan x≤m”是真命题，

得m≥1.

故实数m的最小值为1.]

9．已知命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：

①命题“p且q”是真命题；

②命题“p且(﹁q)”是假命题；

③命题“(﹁p)或q”是真命题；

④命题“(﹁p)或(﹁q)”是假命题．

其中正确的是________(填序号)．

①②③④　[命题p，q均为真命题，则﹁p，﹁q为假命题．从而结论①②③④均正确．]

10．已知命题p：任意x∈[0,1]，a≥ex，命题q：存在x∈R，x2＋4x＋a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

[e,4]　[由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a=0有解，则Δ=16－4a≥0，∴a≤4，综上知e≤a≤4.]

B组　能力提升

1．命题“任意x∈R，存在n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)

A．任意x∈R，存在n∈N*，使得n＜x2

B．任意x∈R，任意n∈N*，使得n＜x2

C．存在x∈R，存在n∈N*，使得n＜x2

D．存在x∈R，任意n∈N*，使得n＜x2

D　[任意的否定是存在，存在的否定是任意，n≥x2的否定是n＜x2.故命题“任意x∈R，存在n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“存在x∈R，任意n∈N*，使得n＜x2”．]

2．(2019·合肥模拟)设命题p：函数f(x)=x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y=ln(x2＋ax＋1)的值域是R.如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，3] 

B．(－∞，－2]∪[2,3)

C．(2,3]

D．[3，＋∞)

B　[由函数f(x)=x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减，得f′(x)=3x2－a≤0在[－1,1]上恒成立，故a≥(3x2)max=3，即a≥3；由函数y=ln(x2＋ax＋1)的值域是R，得x2＋ax＋1能取到全体正数，故Δ=a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2.因为命题p或q为真命题，p且q为假命题，所以p，q一真一假，当p真q假时，可得{a|a≥3}∩{a|－2＜a＜2}=∅，当p假q真时，可得{a|a＜3}∩{a|a≤－2或a≥2}={a|a≤－2或2≤a＜3}．综上可得实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2,3)，故选B.]

3．已知下面四个命题：

①“若x2－x=0，则x=0或x=1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”；

②“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；

③命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0，则﹁p：对任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0；

④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．

其中为真命题的是________．(填序号)

①②③　[①正确．

②中，x2－3x＋2＞0⇔x＞2或x＜1，

所以“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件，②正确．

由于特称命题的否定为全称命题，所以③正确．

若p且q为假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．]

4．已知下列命题：①存在x∈，sin x＋cos x≥；

②任意x∈(3，＋∞)，x2＞2x＋1；

③存在x∈R，x2＋x=－1；

④任意x∈，tan x＞sin x.

其中真命题为________．(填序号)

①②　[对于①，当x=时，sin x＋cos x=，所以此命题为真命题；对于②，当x∈(3，＋∞)时，x2－2x－1=(x－1)2－2＞0，所以此命题为真命题；对于③，任意x∈R，x2＋x＋1=2＋＞0，所以此命题为假命题；对于④，当x∈时，tan x＜0＜sin x，所以此命题为假命题．]