广东省深圳市外国语学校2021届高三第一次月考 数学（含答案） 试卷

数 学 试 卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5页，满分120分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班别、座位号等相关信息填写在答题卷指定区域内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的干净平整。

一.选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分. 其中第1题~第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

1.若，则（   ）

1.           B.           C .           D.

2.已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ）

 A.          B.           C .           D.

3.设m，n是两条直线， α，β表示两个平面，如果m⊂α，α∥β，那么“n⊥β”是“m⊥n”的(　　)

A．充要条件                    B．必要不充分条件

C．充分不必要条件              D．既不充分也不必要条件

4．已知向量a与b的夹角为，且|a|＝1，|2a+b|＝，则|b|等于(　　)

A.         B.         C．1           D.

5．某同学进行3分投篮训练，若该同学投中的概率为，他连续投篮n次至少得到3分的概率大于0.9，那么n的最小值是(　　)

A．3            B．4            C．5            D．6

6．已知 则(　　)

A．        B．         C．        D．

7.有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G77从武汉出发（G77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有(　　)

A．24 种       B．36种         C．81种        D．256种

8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，以下结论错误的是(　　)

A．面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条

B．直线A1D与BC1垂直

C．直线A1D与BD1平行

D．三棱锥A－A1CD的体积为a3

9．已知函数，若存在定义域内的两实数，使得成立，且则需要经过怎样的平移才能得到的图像  (　　)

A. 向左平移个单位                 B. 向左平移个单位    

C. 向右平移个单位                 D．向右平移个单位

10．已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＋xf′(x)>0，若a＝0.76f(0.76)，b＝(log0.76)f(log0.76)，c＝60.6·f(60.6)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c>a>b   B．a>c>b

C．b>a>c   D．a>b>c

11．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是   (　　)

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．

A．互联网行业从业人员中90后占一半以上

B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

12.已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的值可能是    (　　)

A．7        B．8         C．9        D．10

二.    填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13.已知等差数列{an}的前项和，其前三项和为6，后三项和为39，则该数列有_____项。

14.的展开式中，不含的各项系数之和为________。

15.已知，对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为_____。

16. 在三棱锥中，已知二面角的平面角的余弦值为，且满足，又,则三棱锥外接球的表面积为_____。

三．解答题（本大题6小题，17题10分,18-22题每题12分，共70分）

17．设数列{an}的前n项和为，，都有，且.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：＋＋…＋<1.

18．已知的内角，，满足,

的面积为．

（1）求；

（2），求的周长．

19．已知椭圆的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点（m，0）且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，若存在求出实数m的值；若不存在需说明理由．

20．如图，在三棱锥M－ABC中，MAC为等边三角形，MB＝2，AB＝BC＝2，AC的中点O在为三角形ABC的外接圆的圆心，点N在边BC上，且＝.

(1) 求BO与平面AMC所成的角；

(2) 求二面角N－AM－C的正弦值．

21．在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列如下，其中，．

（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；

（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为（单位：元）．

设时的概率为，求当取最大值时，利润的分布列和数学期望；

设某数列满足，，，若对任意恒成立，求整数的最小值．

22．已知函数f(x)＝ax－ln x.

(1)求f(x)的极值；

(2)设，求证：.

参考答案（数学）

1答案：D 解析:.

2答案：A 

3.答案：C  解析：如果m⊂α，α∥β，那么由n⊥β，可得到n⊥α，

即可得到m⊥n；

反之，由m⊥n，m⊂α，α∥β，不能得到n⊥β.

所以“n⊥β”是“m⊥n”的充分不必要条件．

4.答案:　C  解析:　∵向量a与b的夹角为，且|a|＝1，|2a＋b|＝，

∴|2a＋b|2＝7，即4a2＋4a·b＋b2＝7，∴4＋2|b|＋|b|2＝7，∴|b|＝1.

5.       答案　B  解析　由题意可得，求得，∴n≥4.

6.答案：B 解析：

7.答案：B  解析  先分组，有种，再分配,有，所以一共有种

8.答案　C解析　如图所示，建立空间直角坐标系．

A中，A1(a,0，a)，D(0,0,0)，A(a,0,0)，B1(a，a，a)．

∴＝(－a,0，－a)，＝(0，a，a)，

∴cos〈，〉＝＝＝－，

∴异面直线A1D与AB1所成的角为60°.

同理：正方体的六个面中除了平面ADD1A1与BCC1B1的面对角线外其他的面对角线都与A1D所成的角为60°

B中，C1(0，a，a)，B(a，a,0)．·＝(－a,0，－a)·(－a,0，a)＝a2－a2＝0.

∴直线A1D与BC1垂直．

C中，D1(0,0，a)．∵·＝(－a,0，－a)·(－a，－a，a)＝a2－a2＝0，

∴直线A1D与BD1垂直，不平行；

D中，三棱锥A－A1CD的体积＝＝×a2·a＝a3.

综上可知，只有C不正确．

9.答案：C解析：由题意可知，

由，且可知，

故向右平移个单位后可以得到的图像。

10.答案：A解析：由y＝f(x)是定义在R上的偶函数，可得y＝xf(x)是定义在R上的奇函数，

又因为x∈[0，＋∞)时，y′＝f(x)＋xf′(x)>0，

所以y＝xf(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以y＝xf(x)是定义在R上的增函数，

因为log0.76<0<0.76<1<60.6，所以b<a<c.

11.答案：ABC 解析：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；

在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；

在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；

在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误．

12.答案：BCD 解析：由，令

由，令

则的表示上一点与上一点的距离的平方，设上与平行的切线的切点为

由切点为

所以切点为到的距离的平方为的距离为与的距离的平方的最小值。所以选BCD。

13.答案：30解析：依题意可知

14. 答案：256

解析：的展开式的通项为，可知当时不含有，此时，令可得到各项系数之和为256.

15.答案： 解析：由

16.答案：解析：由

由

在中，由余弦定理可得即：可求得，即即，又

所以外接球的直径就是，此时表面积为

17.解　(1)设等差数列{an}的公差为d，，都有

由a2＋S2＝3a1＋2d＝－5，即a1＋2d＝－3，

解得a1＝－1，d＝－1，

所以an＝－1－(n－1)＝－n.

(2)由an＝－n，所以＝＝－，

所以＋＋…＋＝＝1－<1.

18.【解答】解：（1）设内角，，的对边分别为，，，

可得，化简可得，

由余弦定理可得，

，.

（2）因为，，

所以．由，，

因为，，

，，

所以的周长为．

19.【解答】解：（1）根据题意，抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），

则F（2，0），即c＝2，

又椭圆的离心率为，即e＝，

解可得，则a2＝6，则b2＝a2﹣c2＝2

故椭圆的方程为．

（2）由题意得直线l的方程为

由消去y得2x2﹣2mx+m2﹣6＝0．

由△＝4m2﹣8（m2﹣6）＞0，解得．

又m＞0，∴．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝m，．

则．

又由以AB为直径的圆过原点，则，

即

即，又    

即存在使得以AB为直径的圆过原点．

20.(1)证明　连接OM，

在△ABC中，由AC的中点O在为三角形ABC的外接圆的圆心，AB＝BC＝2，可知三角形ABC为等腰直角三角形，所以AC＝2，O为AC的中点，则OB⊥AC，且OB＝.

在△MAC中，MA＝MC＝AC＝2，O为AC的中点，则OM⊥AC，且OM＝.

在△MOB中，满足BO2＋OM2＝MB2，所以OB⊥OM，

又AC∩OM＝O，AC，OM⊂平面AMC，

故OB⊥平面AMC，所以BO与平面AMC所成的角为900.

(2)解　因为OB，OC，OM两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为MA＝MB＝MC＝AC＝2，AB＝BC＝2，

则A(0，－，0)，B(，0,0)，C(0，，0)，M(0,0，)，

＝(0，，)，＝(－，，0)，

由＝，所以N，则＝，

设平面MAN的法向量为m＝(x，y，z)，

则

令y＝，得m＝(－5，，－1)，

因为BO⊥平面AMC，所以＝(，0,0)为平面AMC的法向量，

所以m＝(－5，，－1)与＝(，0,0)所成角的余弦值为cos〈m，〉＝＝.

所以二面角的正弦值为|sin〈m，〉|＝＝＝.

21.【解答】解：（1）购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率为：

．

（2）由题可得的值分别为4000，4500，5000，5500，6000，

，

，

，

，

，

，

取最大值的条件为，

当取最大值时，利润的分布列为：

．

由题意得，，

化简，得：，

即是等比数列，首项为，公比为，

，化简，得：，

由题可知：

，

，解得或，

，，

当为偶数时，上述不等式恒成立，

当为奇数时，，解得，

综上所述，的最小值为4．

22.(1)解　f′(x)＝a－(x>0)，

当a≤0时，f′(x)<0恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(x)无极值；

当a>0时，令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得0<x<，

则f(x)在上单调递减，在上单调递增，

f(x)有极小值为1＋ln a，无极大值．

（2）证明　可知，故要证

只需证，故只需证

令：，定义域为

令，

所以当时，递减；当时递增

所以；

令：，定义域为

令，

所以当时，递增；当时递减

所以；

所以，，即：

所以原不等式成立。