广东省深圳外国语学校2021届高三第二次月考数学试题 Word版含答案

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数学 试题

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分. 其中第1题~第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

1.设集合，，，则=  （ ▲ ）

A．           B．        C．           D．

2.设，则“”是“”的                             （ ▲ ）

A．充分而不必要条件              B．必要而不充分条件

C．充要条件                      D．既不充分也不必要条件

3. 已知偶函数在上是增函数，若，，，则，

b，c的大小关系为                                                       （ ▲ ）

A．          B．   C．      D．

4.已知复数满足,则复数对应的点在（ ▲ ）上

A．直线     B．直线    C．直线    D．直线

5.设正实数满足（其中为正常数）,若的最大值为3，则=   （ ▲ ）

 A.3       B.   C .    D.

6.已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足，则的最大值为                                                                  （ ▲ ）

A.        B.         C.         D.

7.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为（ ▲ ）

A.        B.

C.        D.

8.函数图象上关于坐标原点对称的点有对，则的值为                                                      （ ▲ ）

A.无穷多         B.6  C.5      D.4

9.定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则                                                  （ ▲ ）

A.      B.     C.      D.

10.已知数列满足：，用 表示不超过的最大整数，

则的值等于                        （ ▲ ）

A.1             B. 2            C.3                 D.4

11.设，则下列不等式中，成立的是                       （ ▲ ）

A.       B.，    C.    D.

12.一个等腰直角三角形内有一个内接等腰直角三角形，（即三点分别在三角形三边或顶点上），则两三角形面积比的值可能为            （ ▲ ）

A．            B、            C、              D、

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13.已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为 ▲ .

14.已知向量与的夹角为30°，且，则等于  ▲  .

15.设正项的等比数列的前项和为，若满足，则  ▲  .

16.设函数，,则函数零点的个数有

   ▲  个.

三、解答题（本大题6小题，共70分，第17题10分，第18~22题每题12分）

17.已知函数.

（1）若的最小值是2，求的值；

（2）把函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，当时，求使成立的x的取值集合.

18.已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

19.在锐角中，角所对的边分别为，且.

（1）求角;

（2）求的取值范围.

20.已知为实数，函数.

（1）若，求实数的值并求出函数在处的切线方程；

（2）设为在区间上的最小值,请写出的表达式.

21.已知数列满足.

（1）当时，求数列的前项和;

（2）若对任意，都有成立，求的取值范围.

22.已知函数，其中.

（1）求的单调区间;

（2）若，且存在实数，使得对任意实数，

恒有成立，求的最大值.

答案

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分. 其中第1题~第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

1.B;解：，则，故选B.

2.B;【解析】由，得，所以，反之令，有 成立，不满足，所以“”是“”的必要而不充分条件．选B．

3.C；解;由题意为偶函数，且在上单调递增，

所以,又，，

所以，故，选C．

4.C解：因为，所以复数对应的点是 ，所以在直线上．

5.D；解：，则，所以故选D.

6.D;解：本题已知模长且夹角特殊，通过作图可得为模长为，设，则可得且，而可视为以共起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上.通过数形结合可得的最大值为，故选D.

7.A;解：根据三视图，知该三棱锥是底面为腰长为2、底为的等腰三角形，侧面分别是两个腰为2的等腰直角三角形和一个底为、高为的三角形，所以该三棱锥的表面积为，故选A.

8.D;解：与的图像关于原点对称，在同一坐标系内作出函数和函数的图像，知两个图像有4个交点.所以函数的图像关于原点对称的点有4对，故选D.

9.B ;解：,即因为定义在上，

，令则则函数在上单调递增.由得，即，

同理令 则函数在上单调递减.由得，即。故选B

10. A;解：由得，，

.

由得，知从以后都大于1，，则,故选A.

11.答案：ABD

解析：由幂、指对函数的图像与性质可得

提示：，

12.答案：AB

解析：如图，由两种方式

   （1）左图中R为AB中点，设△ABC的直角边长,为△PQR的直角边长为x,

   则

  （2）右图中，

  综上，最小值为，最大值显然为1. 所以选A，B

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13、解析　 则

14、解析　由题意可得，

即

15、答案：4

解析：时得：

      时得：

16、答案：8

解析：作出图像，共有8个公共点，注意在处不是公共点。

三、解答题（本大题6小题，共70分，第17题10分，第18~22题每题12分）

17.已知函数.

（1）若的最小值是2，求的值；

（2）把函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，当时，求使成立的x的取值集合.

【解析】（1）化简，求出最小值，即可求解；

（2）根据平移关系求出，再解关于三角不等式，即可求解.

【详解】

（1）∵ ……………………  2分

∴，∴……………………………………………………4分          

（2）∵

由，知，………………………………………………… 6分                          

∴………………………………………………8分

解得，                    

∴满足的x取值的集合为.………………10分

18.已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解答】解：（1），，①

，，成等比数列，，

化简得，②………………………………………………3分

由①②可得，，．

数列的通项公式是；………………………………6分

（2）由（1）得，………………9分

……12分

19.在锐角中，角所对的边分别为，且.

（1）求角；（2）求的取值范围.

解：（1）方法一：使用余弦定理……2分

  ……………………………………………4分

由余弦定理得：   …………………6分

方法二：观察等式齐次，考虑使用正弦定理

………………………………2分

……………4分

………………………………………………………………6分

（2）

  ………………………………9分                       

为锐角三角形  

    ……12分

20.已知为实数，函数.

（1）若，求实数的值并求出函数在处的切线方程；

（2）设为在区间上的最小值,请写出的表达式.

解析：（1）解：函数的定义域为，

（）．………………………………………………2分

  …………………………………………………………………… 3分

则，，则

则函数在处的切线方程为……………… 5分

（2）（）．

若，则，在区间上单调递增．

若，令，得，当时，，当时，．

有单调递减区间，单调递增区间 …………… 7分

所以若，在上单调递增，

所以．  ………………………………………………………………8分                         

若，在上单调递减，在上单调递增，

所以．………………………………………………………10分

若，在上单调递减，

所以．

综上所述， ……………………………………  12分

21.已知数列满足.

（1）当时，求数列的前项和;

（2）若对任意，都有成立，求的取值范围.

解：（1）  ①

  ②

①②可得： ………………………… 2分

中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4

当时，

当为奇数时，

…………………………4分

所以当为偶数时

为奇数时

……………… 6分

（2）解：由（1）可得：的奇数项，偶数项各为等差数列，且公差为4

当为奇数时，

化简后可得：

所以只需

设

解得：或………………………………9分

当为偶数时，同理：，

化简可得：即

设可得：

综上所述：或  ………………………… 12分

22.已知函数，其中.

（1）求的单调区间;

（2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值.

解：（1）

当时， 

 在单调递增………………2分

当时，在单调递增，单调递减 ………………4分

（2）解：恒成立的不等式为：

设

………………6分

即

由（1）可得：在单调递减

① 若

则   即在上单调递增

   ………………………… 8分

② 若即

则  即在上单调递减

，

而…………………… 10分

③ 当时，

在单调递减，在上单调递增

单调递减   

综上所述：的最大值为……………………………… 12分