2021年杭州师大附中高一自主招生考试数学测试题及参考答案

师大附中高一自主招生考试

数学测试题

本卷满分150分  考试时间120分钟

一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）

1、下列图中阴影部分面积与算式的结果相同的是………………【    】

2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【   】

① 实数不是有理数就是无理数；② a＜a＋a；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，

非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数

A. 1 个           B. 2 个             C. 3 个            D. 4

3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按

半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么……………………………………………………………………【   】

A、甲比乙更优惠      B、乙比甲更优惠  　C、甲与乙相同  　D、与原标价有关

4、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右  

滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为【    】

A、2π          B、π      　 　C、     　D、4

5、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有个，最少有个，则

等于……………………………………………………………………………【   】

A、36          B、37          C、38          D、39

二、填空题（每小题6分，共48分）

1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过            小时，两人相遇。

2、若化简的结果为，则的取值范围是                        。

3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是               。

4、已知点是一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限内的交点，点在 轴的负半轴上，且（为坐标原点），则的面积为                    。

5、如果多项式可以分解成两个一次因式的积，那么整数的值是                。

6、如右图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足。延长QP与AC的延长线交于R，设BP=（），△BPQ与△CPR的面积之和为，把表示为的函数是                     。

7、已知为方程的两实根，

则             。

8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多

             道。

三、解答题（本大题6小题，共72分）

1、（10分）在中，，。的垂直平分线分别交、于、两点，连结，如果，求：的值。

2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。

⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？

⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中，。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。

4、（12分）如图所示等腰梯形中，∥，,对角线与交于,, 点分别是的中点。

求证：△是等边三角形。

5、（12分）如右图，直线OB是一次函数的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB

上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。

6、（14分）已知关于x的方程有两个正整数根（m 是整数）。

△ABC的三边a、b、c满足，，。

求：⑴ m的值；⑵ △ABC的面积。

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数学试题参考答案

一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B

二、1、2  2、  3、甲、乙  4、 5、6、  7、7  8、20

三1、有已知可得均为等腰直角三角形，计算得，在直角三角形中，。

2、（1）设购买台甲机器，则，所以。即取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。

（2）按方案①，所需资金（万元），日产量为（个）；按方案②，所需资金（万元），日产量为（个）；按方案③，所需资金为（万元），日产量为（个）。所以，选择方案②。

3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设 DN＝x，PN＝y，则面积 S＝xy，  ①

因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得

 ，即．

  代入①，得，

  即．

     因为3≤y≤4，而y＝不在自变量的取值范围内，所以y＝不是最值点，

当y＝3时，S＝12；当 y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12．

此时，钢板的最大利用率是80％。

4、连CS。

∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，

∴AO=BO,CO=DO.

∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形.

∵S是OD的中点，∴CS⊥DO.

在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=BC.

同理BP⊥AC.

在Rt△BPC中，PQ=BC.

又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC.

∴SP=PQ=SQ.

故△SPQ为等边三角形.

5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2.

   设C1（），则得，解得，得C1（）

   若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2.

   设C2（），则得，解得.得C2（）

   又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（）

   若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（）.

   所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：

（），（），（），C4（）

6、（1）方程有两个实数根，则，解方程得

，．由题意，得  即

故．

（2）把代入两等式，化简得，，

当时，．

当时，、是方程的两根，而△＞0，由韦达定理得，

＞0，＞0，则＞0、＞0．    

①，时，由于

故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝．

②，时，因，故不能构成三角形，不合题意，舍去．

③，时，因＞，故能构成三角形．

S△ABC＝

综上，△ABC的面积为1或．