【精品】人教版 七年级上册数学 专题10 七年级数学上册期末考试重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）

专题10 七年级数学上册期末考试重难点题型【举一反三】
【人教版】


【考点1 利用数轴判断符号】
【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.
【例1】（秋•宿松县期末）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①ab＜0，②﹣a＞﹣b，③a+b＜0，④a﹣b＜0，⑤a＜|b|，正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（秋•西城区期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值为负数的是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【变式1-2】（秋•九龙坡区校级期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab＜0；②a+b＞0；③a﹣b＞1；④a2﹣b2＜0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（秋•黄陂区期中）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置，如图所示：①abc＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四个结论正确的有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点2 有理数混合运算】
【方法点拨】解决此类问题需熟变式掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.
【例2】（2019春•黄州区校级月考）计算：
（1）
（2）
【变式2-1】（秋•宝应县期末）计算：
（1）
（2）
【变式2-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）计算：
（1）．
（2）．
【变式2-3】（秋•渝中区校级期末）有理数的计算：
（1）
（2）
【考点3 有关数轴的探究题】
【方法点拨】解决此类问题数形结合思想是关键.
【例3】（秋•海淀区校级期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位，
（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下（单位：秒）：
﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6
①第　 　次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；
②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．

【变式3-1】（秋•江岸区校级月考）如图，数轴上A，B两点对应的数分别﹣4，8．有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动
（1）当运动到第次时，求点P所对应的有理数．
（2）点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．

【变式3-2】（秋•淮阴区期中）已知在纸面上有一数轴（如图1），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣4表示的点与　 　表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与8表示的点重合，回答以下问题：
①16表示的点与　 　表示的点重合；
②如图2，若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是　 　、　 　．
（3）如图3，若m和n表示的点C和点D经折叠后重合，（m＞n＞0），现数轴上P、Q两点之间的距离为a（P在Q的左侧），且P、Q两点经折叠后重合，求P、Q两点表示的数分别是多少？（用含m，n，a的代数式表示）

【变式3-3】（秋•海淀区校级期中）下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|
当A、B两点都不在原点时，
（1）如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|
（2）如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|
（3）如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|
综上，数轴上A、B两点的距离|AB|＝|a﹣b|
回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是　 　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为　 　；
（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　．

【考点4 整式加减化简求值】
【方法点拨】整式加减化简求值的一般步骤：①去括号、合并同类项.；②代入求值.
【例4】（秋•蒙阴县期中）先化简，再求值：，其中，．
【变式4-1】（秋•朝阳区期中）先化简，再求值：已知，求的
值．
【变式4-2】（秋•金堂县期中）已知，，先求，并求当，
时，的值．
【变式4-3】（秋•杭州期中）化简求值：已知整式与整式的差不含和
项，试求的值．
【考点5 代数式求值—整体代入法】
【方法点拨】整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来看的数学思想，运用这种方法，有时
可使复杂问题简单化.
【例5】（2019秋•锡山区校级期中）化简与求值：
（1）若，则代数式的值为　 　；
（2）若，则代数式的值为　 　；
（3）若，请仿照以上求代数式值的方法求出的值．
【变式5-1】（2019秋•余姚市期末）已知：，求的值．
【变式5-2】（2019秋•崇川区期末）已知当，时，，求当，时，式子的值．
【变式5-3】（秋•慈利县期中）先阅读下面例题的解答过程，再解答后面的问题．
例：已知代数式的值为2，求的值．
解：由得，所以．
问题：（1）已知代数式的值为6，求的值；
（2）已知代数式的值为，求的值．
【考点6 列代数式】
【例6】（秋•淮阴区期中）如图所示
（1）用代数式表示长方形中阴影部分的面积；
（2）当，时，求其阴影部分的面积．（其中取

【变式6-1】（秋•甘井子区期中）如图（图中单位长度：求：
（1）阴影部分面积（用含的代数式表示）；
（2）当求阴影部分的面积取3.14，结果精确到．

【变式6-2】（秋•南安市期末）福建省教育厅日前发布文件，从2019年开始，体育成绩将按一定的原始分计入中考总分．某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
网店：买一个足球送一条跳绳；
网店：足球和跳绳都按定价的付款．
已知要购买足球40个，跳绳条
（1）若在网店购买，需付款　　元（用含的代数式表示）．
若在网店购买，需付款　　元（用含的代数式表示）．
（2）若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？
【变式6-3】（秋•郑州期中）郑东新区九年制实验学校体育组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛
球拍和羽毛球，在查阅京东网店后发现羽毛球拍一副定价40元，羽毛球每个定价5元．“双十一”期间、
两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
网店：买一副球拍送1个羽毛球；
网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款．
已知要购买羽毛球拍30副，羽毛球个
（1）若在网店购买，需付款　　元（用含的代数式表示）；若在网店购买，需付款　　元．（用含的代数式表示）；
（2）若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出需付款多少元？
【考点7 解一元一次方程】
【方法点拨】一元一次方程解法的一般步骤：
化简方程----------分数基本性质
去 分 母----------同乘（不漏乘）最简公分母
去 括 号----------注意符号变化
移 项----------变号（留下靠前）
合并同类项--------合并后符号
系数化为1---------除前面
【例7】（2019秋•安庆期中）解方程
（1）3x﹣5（x﹣2）＝2；
（2）＝1．
【变式7-1】（秋•渭滨区期末）解方程
（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）
（2）1﹣＝
【变式7-2】（秋•榆次区期末）解方程：
（1）x﹣＝3
（2）
【变式7-3】（2019春•新泰市期中）解方程：
（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x
（2）y﹣＝3+
【考点8 一元一次方程的应用】
【例8】（春•山西期中）某种商品A的零售价为每件1000元，为了适应市场竞争，商店先按零售价的九折优惠，再让利20元销售，每件商品A仍可获利10%．
（1）商品A的进价为多少元？
（2）现有另一种商品B，其进价为每件500元，每件商品B也可获利8%，商品A和商品B共进货100件，若要使这100件商品共获利6320元，则商品A，B需分别进货多少件？
【变式8-1】（秋•开福区校级期末）某厂接到长沙市一所中学的冬季校服订做任务，计划用A、B两台大型设备进行加工．如果单独用A型设备需要90天做完，如果单独用B型设各需要60天做完，为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
（1）两台设备同时加工，共需多少天才能完成？
（2）若两台设备同时加工30天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有13天．如果由A型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间？请通过计算说明理由．
【变式8-2】（2019春•南关区校级月考）A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．
（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；
（2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；
（3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．
【变式8-3】（2019春•松江区期中）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进A、B两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，求商场购进这两种型号的电视机各多少台？
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元．该家电商场用9万元从生产厂家购进两种不同型号的电视机共50台，为了使销售时获利最多，该家电商场应该购买哪两种型号的电视机？分别购进多少台？
【考点9 一元一次方程之数轴动点问题】
【例9】（2019秋•江汉区期中）如图在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是3，点B在原点的左侧，且AB＝6AO（我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作AB）．
（1）B点表示的数是　 　；
（2）若动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后PA＝3PB？并求出此时P点在数轴上对应的数；
（3）若动点M、P、N分别同时从A、O、B出发，匀速向右运动，其速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒、4个单位长度/秒，设运动时间为t秒，请直接写出PM、PN、MN中任意两个相等时的时间．

【变式9-1】（2019秋•江岸区校级月考）已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0

（1）直接写出a、b的值；
（2）P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，当PA＝3PB时，求P运动的时间和P表示的数；
（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出发．以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动当PQ＝10时，求P点对应的数．
【变式9-2】（2019秋•雨花区校级月考）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+8|+（b﹣6）2＝0．
（1）A，B两点对应的数分别为a＝　 　b＝　 　
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合．则原点O与数　 　表示的点重合：
（3）若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？
（4）若点A，B以（3）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB﹣OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值：若不变．请求出这个定值．

【变式9-3】（秋•永新县期末）【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点．
【特例感知】
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点．
①【B，A】的幸运点表示的数是　 　；
A．﹣1； B.0； C.1； D.2
②试说明A是【C，E】的幸运点．
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则【M，N】的幸运点表示的数为　 　．

【拓展应用】
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？

【考点10 与中点有关的长度计算】
【方法点拨】线段的中点
如图，点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫做线段AB的中点．

中点定义的推理步骤：
(1)∵AC＝CB(已知)，
∴点C是线段AB的中点(中点的定义)．
(2)∵点C是线段AB的中点(已知)，
∴AC＝BC或AC＝AB或BC＝AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中点的定义)．
【例10】（2019秋•洛宁县期末）已知：点C在直线AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．
【变式10-1】（2019秋•郯城县期末）如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；
（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．

【变式10-2】（2019秋•永新县期末）如图，点C是线段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？
（4）由此题你发现了怎样的规律？

【变式10-3】（2019秋•榆社县期末）已知：点M，N分别是线段AC，BC的中点．
（1）如图，点C在线段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；
（2）若点C为线段AB上任一点，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．
（3）若点C在线段AB的延长线上，且AC＝acm，CB＝bcm，请你画出图形，并且用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．

【考点11 与角平分线有关的角度计算】
【方法点拨】角平分线：
（1）把一个角平分成二等分的射线，称为角平分线．
（2）若OC平分∠AOB，则有①∠AOC＝∠BOC．②∠AOC＝∠AOB．③∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
【例11】（2019秋•化德县校级期末）如图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．
求：（1）∠AOC的度数；
（2）∠MON的度数．

【变式11-1】（2019秋•浏阳市校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD，垂足为O，求：
（1）求∠BOE的度数．
（2）求∠EOF的度数．

【变式11-2】（2019秋•襄阳期末）如图所示．
（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．

【变式11-3】（2019秋•沙河口区期末）已知∠AOB＝α，过O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）如图，若α＝120°，当OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB外部时，画出相应图形，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．

【考点12 与几何有关的规律问题】
【例12】（2019秋•禹会区校级月考）阅读表：
线段AB上的点数n（包括A，B两点）
图例
线段总条数N
3

3＝2+1
4

6＝3+2+1
5

10＝4+3+2+1
6

15＝5+4+3+2+1
解答下列问题：
（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？
（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有　 　种不同的票价？②要准备　 　种车票？（直接写答案）
【变式12-1】（秋•滦县期中）（1）试验探索：
如果过每两点可以画一条直线，那么请下面三组图中分别画线，并回答问题：
第（1）组最多可以画条直线；
第（2）组最多可以画条直线；
第（3）组最多可以画条直线．
（2）归纳结论：
如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条．（作用含n的代数式表示）
（3）解决问题：
某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握　 　次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需　 　件礼物．

【变式12-2】（2019秋•江山市期末）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．
（1）一条直线把平面分成2部分；
（2）两条直线最多可把平面分成4部分；
（3）三条直线最多可把平面分成7部分…；
把上述探究的结果进行整理，列表分析：
直线条数
把平面分成部分数
写成和形式
1
2
1+1
2
4
1+1+2
3
7
1+1+2+3
4
11
1+1+2+3+4
…
…
…
（1）当直线条数为5时，把平面最多分成　 　部分，写成和的形式　 　；
（2）当直线为10条时，把平面最多分成　 　部分；
（3）当直线为n条时，把平面最多分成　 　部分．（不必说明理由）
【变式12-3】（秋•桥东区校级期中）观察下图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？