广东省深圳市2018年中考数学试题-含答案解析

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广东省深圳市2018年中考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人
得分



一、单选题
1．6的相反数为　　
A．-6 B．6 C． D．
2．260000000用科学计数法表示为( )
A． B． C． D．
3．图中立体图形的主视图是( )

A． B． C． D．
4．观察下列图形，是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
5．下列数据：，则这组数据的众数和极差是( )
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
7．把函数向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( )
A． B． C． D．
8．如图，直线被所截，且，则下列结论中正确的是( )

A． B． C． D．
9．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有个，小房间有个.下列方程正确的是( )
A． B． C． D．
10．如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )

A．3 B． C． D．
11．二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )

A． B． C． D．有两个不相等的实数根
12．如图，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是( )

①；②；③若，则平分；④若，则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明

评卷人
得分



二、填空题
13．分解因式：__________．
14．一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率：__________．
15．如图，四边形ACDF是正方形，和都是直角，且点三点共线，，则阴影部分的面积是__________．

16．在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________．


评卷人
得分



三、解答题
17．计算：.
18．先化简，再求值：，其中.
19．某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：

频数
频率
体育
40
0.4
科技
25
a
艺术
b
0.15
其它
20
0.2

请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为　 　人，a=　 　，b=　 　．
（2）请你补全条形统计图．
（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？

20．阅读短文，解决问题
如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”.
如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB．
(1)求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”；
(2)当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积.

21．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.
(1)第一批饮料进货单价多少元？
(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
22．如图，△ABC内接于⊙O，，点为上的动点，且.
(1)求的长度；
(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：.

23．已知顶点为的抛物线经过点，点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，直线与轴相交于点轴相交于点，抛物线与轴相交于点，在直线上有一点，若，求的面积；

(3)如图2，点是折线上一点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿翻折得到，若点落在轴上，请直接写出点的坐标.


参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义进行求解.
【详解】
6的相反数为：﹣6．故选A.
【点睛】
本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
2．B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】260000000的小数点向左移动8位得到2.6，
所以260000000用科学记数法表示为，
故选B.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．B
【解析】
【分析】根据主视图是从物体正面看得到的图形即可得.
【详解】观察可知从正面看可得到三列小正方形，从左至右每一列小正方形的数目分别为1、2、2，
观察选项可知只有B选项符合，
故选B.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，明确主视图是从几何体正面看得到的是解题的关键.
4．D
【解析】
试题分析：将一个图形围绕某一点旋转180°之后能够与原图形完全重合，则这个图形就是中心对称图形.
考点：中心对称图形

5．A
【解析】
【分析】根据众数和极差的定义分别进行求解即可得.
【详解】数据85出现了3次，出现次数最多，所以众数是85，
最大值是85，最小值是75，所以极差=85-75=10，
故选A.
【点睛】本题考查了众数和极差的定义，熟练掌握众数和极差的定义是解题的关键.
6．B
【解析】
【分析】分别根据同底数幂乘法法则、合并同类项法则、同底数幂除法法则、二次根式加减法法则逐项进行计算即可判断.
【详解】A. ，故错误；
B. ，正确；
C. ，故错误；
D. 不是同类二次根式，不能合并，故错误，
故选B.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、合并同类项、同底数幂除法、二次根式加减，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
7．D
【解析】
【分析】根据直线平移的规律得到平移后的直线解析式，然后把x=2代入平移后的解析式即可作出判断.
【详解】由“上加下减”的原则可知，将直线y=x向上平移3个单位后，所得直线的表达式是y=x+3，
当x=2时，y=x+3=2+3=5，
所以点（2，5）在平移后的直线上，
故选D.
【点睛】本题考查了一次函数的平移以及一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
8．B
【解析】
【分析】根据平行线的性质进行判断即可得.
【详解】如图，∵a//b，
∴∠1=∠5，∠3=∠4，
∵∠2+∠5=180°，∴无法得到∠2=∠5，即得不到∠1=∠2，
由已知得不到 、，
所以正确的只有B选项，
故选B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
9．A
【解析】
【分析】大房间有个，小房间有个，根据等量关系：大小共70个房间，共住480人，列方程组即可.
【详解】大房间有个，小房间有个，
由题意得：，
故选A.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解此类问题的关键.
10．D
【解析】
【分析】设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，由AC、AB都与圆O相切，利用切线长定理得到AO平分∠BAC，且OC垂直于AC，OB垂直于AB，可得出∠CAO=∠BAO=60°，得到∠AOB=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可确定出光盘的直径．
【详解】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，
∵AC、AB都与圆O相切，
∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠CAO=∠BAO=60°，
∴∠AOB=30°，
在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，
∴OA=6cm，
根据勾股定理得：OB=3，
则光盘的直径为6，
故选D.

【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
11．C
【解析】
【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；由对称轴为x==1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x轴下方得到y=a-b+c＜0，结合b=-2a可得 3a+c＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.
【详解】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0，故A选项错误；
∵对称轴x==1，∴b=-2a，即2a+b=0，故B选项错误；
当x=-1时， y=a-b+c＜0，又∵b=-2a，∴ 3a+c＜0，故C选项正确；
∵抛物线的顶点为（1，3），
∴的解为x1=x2=1，即方程有两个相等的实数根，故D选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．
12．B
【解析】
【分析】①显然AO与BO不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，由已知可推导得出PM=PN，继而可判断③正确；④设P（a，b），则B（a，）、A（，b），根据S△BOP=4，可得ab=4，继而可判断④错误.
【详解】①显然AO与BO不一定相等，故△AOP与△BOP不一定全等，故①错误；
②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，
∵AP//x轴，BP//y轴，∴四边形OEPF是矩形，S△EOP=S△FOP，
∵S△BOE=S△AOF=k=6，∴S△AOP=S△BOP，故②正确；
③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，
∵S△AOP=OA•PN，S△BOP=BO•PM，S△AOP=S△BOP，AO=BO，
∴PM=PN，∴PO平分∠AOB，即OP为∠AOB的平分线，故③正确；
④设P（a，b），则B（a，）、A（，b），
S△BOP=BP•EO==4，
∴ab=4，
S△ABP=AP•BP==8，
故④错误，
综上，正确的为②③，
故选B.

【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键.
13．
【解析】
试题分析：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．先把式子写成a2-32，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．
a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．
故答案为（a+3）（a-3）．
考点：因式分解-运用公式法．
14．
【解析】
【分析】根据向上一面可能出现的有6种情况，其中出现数字为奇数的有3种情况，利用概率公式进行计算即可得.
【详解】掷一次正六面体骰子向上一面的数字有1、2、3、4、5、6共6种可能，
其中奇数有1，3，5共3个，
∴掷一次朝上一面的数字是奇数的概率是=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了概率的计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．8
【解析】
【分析】证明△AEC≌△FBA，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB=4，然后再利用三角形面积公式进行求解即可.
【详解】∵四边形ACDF是正方形，
∴AC=FA，∠CAF=90°，
∴∠CAE+∠FAB=90°，
∵∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠FAB，
又∵∠AEC=∠FBA=90°，
∴△AEC≌△FBA，
∴CE=AB=4，
∴S阴影==8，
故答案为8.
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积等，求出CE=AB是解题的关键.
16．
【解析】
【分析】由已知易得∠AFE=45°，过E作EG⊥AD，垂足为G，根据已知易得EG=FG=1，再根据勾股定理可得AE=，过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，根据勾股定理可求出a=，继而可得CH=，由AC=AE+EH+HC即可求得.
【详解】如图，∵AD、BE分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°，
过E作EG⊥AD，垂足为G，
在Rt△EFG中，∠EFG=45°，EF=，∴EG=FG=1，
在Rt△AEG中，AG=AF-FG=4-1=3，∴AE=，
过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，
设EH=a，则FH2=EF2-EH2=2-a2，
在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2，
即+2-a2=16，
∴a=，
∴CH=FH=，
∴AC=AE+EH+HC=，
故答案为.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键.
17．3
【解析】
【分析】按顺序先分别进行负指数幂的计算、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、0次幂的计算，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】
=2-2+1
=3.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值、0次幂的运算法则是解本题的关键.
18．，.
【解析】
【分析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可.
【详解】，
，
，
当时，原式.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
19．（1）100、0.25、15；（2）补图见解析.
【解析】
【分析】（1）根据喜爱体育的有40人，频率为0.4可求得调查的学生数，继而可求得a、b的值；
（2）根据b的值补全条形图形即可；
（3）用喜欢艺术类学生占的比例乘以全校的学生数即可得.
【详解】（1）（人），
，
（人），
故答案为100，0.25，15；
（2）如图所示；

（3）（人），
答：估计全校喜欢艺术类学生的有90人.
【点睛】本题考查了统计表与条形图，阅读表格，从表格中得到必要的信息是解题的关键.
20．(1)证明见解析；(2) 四边形的面积为.
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图可知AF平分∠BAC，再根据DF//AC，可得AD=DF，再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEFD是平行四边形，继而可得平行四边形AEFD是菱形，根据“亲密菱形”的定义即可得证；
（2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，可证得△BDF∽△BAC，根据相似三角形的性质可求得a=4，过D作DG⊥AC，垂足为G，在Rt△ADG中， DG=2，继而可求得面积.
【详解】（1）由尺规作图可知AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠EAF，
∵DF//AC，∴∠DFA=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，
∵FD//AC，FE//AB，∴四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形AEFD是菱形，
∵∠BAC与∠DAE重合，点F点BC上，
∴菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；
（2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，
∵DF//AC，∴△BDF∽△BAC，
∴BD：BA=BF：AC，
即（6-a）:6=a：12，
∴a=4，
过D作DG⊥AC，垂足为G，
在Rt△ADG中，∠DAG=45°，∴DG=AD=2，
∴S菱形AEFD=AE•DG=8，
即四边形AEFD的面积为8.

【点睛】本题考查了尺规作图，新概念题，菱形的判定与性质等，正确理解新概念是解题的关键.
21．（1）第一批饮料进货单价为8元.(2) 销售单价至少为11元.
【解析】
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；
（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得.
【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则：
解得：
经检验：是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元.
（2）设销售单价为元，则：
，
化简得：，
解得：，
答：销售单价至少为11元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键.
22．(1) ；(2) ；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；
（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=，继而即可求得AD•AE的值；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.
【详解】（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，
∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=BC=1，
在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=；
（2）连接DG，
∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，
又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE，
∴AD：AF=AG：AE，
∴AD•AE=AF•AG，
连接BG，则∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AF•FG，
∵AF==3，
∴FG=，
∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×=10；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，
∴∠ADC=∠ADN，
∵AD=AD，CD=ND，
∴△ADC≌△ADN，
∴AC=AN，
∵AB=AC，∴AB=AN，
∵AH⊥BN，
∴BH=HN=HD+CD.

【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
23．(1) 抛物线的解析式为；(2)的面积为或；（3）Q点坐标为：（-，）或或.
【解析】
【分析】（1）把点代入，求得的值即可得；
（2）由已知可求得直线的解析式为：，根据解析式易求，由，继而可求得的长，设点，可得关于t的方程，解方程求得t的值，根据对称性可知方程的解都满足条件，由此即可得；
（3）若分点Q在AB要，点Q在BC上，且Q在y轴左侧， Q在BC上，且Q在y轴右侧，三种情况分别讨论即可得.
【详解】（1）把点代入，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
即；
（2）由（1）可得点A的坐标为（，-2）.
设直线解析式为：，代入点的坐标得：
，解得：，∴直线的解析式为：，
易求得，
若，
当时，则有，
，
设点，则：，
解得，，
由对称性知；当时，也满足，
，都满足条件，
的面积，的面积为或；
（3）若Q在AB上运动，如图：设Q（a，-2a-1），则QN=-2a，NE=-a，QN1=-2a，
易知△QRN1∽△N1SE，
∴，
a=-，∴Q（-，）；

若Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图：设NE=a，则N1E=a，
易知RN1=2，SN1=1，QN1=QN=3，
∴QR=，SE=，
Rt△SEN1中，，
，∴Q；

若Q在BC上运动，且Q在y轴右侧，如图：设NE=a，则N1E=a，
易知RN1=2，SN1=1，QN1=QN=3，
∴QR=，SE=，
Rt△SEN1中，，
，∴Q；

综上所述Q点坐标为：（-，）或或.
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等，综合性较强，有一定的难度，熟练应用相关知识，运用分类思想是解题的关键.