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2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第五章第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
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第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
知 识 梳 理
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
[常用结论与微点提醒]
1.向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别.
2.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
3.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(老教材必修4P108AT1改编)设a，b是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cos θ＝|a|·|b|，所以cos θ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b.
当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，
所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝±|a|·|b|，
所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.
答案 A
3.(新教材必修第二册P21例12改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin ，则b·(2a－b)等于( )
A.2 B.－1 C.－6 D.－18
解析 由题意知cos〈a，b〉＝sin ＝sin
＝－sin ＝－，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×＝－3，
b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
答案 D
4.(2019·全国Ⅱ卷)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A.－3 B.－2 C.2 D.3
解析 因为＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，
所以·＝2×1＋3×0＝2.
答案 C
5.(2020·云南跨区调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于( )
A.13＋6 B.2
C. D.
解析 依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos 45°＝2，|3a＋b|＝＝＝＝.
答案 D
6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
解析 由题意得a＋b＝(m－1，3)，
因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.
答案 7
考点一 平面向量的数量积运算
【例1】 (1)(2019·天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
(2)(一题多解)(2019·郑州二模)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为( )
A.－ B.0 C.4 D.－1
解析 (1)如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.
则·＝(－)·(＋)
＝·＋·－2－·
＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°
＝15－10－12＋6＝－1.
(2)法一 由题意知，BD＝2，且∠CBD＝45°.
因为点P在AC边的中线BD上，所以设＝λ(0≤λ≤1)，如图所示，所以·＝(＋)·＝(＋λ)·λ＝λ·＋λ22＝λ||·||cos 135°＋λ2×(2)2＝8λ2－4λ＝8－，当λ＝时，·取得最小值－，故选A.
法二 依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在AC边的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选A.
答案 (1)－1 (2)A
规律方法 平面向量数量积的三种运算方法：
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
提醒 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.
【训练1】 (1)(2020·皖南八校模拟)已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________.
(2)(2020·咸阳模拟)在△ABC中，|BC|＝4，(＋)·＝0，则·＝( )
A.4 B.－4 C.－8 D.8
解析 (1)因为|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，
所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋.
(2)设M为BC的中点，则＋＝2，
又(＋)·＝0，∴2·＝0，
即⊥，∴△ABC是等腰三角形且AB＝AC，
则·＝||||cos B＝BM·BC＝2×4＝8.
答案 (1)1＋ (2)D
考点二 平面向量数量积的应用 多维探究
角度1 垂直问题
【例2－1】 (2019·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为( )
A. B. C.6 D.
解析 因为＝λ＋，且⊥，
所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，
解得λ＝.
答案 A
规律方法 两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直.
角度2 长度问题
【例2－2】 (1)(2019·珠海调研)平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a方向上的投影为5，则|a－2b|为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
(2)已知向量，满足||＝||＝2，·＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，则||的最小值为( )
A.1 B. C. D.
解析 (1)由题意知|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝|a＋b|·＝＝＝5，解得a·b＝4，
∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝16，∴|a－2b|＝4.
(2)||2＝(λ＋μ)2＝[λ＋(1－λ)]2
＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·，
因为·＝2，所以||2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝4＋3，当λ＝时，||取得最小值.
答案 (1)B (2)D
规律方法 1.利用数量积求解向量模的问题常用的公式：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
2.最值问题是利用条件构造以参数为自变量的函数，因此函数方法是最基本的方法之一.
角度3 夹角问题
【例2－3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
解析 由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.
∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.故选B.
答案 B
规律方法 求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系.
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝.注意：〈a，b〉∈[0，π].
【训练2】 (1)(角度1)(2019·北京卷)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.
(2)(角度2)(2020·临川九校联考)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，则|2a－3b|＝______.
(3)(角度3)(2019·全国Ⅲ卷)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
解析 (1)由a⊥b，得a·b＝0.
又∵a＝(－4，3)，b＝(6，m)，
∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.
(2)由a⊥b，得a·b＝－2(2m－1)＋2(3m－2)＝0，
解得m＝1，∴a＝(1，2)，b＝(－2，1)，
∴2a－3b＝(2，4)－(－6，3)＝(8，1)，
∴|2a－3b|＝＝.
(3)由题意，得cos〈a，c〉＝
＝＝＝.
答案 (1)8 (2) (3)
考点三 平面向量与三角函数
【例3】 (2019·珠海摸底)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影.
解 (1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.因为0
(2)由正弦定理，得＝，
则sin B＝＝＝，
因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝.
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2·5c·，
解得c＝1，c＝－7(舍去)，
故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B＝1×＝.
规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解.
【训练3】 已知向量a＝，b＝(－sin x，sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.
解 (1)由已知得a＝(－sin x，cos x)，又b＝(－sin x，sin x)，
则f(x)＝a·b＝sin2x＋sin xcos x
＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，
f(x)取得最大值.
(2)锐角△ABC中，因为f＝sin＋＝1，
∴sin＝，∴A＝.
因为a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以12＝b2＋c2－bc，
所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，
所以bc≤12(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，此时△ABC为等边三角形.
S△ABC＝bcsin A＝bc≤3.
所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值3.
赢得高分 巧用解析法解平面向量压轴题
平面向量问题一般有两种解决方法：一是利用平面向量基本定理选择基底，利用向量的线性运算解决；二是通过建立坐标系转化为代数运算解决.
【典例】 (一题多解)已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，则当·取最小值时，向量与的夹角的余弦值为________.
解析 法一 易知∠AOB＝120°，记＝a，＝b，
则a·b＝－2，设＝λ＝λa－λb(0≤λ≤1)，
则＝＋＝(λ－1)a－λb，
则·＝(λa－λb)·[(λ－1)a－λb]＝12λ2－6λ，
当λ＝时，·取最小值－，
此时，||＝||＝，
＝－a－b＝－(3a＋b)，
||＝|3a＋b|＝，
所以此时向量与的夹角的余弦值为
＝＝－.
法二 取线段AB的中点C，连接OC，以线段AB的中点C为原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立直角坐标系，则O(0，1)，A(－，0)，B(，0)，设P(x，0)(－≤x≤).
则·＝(－－x，0)·(－x，1)＝x2＋x，
当x＝－时，·取最小值－.
此时＝，＝，
所以向量与的夹角的余弦值为
＝＝－.
答案 －
思维升华 对比以上两种方法，你会发现第二种解法，即解析法思路更加简单，解析法可能不是最快的解题方法，但一定是思路最简单的方法，这种方法可能运算繁琐，但和线性运算相比，可大大减少思路卡壳的可能.
【训练】 (一题多解)(2019·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________.
解析 法一 如图，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点.又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，则有＝＝(＋)，＝－＝－，所以6·＝(＋)·＝2－2＋·＝·，整理可得2＝32，所以＝.
法二 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.
设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，D.
⇒O.
∵·＝6·，
∴(3，0)·(a，b)＝6·(a－1，b)，
即3a＝6，
∴a2＋b2＝3，∴AC＝.∴＝＝.
答案
数学运算、数学建模——平面向量与三角形的“四心”
1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范、细致运算的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本专题通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.
三角形的“四心”：
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.
类型1 平面向量与三角形的“重心”
【例1】 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( )
A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
解析 取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，
∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]
＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
答案 C
类型2 平面向量与三角形的“内心”问题
【例2】 在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A. B. C.4 D.6
解析 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍.
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.
设△ABC的内切圆的半径为r，则
bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，
所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.
答案 B
类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题
【例3】 已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心
解析 因为＝＋λ(＋)，
所以＝－＝λ(＋)，
所以·＝·λ(＋)
＝λ(－||＋||)＝0，
所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
答案 B
类型4 平面向量与三角形的“外心”问题
【例4】 已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为( )
A. B.
C. D.
解析 取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则⊥，⊥，
＝－＝－(x＋y)＝－y，＝－＝－(x＋y)＝－x.
由⊥，得2－y·＝0，①
由⊥，得2－x·＝0，②
又因为2＝(－)2＝2－2·＋2，
所以·＝＝－，③
把③代入①、②得解得x＝，y＝.
故实数对(x，y)为.
答案 A
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2020·河南非凡联盟联考)在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若＝(1，2)，＝(2，t)，则||＝( )
A. B.5 C.2 D.20
解析 由题意知⊥，∴1×2＋2t＝0，
∴t＝－1，∴||＝＝.
答案 A
2.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
答案 B
3.(2020·乌海模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于( )
A.2 B. C. D.2
解析 根据题意，|a－b|＝＝，
则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝5－2a·b＝5，
可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，
可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，
则|2a－b|＝2，故选A.
答案 A
4.(2019·哈尔滨质检)已知平面向量a，b满足(a－2b)⊥(3a＋b)，且|a|＝|b|，则向量a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
解析 设a与b的夹角为θ.
因为|a|＝|b|，所以|b|＝2|a|.
因为(a－2b)⊥(3a＋b)，
所以(a－2b)·(3a＋b)＝3a2－5a·b－2b2
＝3|a|2－5|a||b|cos θ－2|b|2
＝3|a|2－5|a|×2|a|cos θ－2(2|a|)2
＝－5|a|2－10|a|2cos θ＝0，解得cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C.
答案 C
5.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是边BC，AB上的点，且满足＝＝λ，则当·＝0时，λ的值所在的区间是( )
A. B.
C. D.
解析 在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，
可得〈，〉＝60°，
所以〈，〉＝60°，〈，〉＝120°，
所以·＝4×2×＝4，
·＝4×2×＝－4，
·＝2×2×＝2，
又＝＝λ，所以＝λ，＝λ，
则＝＋＝＋λ，＝－＝λ－，
所以·＝(＋λ)·(λ－)
＝λ2－·＋λ2·－λ·＝0，
即2λ2－7λ＋2＝0，
解得λ＝(舍去)或λ＝∈.
答案 B
二、填空题
6.(2019·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cos〈a，b〉＝________.
解析 由题意得a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
答案 －
7.如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.
解析 ·＝||·||cos 60°＝1×3×＝，
又＝(＋)，
所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，
即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.
答案
8.(2019·佛山二模)在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若＝2，则·＝________.
解析 如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(1，0)，C(0，2)，所以＝(－1，2).
因为D为BC的中点，所以D(0，1)，
因为＝2，所以E，
所以＝，
所以·＝·(－1，2)＝－＋＝.
答案
三、解答题
9.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值.
解 (1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4).
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t).
由(－t)·＝0，得
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
10.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解 (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.则tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
B级 能力提升
11.(2019·北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 因为点A，B，C不共线，所以线段AB，BC，AC构成一个三角形ABC，由向量加法的三角形法则，可知＝－，所以|＋|>||等价于|＋|>|－|，因模为非负数，故不等号两边平方得2＋2＋2||·||cos θ>2＋2－2||·||cos θ (θ为与的夹角)，整理得4||·||·cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角.当与的夹角为锐角，可得·>0，则有||2＋||2＋2·>||2＋||2－2·，即有|＋|2>|－|2，则|＋|2>||2，故|＋|>||，所以“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件.故选C.
答案 C
12.(一题多解)(2020·武汉调研)在△ABC中，·＝0，||＝4，||＝5，D为线段BC的中点，点E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则·＝( )
A. B. C.－ D.7
解析 法一 ||＝＝3，
·＝(＋)·＝·＋·
＝·＝(＋)·(－)
＝(||2－||2)＝.
法二 依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，因为||＝5，所以C(0，3)，D，易知直线BC的斜率为－，因为直线DE是线段BC的垂直平分线，所以直线DE的方程为y－＝(x－2)，令x＝0，得y＝－，所以直线DE与y轴的交点坐标为，不妨令E，因为＝(4，－3)，所以·＝·(4，－3)＝，故选A.
答案 A
13.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是________.
解析 设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝(||－||)min＝－1.
答案 －1
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，
即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋).
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
C级 创新猜想
15.(新定义题)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝(a，b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；
③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；
④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________(填序号).
解析 当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①正确；
当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②错误；
当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③错误；
当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④正确.
综上，结论一定正确的是①④.
答案 ①④
第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
知 识 梳 理
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
[常用结论与微点提醒]
1.向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别.
2.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
3.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(老教材必修4P108AT1改编)设a，b是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cos θ＝|a|·|b|，所以cos θ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b.
当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，
所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝±|a|·|b|，
所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.
答案 A
3.(新教材必修第二册P21例12改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin ，则b·(2a－b)等于( )
A.2 B.－1 C.－6 D.－18
解析 由题意知cos〈a，b〉＝sin ＝sin
＝－sin ＝－，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×＝－3，
b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
答案 D
4.(2019·全国Ⅱ卷)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A.－3 B.－2 C.2 D.3
解析 因为＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，
所以·＝2×1＋3×0＝2.
答案 C
5.(2020·云南跨区调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于( )
A.13＋6 B.2
C. D.
解析 依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos 45°＝2，|3a＋b|＝＝＝＝.
答案 D
6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
解析 由题意得a＋b＝(m－1，3)，
因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.
答案 7
考点一 平面向量的数量积运算
【例1】 (1)(2019·天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
(2)(一题多解)(2019·郑州二模)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为( )
A.－ B.0 C.4 D.－1
解析 (1)如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.
则·＝(－)·(＋)
＝·＋·－2－·
＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°
＝15－10－12＋6＝－1.
(2)法一 由题意知，BD＝2，且∠CBD＝45°.
因为点P在AC边的中线BD上，所以设＝λ(0≤λ≤1)，如图所示，所以·＝(＋)·＝(＋λ)·λ＝λ·＋λ22＝λ||·||cos 135°＋λ2×(2)2＝8λ2－4λ＝8－，当λ＝时，·取得最小值－，故选A.
法二 依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在AC边的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选A.
答案 (1)－1 (2)A
规律方法 平面向量数量积的三种运算方法：
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
提醒 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.
【训练1】 (1)(2020·皖南八校模拟)已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________.
(2)(2020·咸阳模拟)在△ABC中，|BC|＝4，(＋)·＝0，则·＝( )
A.4 B.－4 C.－8 D.8
解析 (1)因为|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，
所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋.
(2)设M为BC的中点，则＋＝2，
又(＋)·＝0，∴2·＝0，
即⊥，∴△ABC是等腰三角形且AB＝AC，
则·＝||||cos B＝BM·BC＝2×4＝8.
答案 (1)1＋ (2)D
考点二 平面向量数量积的应用 多维探究
角度1 垂直问题
【例2－1】 (2019·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为( )
A. B. C.6 D.
解析 因为＝λ＋，且⊥，
所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，
解得λ＝.
答案 A
规律方法 两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直.
角度2 长度问题
【例2－2】 (1)(2019·珠海调研)平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a方向上的投影为5，则|a－2b|为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
(2)已知向量，满足||＝||＝2，·＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，则||的最小值为( )
A.1 B. C. D.
解析 (1)由题意知|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝|a＋b|·＝＝＝5，解得a·b＝4，
∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝16，∴|a－2b|＝4.
(2)||2＝(λ＋μ)2＝[λ＋(1－λ)]2
＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·，
因为·＝2，所以||2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝4＋3，当λ＝时，||取得最小值.
答案 (1)B (2)D
规律方法 1.利用数量积求解向量模的问题常用的公式：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
2.最值问题是利用条件构造以参数为自变量的函数，因此函数方法是最基本的方法之一.
角度3 夹角问题
【例2－3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
解析 由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.
∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.故选B.
答案 B
规律方法 求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系.
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝.注意：〈a，b〉∈[0，π].
【训练2】 (1)(角度1)(2019·北京卷)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.
(2)(角度2)(2020·临川九校联考)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，则|2a－3b|＝______.
(3)(角度3)(2019·全国Ⅲ卷)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
解析 (1)由a⊥b，得a·b＝0.
又∵a＝(－4，3)，b＝(6，m)，
∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.
(2)由a⊥b，得a·b＝－2(2m－1)＋2(3m－2)＝0，
解得m＝1，∴a＝(1，2)，b＝(－2，1)，
∴2a－3b＝(2，4)－(－6，3)＝(8，1)，
∴|2a－3b|＝＝.
(3)由题意，得cos〈a，c〉＝
＝＝＝.
答案 (1)8 (2) (3)
考点三 平面向量与三角函数
【例3】 (2019·珠海摸底)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影.
解 (1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.因为0
(2)由正弦定理，得＝，
则sin B＝＝＝，
因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝.
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2·5c·，
解得c＝1，c＝－7(舍去)，
故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B＝1×＝.
规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解.
【训练3】 已知向量a＝，b＝(－sin x，sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.
解 (1)由已知得a＝(－sin x，cos x)，又b＝(－sin x，sin x)，
则f(x)＝a·b＝sin2x＋sin xcos x
＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，
f(x)取得最大值.
(2)锐角△ABC中，因为f＝sin＋＝1，
∴sin＝，∴A＝.
因为a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以12＝b2＋c2－bc，
所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，
所以bc≤12(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，此时△ABC为等边三角形.
S△ABC＝bcsin A＝bc≤3.
所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值3.
赢得高分 巧用解析法解平面向量压轴题
平面向量问题一般有两种解决方法：一是利用平面向量基本定理选择基底，利用向量的线性运算解决；二是通过建立坐标系转化为代数运算解决.
【典例】 (一题多解)已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，则当·取最小值时，向量与的夹角的余弦值为________.
解析 法一 易知∠AOB＝120°，记＝a，＝b，
则a·b＝－2，设＝λ＝λa－λb(0≤λ≤1)，
则＝＋＝(λ－1)a－λb，
则·＝(λa－λb)·[(λ－1)a－λb]＝12λ2－6λ，
当λ＝时，·取最小值－，
此时，||＝||＝，
＝－a－b＝－(3a＋b)，
||＝|3a＋b|＝，
所以此时向量与的夹角的余弦值为
＝＝－.
法二 取线段AB的中点C，连接OC，以线段AB的中点C为原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立直角坐标系，则O(0，1)，A(－，0)，B(，0)，设P(x，0)(－≤x≤).
则·＝(－－x，0)·(－x，1)＝x2＋x，
当x＝－时，·取最小值－.
此时＝，＝，
所以向量与的夹角的余弦值为
＝＝－.
答案 －
思维升华 对比以上两种方法，你会发现第二种解法，即解析法思路更加简单，解析法可能不是最快的解题方法，但一定是思路最简单的方法，这种方法可能运算繁琐，但和线性运算相比，可大大减少思路卡壳的可能.
【训练】 (一题多解)(2019·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________.
解析 法一 如图，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点.又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，则有＝＝(＋)，＝－＝－，所以6·＝(＋)·＝2－2＋·＝·，整理可得2＝32，所以＝.
法二 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.
设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，D.
⇒O.
∵·＝6·，
∴(3，0)·(a，b)＝6·(a－1，b)，
即3a＝6，
∴a2＋b2＝3，∴AC＝.∴＝＝.
答案
数学运算、数学建模——平面向量与三角形的“四心”
1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范、细致运算的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本专题通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.
三角形的“四心”：
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.
类型1 平面向量与三角形的“重心”
【例1】 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( )
A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
解析 取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，
∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]
＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
答案 C
类型2 平面向量与三角形的“内心”问题
【例2】 在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A. B. C.4 D.6
解析 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍.
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.
设△ABC的内切圆的半径为r，则
bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，
所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.
答案 B
类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题
【例3】 已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心
解析 因为＝＋λ(＋)，
所以＝－＝λ(＋)，
所以·＝·λ(＋)
＝λ(－||＋||)＝0，
所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
答案 B
类型4 平面向量与三角形的“外心”问题
【例4】 已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为( )
A. B.
C. D.
解析 取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则⊥，⊥，
＝－＝－(x＋y)＝－y，＝－＝－(x＋y)＝－x.
由⊥，得2－y·＝0，①
由⊥，得2－x·＝0，②
又因为2＝(－)2＝2－2·＋2，
所以·＝＝－，③
把③代入①、②得解得x＝，y＝.
故实数对(x，y)为.
答案 A
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2020·河南非凡联盟联考)在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若＝(1，2)，＝(2，t)，则||＝( )
A. B.5 C.2 D.20
解析 由题意知⊥，∴1×2＋2t＝0，
∴t＝－1，∴||＝＝.
答案 A
2.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
答案 B
3.(2020·乌海模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于( )
A.2 B. C. D.2
解析 根据题意，|a－b|＝＝，
则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝5－2a·b＝5，
可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，
可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，
则|2a－b|＝2，故选A.
答案 A
4.(2019·哈尔滨质检)已知平面向量a，b满足(a－2b)⊥(3a＋b)，且|a|＝|b|，则向量a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
解析 设a与b的夹角为θ.
因为|a|＝|b|，所以|b|＝2|a|.
因为(a－2b)⊥(3a＋b)，
所以(a－2b)·(3a＋b)＝3a2－5a·b－2b2
＝3|a|2－5|a||b|cos θ－2|b|2
＝3|a|2－5|a|×2|a|cos θ－2(2|a|)2
＝－5|a|2－10|a|2cos θ＝0，解得cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C.
答案 C
5.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是边BC，AB上的点，且满足＝＝λ，则当·＝0时，λ的值所在的区间是( )
A. B.
C. D.
解析 在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，
可得〈，〉＝60°，
所以〈，〉＝60°，〈，〉＝120°，
所以·＝4×2×＝4，
·＝4×2×＝－4，
·＝2×2×＝2，
又＝＝λ，所以＝λ，＝λ，
则＝＋＝＋λ，＝－＝λ－，
所以·＝(＋λ)·(λ－)
＝λ2－·＋λ2·－λ·＝0，
即2λ2－7λ＋2＝0，
解得λ＝(舍去)或λ＝∈.
答案 B
二、填空题
6.(2019·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cos〈a，b〉＝________.
解析 由题意得a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
答案 －
7.如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.
解析 ·＝||·||cos 60°＝1×3×＝，
又＝(＋)，
所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，
即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.
答案
8.(2019·佛山二模)在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若＝2，则·＝________.
解析 如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(1，0)，C(0，2)，所以＝(－1，2).
因为D为BC的中点，所以D(0，1)，
因为＝2，所以E，
所以＝，
所以·＝·(－1，2)＝－＋＝.
答案
三、解答题
9.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值.
解 (1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4).
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t).
由(－t)·＝0，得
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
10.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解 (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.则tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
B级 能力提升
11.(2019·北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 因为点A，B，C不共线，所以线段AB，BC，AC构成一个三角形ABC，由向量加法的三角形法则，可知＝－，所以|＋|>||等价于|＋|>|－|，因模为非负数，故不等号两边平方得2＋2＋2||·||cos θ>2＋2－2||·||cos θ (θ为与的夹角)，整理得4||·||·cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角.当与的夹角为锐角，可得·>0，则有||2＋||2＋2·>||2＋||2－2·，即有|＋|2>|－|2，则|＋|2>||2，故|＋|>||，所以“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件.故选C.
答案 C
12.(一题多解)(2020·武汉调研)在△ABC中，·＝0，||＝4，||＝5，D为线段BC的中点，点E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则·＝( )
A. B. C.－ D.7
解析 法一 ||＝＝3，
·＝(＋)·＝·＋·
＝·＝(＋)·(－)
＝(||2－||2)＝.
法二 依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，因为||＝5，所以C(0，3)，D，易知直线BC的斜率为－，因为直线DE是线段BC的垂直平分线，所以直线DE的方程为y－＝(x－2)，令x＝0，得y＝－，所以直线DE与y轴的交点坐标为，不妨令E，因为＝(4，－3)，所以·＝·(4，－3)＝，故选A.
答案 A
13.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是________.
解析 设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝(||－||)min＝－1.
答案 －1
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，
即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋).
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
C级 创新猜想
15.(新定义题)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝(a，b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；
③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；
④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________(填序号).
解析 当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①正确；
当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②错误；
当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③错误；
当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④正确.
综上，结论一定正确的是①④.
答案 ①④
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