2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第六章第2节　等差数列及其前n项和

第2节　等差数列及其前n项和

考试要求　1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.

知 识 梳 理

1.等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.

3.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.

(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.

[常用结论与微点提醒]

1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.

4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

5.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)

(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)

解析　(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.

(4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2.(老教材必修5P46AT2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)

A.31   B.32   C.33   D.34

解析　由已知可得

解得∴S8＝8a1＋d＝32.

答案　B

3.(老教材必修5P68T8改编)在等差数列{an}中a3＋a4＋a5＝6，则S7＝(　　)

A.8   B.12   C.14   D.18

解析　a3＋a4＋a5＝3a4＝6，∴a4＝2，S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝14.

答案　C

4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)

A.－12   B.－10   C.10   D.12

解析　设等差数列{an}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－a1.又a1＝2，∴d＝－3，

∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.

答案　B

5.(2020·上饶模拟)已知等差数列{an}，a10＝10，其前10项和S10＝70，则公差d＝(　　)

A.－   B.   C.－   D.

解析　因为S10＝×10×(a1＋a10)＝×10×(a1＋10)＝70，所以a1＝4，因为a10＝a1＋9d＝10，所以d＝.

答案　D

6.(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.

解析　由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，

所以S10＝10a1＋d＝100a1，

S5＝5a1＋d＝25a1，所以＝4.

答案　4

考点一　等差数列基本量的运算

【例1】 (1)(一题多解)(2019·江苏卷)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________.

(2)(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则(　　)

A.an＝2n－5    B.an＝3n－10

C.Sn＝2n2－8n    D.Sn＝n2－2n

解析　(1)法一　由S9＝27⇒＝27⇒a1＋a9＝6⇒2a5＝6⇒a5＝3，即a1＋4d＝3.

又a2a5＋a8＝0⇒2a1＋5d＝0，

解得a1＝－5，d＝2.

故S8＝8a1＋d＝16.

法二　同法一得a5＝3.

又a2a5＋a8＝0⇒3a2＋a8＝0⇒2a2＋2a5＝0⇒a2＝－3.

∴d＝＝2，a1＝a2－d＝－5.

故S8＝8a1＋d＝16.

(2)设首项为a1，公差为d.

由S4＝0，a5＝5可得解得

所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，

Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.

答案　(1)16　(2)A

规律方法　1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.

2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

【训练1】 (2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5.

(1)若 a3＝4，求{an}的通项公式；

(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围.

解　(1)设{an}的公差为d.

由S9＝－a5得9a1＋d＝－(a1＋4d)，即a1＋4d＝0.

由a3＝4得a1＋2d＝4.

于是a1＝8，d＝－2.

因此{an}的通项公式为an＝10－2n.

(2)由(1)得a1＝－4d，

故an＝(n－5)d，Sn＝.

由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于≤n－5，

即n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，

所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}.

考点二　等差数列的判定与证明　典例迁移

【例2】 (经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.

(1)求证：成等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，

得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，

又＝＝2，

故是首项为2，公差为2的等差数列.

(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.

当n＝1时，a1＝不适合上式.

故数列{an}的通项公式为an＝

【迁移1】 本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.

解　因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，

所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2).

所以－＝2(n≥2).

又＝＝2，

所以是以2为首项，2为公差的等差数列.

所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.

所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，

所以an＋1＝，又an＋1－an＝－＝＝.

所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是等差数列.

【迁移2】 本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.

解　由已知可得＝＋1，即－＝1，

又a1＝，

∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，

∴＝＋(n－1)·1＝n－，

∴数列{an}的通项公式为an＝n2－n.

规律方法　1.证明数列是等差数列的主要方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.

(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.

2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：

(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.

(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.

【训练2】 记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.

解　(1)设{an}的公比为q，由题设可得

解得

故{an}的通项公式为an＝(－2)n.

(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.

由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n

＝2＝2Sn，

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.

考点三　等差数列的性质及应用

【例3】 (1)(2019·安阳联考)在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则(a3＋a7)2－a5＝(　　)

A.60   B.56   C.12    D.4

(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)

A.63   B.45   C.36   D.27

解析　(1)∵在等差数列{an}中，a2＋a8＝8，

∴a2＋a8＝a3＋a7＝2a5＝8，解得a5＝4，

所以(a3＋a7)2－a5＝82－4＝60.

(2)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，

即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，

得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，

所以a7＋a8＋a9＝45.

答案　(1)A　(2)B

规律方法　1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.

2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则

(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；

(2)S2n－1＝(2n－1)an.

【训练3】 (1)(2020·广东六校联考)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是(　　)

A.14   B.15   C.16   D.17

(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　(1)依题意，由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，

得5a8＝120，即a8＝24，所以a9－a11＝(3a9－a11)＝(a9＋a7＋a11－a11)＝(a9＋a7)＝a8＝×24＝16.

(2)＝＝＝＝

＝＝.

答案　(1)C　(2)A

考点四　等差数列的最值问题　多维探究

角度1　等差数列前n项和的最值

【例4－1】 (2019·北京卷)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.

解　(1)设{an}的公差为d.

因为a1＝－10，

所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.

因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，

所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).

所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).

解得d＝2.

所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.

(2)由(1)知，an＝2n－12.

则当n≥7时，an>0；当n＝6时，an＝0，当n<6时，an<0；

所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.

规律方法　求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.

角度2　等差数列项的最值

【例4－2】 (2020·淮北模拟)Sn是等差数列{an}的前n项和，S2 020<S2 018，S2 019<S2 020，则Sn<0时n的最大值是(　　)

A.2 019   B.2 020   C.4 037   D.4 038

解析　因为S2 020<S2 018，S2 019<S2 020，所以a2 020＋a2 019<0，a2 020>0.所以S4 038＝＝2 019(a2 020＋a2 019)<0，S4 039＝＝4 039a2 020>0，可知Sn<0时n的最大值是4 038.

答案　D

规律方法　本题借助等差数列的性质求出Sn<0中n的取值范围，从而求出n的最大值，这种题型要与Sn的最值区别开来.

【训练4】 (1)(角度1)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为(　　)

A.6   B.7   C.8   D.9

(2)(角度2)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________.

解析　(1)由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值.故选C.

(2)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a7＝36，所以a4＋a6＝36，又a4a6＝275，联立，解得或当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，所以a2a3＝－12为anan＋1的最小值；当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，所以a7a8＝－12为anan＋1的最小值.综上，anan＋1的最小值为－12.

答案　(1)C　(2)－12

A级　基础巩固

一、选择题

1.(2019·衡阳一模)在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为(　　)

A.6   B.12   C.24   D.48

解析　∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，

由等差数列的性质，a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，

∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.

答案　D

2.(2020·河南名校联盟联合调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a8＋a13＝，则tan S14＝(　　)

A.－   B.   C.－   D.

解析　∵{an}是等差数列，且a2＋a7＋a8＋a13＝，

∴a7＋a8＝，∴S14＝＝7(a7＋a8)＝，

∴tan S14＝tan ＝.

答案　D

3.(2020·武汉调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则S10的值为(　　)

A.90   B.91   C.96   D.100

解析　∵对任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，

∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，

∴an＋1－an＝2.

∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.

又a1＝1，a2＝2，∴S10＝1＋9×2＋×2＝91.

故选B.

答案　B

4.(2019·合肥质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是(　　)

A.174斤   B.184斤   C.191斤   D.201斤

解析　用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，

由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，

∴8a1＋×17＝996，解之得a1＝65.

∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.

答案　B

5.(2020·昆明诊断)等差数列{an}中，a1＝2 019，a2 019＝a2 015－16，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时n的值为(　　)

A.504   B.505   C.506   D.507

解析　∵数列{an}为等差数列，a2 019＝a2 015－16，

∴数列{an}的公差d＝－4，

∴an＝a1＋(n－1)d＝2 023－4n，令an≥0，得n≤.

又n∈N*，∴Sn取最大值时n的值为505.

答案　B

二、填空题

6.(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.

解析　∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，

∴公差d＝＝＝2，

首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，

∴S10＝10a1＋d＝100.

答案　100

7.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.

解析　依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.

答案　200

8.(多填题)(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________.

解析　由题意得a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，

解得a1＝－4，d＝1，

所以a5＝a1＋4d＝0，

故an＝a1＋(n－1)d＝n－5.

令an≤0，则n≤5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后项为正.

∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10.

答案　0　－10

三、解答题

9.已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

(1)求d及Sn；

(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

解　(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，

将a1＝1代入上式，解得d＝2或d＝－5.

因为d>0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*).

(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，

所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.

由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，

故解得

即所求m的值为5，k的值为4.

10.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.

(1)求a及k的值；

(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

(1)解　设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，

由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，

所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k，

由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，

解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.

(2)证明　由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，

则bn＝＝n＋1，

故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，

即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以Tn＝＝.

B级　能力提升

11.(2019·济宁模拟)设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝(　　)

A.   B.   C.3   D.

解析　令bn＝nan，则2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，

所以{bn}为等差数列，

因为b1＝1，b2＝4，所以公差d＝3，则bn＝3n－2，

所以b18＝52，

则18a18＝52，所以a18＝.

答案　B

12.(2020·济南调研)已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足＋＋＋…＋＝，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为(　　)

A.－454   B.－450   C.－446   D.－442

解析　∵数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

∵数列{bn}满足＋＋＋…＋＝，

∴n≥2时，＋＋…＋＝，

两式相减可得＝－，可得bn＝(1－2n)· 2n(n≥2).

n＝1时，＝，解得b1＝2，不符合上式，

∴bn＝∴S5＝2－3×22－5×23－7×24－9×25＝－450.

答案　B

13.(2020·广州质检)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且对任意正整数n都有＝－1，则Sn＝________.

解析　对任意正整数n都有＝－1，

∴＝－＝－1，

即－＝1，又＝1.

∴数列是首项与公差都为1的等差数列.

∴＝1＋n－1＝n，解得Sn＝.

答案　

14.设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的等差中项.

(1)证明：数列{an}为等差数列；

(2)若bn＝－n＋5，求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值.

(1)证明　由已知可得2Sn＝a＋an，且an>0，

当n＝1时，2a1＝a＋a1，解得a1＝1.

当n≥2时，有2Sn－1＝a＋an－1，

所以2an＝2Sn－2Sn－1＝a－a＋an－an－1，

所以a－a＝an＋an－1，

即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1，

因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2).

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列.

(2)解　由(1)可知an＝n，设cn＝an·bn，

则cn＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＝－＋，

因为n∈N*，所以n＝2或3，c2＝c3＝6，因此当n＝2或n＝3时，{an·bn}取最大项，且最大项的值为6.

C级　创新猜想

15.(新背景题)(2020·晋冀鲁豫名校联考)我国南北朝时期的著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是(　　)

A.斤   B.斤   C.斤   D.斤

解析　设第n个人得金an斤，由题意可知{an}是等差数列，设公差为d，

则有

解得

则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.故选C.

答案　C