2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第五章第2节　平面向量基本定理及坐标表示

第2节　平面向量基本定理及坐标表示

考试要求　1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

知 识 梳 理

1.平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.

4.平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

[常用结论与微点提醒]

1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.

2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　　)

(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)

(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　　)

解析　(1)共线向量不可以作为基底.

(3)若b＝(0，0)，则＝无意义.

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2.(老教材必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)

A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－1)

B.e1＝(－1，1)，e2＝(5，7)

C.e1＝(2，5)，e2＝(4，10)

D.e1＝(2，－3)，e2＝

解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.

答案　B

3.(新教材必修第二册P33T1改编)已知向量a＝(－1，3)，b＝(2，1)，则3a－2b＝(　　)

A.(－7，7)    B.(－3，－2)

C.(6，2)    D.(4，－3)

解析　3a－2b＝(－3，9)－(4，2)＝(－7，7).

答案　A

4.(2020·合肥质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)

A.　 B.(－6，8)　 C.　 D.(6，－8)

解析　因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝5|λ|＝10，故λ＝－2，b＝(6，－8).

答案　D

5.(2019·福州质检)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.

解析　设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得

答案　(1，5)

6.(2017·山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.

解析　∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.

答案　－3

考点一　平面向量基本定理及其应用

【例1】 (一题多解) (2020·泉州四校联考)如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　法一　由＝2，＝2，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以＝(＋)，则＝(＋)，又＝，＝n，从而＝－＝n－，＝－＝(＋)－＝－，又点M，P，N共线，所以存在实数λ，使＝λ成立，即n－＝λ，

又因为，不共线，

所以有解得n＝，故选A.

法二　设＝λ，∵＝，＝n，

∴＝＋＝＋λ(－)

＝＋λ＝(1－λ)＋nλ，

又知＝2，∴＝＝＋，

∴解得λ＝，n＝，故选A.

答案　A

规律方法　1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

【训练1】 (2019·长春调研)在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋.延长AD交BC于E，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是________.

解析　设＝x，∵＝＋，

∴＝＋，故λ＝，μ＝.

由于E，B，C三点共线，∴＋＝1，x＝.

因此λ－μ＝－＝－＝－.

答案　－

考点二　平面向量的坐标运算

【例2】 (1)已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)

A.    B.

C.(3，2)    D.(1，3)

(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

解析　(1)设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4，3)，又＝2，所以解得故选A.

(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，

则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，

∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)，

∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，

则解得λ＝－2，μ＝－，

∴，＝＝4.

答案　(1)A　(2)D

规律方法　向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用.

【训练2】 (1)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________.

(2)如图所示，以e1，e2为基底，则a＝________.

解析　(1)由点C是线段AB上一点，||＝2||，

得＝－2.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7).

(2)以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，令a＝xe1＋ye2，即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－1，1)，则所以即a＝－2e1＋e2.

答案　(1)(4，7)　(2)－2e1＋e2

考点三　平面向量共线的坐标表示　多维探究

角度1　利用向量共线求向量或点的坐标

【例3－1】 (一题多解)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.

解析　法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ).

又＝－＝(－2，6)，

由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，

解得λ＝，所以＝＝(3，3)，

所以点P的坐标为(3，3).

法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.

又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，

所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，

所以点P的坐标为(3，3).

答案　(3，3)

角度2　利用向量共线求参数

【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.

(2)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共线，则＝________.

解析　(1)由题意得2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，即λ＝.

(2)由≠，所以a与b不共线，

又a－3b＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0.

那么当ma＋nb与a－3b共线时，

有＝，即得＝－.

答案　(1)　(2)－

规律方法　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；

(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.

2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

【训练3】 (1)(角度1)(2020·北师大附中检测)已知向量a＝(1，1)，点A(3，0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若∥a，则点B的坐标为________.

(2)(角度2)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是________.

解析　(1)由题意设B(x，2x)，则＝(x－3，2x)，

∵∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6).

(2)＝－＝(4－k，－7)，

＝－＝(－2k，－2).

∵A，B，C三点共线，∴，共线，

∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.

答案　(1)(－3，－6)　(2)－

A级　基础巩固

一、选择题

1.设A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，－1)，则＋等于(　　)

A.－2   B.2   C.－3   D.3

解析　由题意得＝(1，2)，＝(－1，4)，＝(0，－2)，所以＋＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3.

答案　C

2.已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　)

A.    B.

C.    D.

解析　＝－＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，

∴与同方向的单位向量为＝.

答案　A

3.若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)

A.(2，2)    B.(3，－1)

C.(2，2)或(3，－1)   D.(2，2)或(3，1)

解析　由题意得＝且＝(3，－3).

设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(1，－1)，

∴x＝2，y＝2，则点P(2，2).

答案　A

4.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1，2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)

A.(－∞，2)    B.(2，＋∞)

C.(－∞，＋∞)    D.(－∞，2)∪(2，＋∞)

解析　由题意知向量a，b不共线，

故2m≠3m－2，即m≠2.

答案　D

5.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋b与a－2b共线，则m的值为(　　)

A.2   B.－2   C.   D.－

解析　由a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋b＝(2m－1，3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，又ma＋b与a－2b共线，所以－1×(2m－1)＝(3m＋2)×4，得m＝－，故选D.

答案　D

6.(2019·成都七中质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A.   B.   C.3   D.2

解析　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，

因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0).

＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，

所以＝.

答案　A

7.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)

A.1   B.   C.   D.2

解析　因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，

∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.

又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，当x＝y时取等号，

故x＋y的最大值为.

答案　B

8.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝(　　)

A.a－b    B.a＋b

C.－a＋b    D.－a－b

解析　设＝λ，＝μ.而＝＋＝－b＋λ＝－b＋λ，

＝μ＝μ.因此，μ＝－b＋λ.由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得解之得λ＝，μ＝.故＝λ＝λ＝a＋b.

答案　B

二、填空题

9.(2020·安徽江南十校联考)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2，5)，c＝(m，3)，且(a＋c)∥(a－b)，则m＝________.

解析　a＝(1，m)，b＝(2，5)，c＝(m，3)，

∴a＋c＝(m＋1，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)，

又(a＋c)∥(a－b)，∴(m＋1)(m－5)＋m＋3＝0，

即m2－3m－2＝0，解之得m＝.

答案　

10.已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________.

解析　由题意知＝(－3，0)，＝(0，)，则＝(－3λ，).由∠AOC＝30°知以x轴的正半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝，即－＝－，所以λ＝1.

答案　1

11.若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝________.

解析　设b＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1).

因为|a＋b|＝1，所以(x＋2)2＋(y－1)2＝1.

又因为a＋b平行于y轴，所以x＝－2，

代入上式，得y＝0或2.

所以b＝(－2，0)或b＝(－2，2).

答案　(－2，0)或(－2，2)

12.(一题多解)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

解析　法一　以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1，1).

∵＝λ＋μ＝，

∴解得∴λ＋μ＝.

法二　由＝＋，＝－＋，

得＝λ＋μ＝＋.

又＝＋，∴解得

所以λ＋μ＝.

答案　

B级　能力提升

13.(2020·衡水模拟)已知点P为四边形ABCD所在平面内一点，且满足＋2＝0，＋＋4＝0，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λμ＝(　　)

A.   B.－   C.－   D.

解析　如图，取AB的中点O，连接DO.

由＋2＝0，知AB∥CD，AB＝2CD，

所以CD綉OB，所以四边形OBCD为平行四边形.

又由＋＋4＝0，得－2＋4＝0，

即＝2，所以D，P，O三点共线，且P为OD上靠近D的三等分点，

所以＝＋＝＋＝＋，

所以λ＝，μ＝，所以λμ＝.

答案　D

14.(2020·南昌模拟)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x＋y，则xy的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

解析　因为D，E是BC边的三等分点，点P在线段DE上，若＝x＋y，可得x＋y＝1，x，y∈，xy＝x(1－x)＝x－x2＝－＋，当x＝时，xy取最大值，当x＝或x＝时，xy取最小值.故选D.

答案　D

15.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)

A.3   B.2   C.   D.2

解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2，1).

设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.

∵CD＝1，BC＝2，

∴BD＝＝，

EC＝＝＝，

即圆C的半径为，

∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.

设P(x0，y0)，则(θ为参数)，

而＝(x0，y0)，＝(0，1)，＝(2，0).

∵＝λ＋μ＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，

∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.

两式相加，得

λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ

＝2＋sin(θ＋φ)≤3，

当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.

故选A.

答案　A

16.(2019·安庆二模)在△ABC中，AB＝1，BC＝，CA＝3，O为△ABC的外心，若＝m＋n，其中m，n∈[0，1]，则点P的轨迹所对应图形的面积是________.

解析　由余弦定理得，cos ∠BAC＝＝＝，所以∠BAC＝60°，因此＝2OB，OB＝.由题意知，点P的轨迹是以OB，OC为邻边的菱形及其内部，∠BOC＝120°.于是所求图形的面积是2S△BOC＝2××OB2·sin 120°＝×＝.

答案　

C级　创新猜想

17.(开放题)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的______(填“外心”、“内心”、“重心”或“垂心”).和向量式“＝＋λ，λ∈[0，＋∞)”类似，当点P满足________(答案不唯一)时，动点P的轨迹一定通过△ABC的重心.

解析　由＝＋λ，知－＝λ，即＝λ，所以点P在∠BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心.

当点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)时，点P的轨迹一定通过△ABC的重心.证明如下：由已知得＝λ(＋)，设BC的中点为D，根据平行四边形法则知点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过△ABC的重心.

答案　内心　＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)(答案不唯一)