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2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第九章第5节第一课时 椭圆及简单几何性质
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第5节 椭 圆
考试要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知 识 梳 理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[常用结论与微点提醒]
1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中；
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
5.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(老教材选修2－1P49T1改编)若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是________________________.
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
3.(老教材选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，∴P点坐标为(，1)或(，－1).
答案 (，1)或(，－1)
4.(2019·北京卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则( )
A.a2＝2b2 B.3a2＝4b2
C.a＝2b D.3a＝4b
解析 因为椭圆的离心率e＝＝，所以a2＝4c2.
又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B.
答案 B
5.(2020·东北三省四校调研)过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
答案 A
6.(2019·浙江卷)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.
解析 设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F′，连接OM，MF′，则F(－2，0)，F′(2，0)，|OM|＝2，|PF′|＝2|OM|＝4.
根据椭圆的定义，
得|PF|＋|PF′|＝6，
所以|PF|＝2.
又因为|FF′|＝4，
所以在Rt△MFF′中，
tan ∠MFF′＝＝＝，
即直线PF的斜率是.
答案
第一课时 椭圆及简单几何性质
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)(2020·河北九校联考)设F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________________.
解析 (1)连接QA.
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，
又知△PF1F2的面积为9，∴|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中，
由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，
即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9.
又知b>0，∴b＝3，
又知△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1，②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为＋＝1.
答案 (1)A (2)＋＝1
规律方法 1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系.
【训练1】 (2019·福建四校联考)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.2
解析 由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
答案 C
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)(一题多解)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________________.
解析 (1)由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2>|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.
(2)法一 若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得解得
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
法二 设椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则由题意，知或
解得或
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
答案 (1)D (2)＋y2＝1或＋＝1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
(3)椭圆系方程
①与＋＝1共焦点的椭圆系为＋＝1(k
【训练2】 (1)(2020·亳州模拟)椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上两动点P，Q总使PF1QF2为平行四边形，若平行四边形PF1QF2的周长和最大面积分别为8和2，则椭圆的标准方程可能为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)(2019·岳阳调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为________________.
解析 (1)如图，由四边形PF1QF2周长为8，可知4a＝8，所以a＝2.
当P，Q为短轴端点时，四边形的面积最大，故2bc＝2，即bc＝.椭圆方程可以是＋＝1.故选C.
(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
∴可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴又知a2＝b2＋c2，解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
答案 (1)C (2)＋＝1
考点三 椭圆的几何性质 多维探究
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3－1】 (2019·泉州质检)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析 因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6
规律方法 1.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c.
2.与椭圆几何性质有关的问题要注意数形结合、分类讨论思想的应用.
角度2 椭圆的离心率
【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)(2020·南阳模拟)设M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，以M为圆心的圆与x轴相切，切点为椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q，若△PMQ为等边三角形，则椭圆C的离心率为________.
解析 (1)不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2)∵圆M与x轴相切于焦点F，∴不妨设M(c，y)，又知点M在椭圆上，则有＋＝1，解得y＝±，∴圆M的半径r＝，若△PMQ为等边三角形，则·＝c，即b2＝2ac，又知b2＝a2－c2，∴(a2－c2)＝2ac，两边同时除以a2，整理得e2＋2e－＝0，又∵0
规律方法 求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
【训练3】 (1)(角度1)(2019·武汉模拟)曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
(2)(角度2)(2020·成都质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点.若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A.－1 B.
C. D.＋1
解析 (1)曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线＋＝1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为.对照选项，知D正确.
(2)不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝＝－1.故选A.
答案 (1)D (2)A
考点四 与椭圆定义、性质有关的最值范围问题多维探究
角度1 与椭圆定义有关的最值问题
【例4－1】 (2020·深圳模拟)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B′，则B′(0，1)，如图，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5，故选D.
答案 D
规律方法 解决与椭圆定义有关的最值问题，注意应用|PF1|＋|PF2|＝2a，同时对称和转化思想是解决问题的关键.
角度2 与椭圆有界性有关的最值(范围)问题
【例4－2】 已知点A(0，2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________.
解析 设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，∴|PA|2＝x＋(y0－2)2.∵＋y＝1，∴|PA|2＝4(1－y)＋(y0－2)2＝－3y－4y0＋8＝－3＋.∵－1≤y0≤1，而－1<－<1，∴当y0＝－时，|PA|＝，即|PA|max＝.
答案
规律方法 椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系，同时注意应用函数思想处理最值问题.
角度3 与离心率有关的最值(范围)问题
【例4－3】 (一题多解)(2020·江西大联考)椭圆G：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足·＝0.则椭圆离心率e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析 法一 设点M的坐标为(x0，y0)，∵·＝0，F1(－c，0)，F2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋y＝0，即x＋y＝c2.①
又知点M在椭圆G上，∴＋＝1，②
由①②联立结合a2－b2＝c2解得x＝，由椭圆的性质可得0≤x≤a2，即即所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥，又知0
∵|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，(|MF1|＋|MF2|)2≤2(|MF1|2＋|MF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，∴|MF1|＋|MF2|≤2c，∴e＝≥＝，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝c时，等号成立，又知0
答案 D
规律方法 解决椭圆离心率的最值或范围问题，注意应用椭圆的性质建立不等关系，同时注意椭圆的离心率e∈(0，1).
【训练4】 (1)(角度1)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________.
(2)(角度2)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
(3)(角度3)(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
解析 (1)由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线且P在线段MF2上时取得等号，
又|MF2|＝＝5，2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
(2)①当焦点在x轴上，依题意得
0
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
(3)不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，
与直线l的方程联立
消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，
解得a≥，
所以e＝＝≤，所以e的最大值为.
答案 (1)－5 (2)A (3)A
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2019·张家口调研)椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A.(±3，0) B.(0，±3) C.(±9，0) D.(0，±9)
解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3).
答案 B
2.(2020·兰州一中月考)若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是( )
A.(－3，5) B.(－5，3)
C.(－3，1)∪(1，5) D.(－5，1)∪(1，3)
解析 由方程表示椭圆知
解得－3
3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析 设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
答案 D
4.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为( )
A. B.1 C. D.
解析 不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋＝1中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，所以由S＝Cr得内切圆半径r＝＝＝(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长).
答案 D
5.(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图.不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B.
由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.
答案 B
二、填空题
6.若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值为______.
解析 (1)若焦点在x轴上，即k＋8>9>0时，a2＝k＋8，b2＝9，e2＝＝＝＝，解得k＝4.
(2)若焦点在y轴上，即0
答案 4或－
7.(2019·全国Ⅲ卷)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.
解析 不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2＝8，
因为△MF1F2是等腰三角形，
|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，
所以|MF1|>6，|MF2|<6，
所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.
故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上.
因为点M在椭圆＋＝1上，
所以联立方程可得解得
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，).
答案 (3，)
8.(2019·昆明诊断)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).
答案 (－3，0)或(3，0)
三、解答题
9.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
解 椭圆方程可化为＋＝1，m>0.
∵m－＝>0，∴m>，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.
10.(2020·福建四地七校调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.
解 (1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得＋＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.
(2)由(1)得椭圆E的方程为＋＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
⇒(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又x1＋x2＝2，∴k＝，∴x1x2＝，
则|AB|＝
＝＝2，
∴b2＝，则a2＝10，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
B级 能力提升
11.(2019·德阳诊断)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
解析 ∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8.
答案 C
12.(2020·合肥模拟)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 设P(x，y)，由＋＝1知A1(－2，0)，A2(2，0)，∴kPA1＝，kPA2＝.∴kPA1·kPA2＝＝＝＝－.∴kPA1＝－.∵kPA2∈[－2，－1]，∴kPA1∈.
答案 A
13.(2020·石家庄模拟)已知椭圆＋＝1，其中α∈，则椭圆形状最圆时的焦距为________.
解析 因为α∈，所以tan α>0，且tan α
14.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
(1)解 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴≥，即e≥.又0
C级 创新猜想
15.(多选题)如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列四个命题中正确的是( )
A.P到F1(－4，0)，F2(4，0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和必为定值
B.曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称
C.曲线C所围区域的面积必小于36
D.曲线C的总长度必大于6π
解析 对于A，若点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0，4)两点的距离之和不为定值，故A错；
对于B，联立两个椭圆的方程得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；
对于C，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故C正确；
对于D，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故D正确.
答案 BCD
第5节 椭 圆
考试要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知 识 梳 理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[常用结论与微点提醒]
1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中；
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
5.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(老教材选修2－1P49T1改编)若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是________________________.
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
3.(老教材选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，∴P点坐标为(，1)或(，－1).
答案 (，1)或(，－1)
4.(2019·北京卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则( )
A.a2＝2b2 B.3a2＝4b2
C.a＝2b D.3a＝4b
解析 因为椭圆的离心率e＝＝，所以a2＝4c2.
又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B.
答案 B
5.(2020·东北三省四校调研)过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
答案 A
6.(2019·浙江卷)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.
解析 设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F′，连接OM，MF′，则F(－2，0)，F′(2，0)，|OM|＝2，|PF′|＝2|OM|＝4.
根据椭圆的定义，
得|PF|＋|PF′|＝6，
所以|PF|＝2.
又因为|FF′|＝4，
所以在Rt△MFF′中，
tan ∠MFF′＝＝＝，
即直线PF的斜率是.
答案
第一课时 椭圆及简单几何性质
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)(2020·河北九校联考)设F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________________.
解析 (1)连接QA.
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，
又知△PF1F2的面积为9，∴|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中，
由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，
即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9.
又知b>0，∴b＝3，
又知△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1，②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为＋＝1.
答案 (1)A (2)＋＝1
规律方法 1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系.
【训练1】 (2019·福建四校联考)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.2
解析 由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
答案 C
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)(一题多解)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________________.
解析 (1)由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2>|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.
(2)法一 若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得解得
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
法二 设椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则由题意，知或
解得或
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
答案 (1)D (2)＋y2＝1或＋＝1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
(3)椭圆系方程
①与＋＝1共焦点的椭圆系为＋＝1(k
【训练2】 (1)(2020·亳州模拟)椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上两动点P，Q总使PF1QF2为平行四边形，若平行四边形PF1QF2的周长和最大面积分别为8和2，则椭圆的标准方程可能为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)(2019·岳阳调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为________________.
解析 (1)如图，由四边形PF1QF2周长为8，可知4a＝8，所以a＝2.
当P，Q为短轴端点时，四边形的面积最大，故2bc＝2，即bc＝.椭圆方程可以是＋＝1.故选C.
(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
∴可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴又知a2＝b2＋c2，解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
答案 (1)C (2)＋＝1
考点三 椭圆的几何性质 多维探究
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3－1】 (2019·泉州质检)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析 因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6
规律方法 1.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c.
2.与椭圆几何性质有关的问题要注意数形结合、分类讨论思想的应用.
角度2 椭圆的离心率
【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)(2020·南阳模拟)设M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，以M为圆心的圆与x轴相切，切点为椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q，若△PMQ为等边三角形，则椭圆C的离心率为________.
解析 (1)不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2)∵圆M与x轴相切于焦点F，∴不妨设M(c，y)，又知点M在椭圆上，则有＋＝1，解得y＝±，∴圆M的半径r＝，若△PMQ为等边三角形，则·＝c，即b2＝2ac，又知b2＝a2－c2，∴(a2－c2)＝2ac，两边同时除以a2，整理得e2＋2e－＝0，又∵0
规律方法 求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
【训练3】 (1)(角度1)(2019·武汉模拟)曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
(2)(角度2)(2020·成都质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点.若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A.－1 B.
C. D.＋1
解析 (1)曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线＋＝1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为.对照选项，知D正确.
(2)不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝＝－1.故选A.
答案 (1)D (2)A
考点四 与椭圆定义、性质有关的最值范围问题多维探究
角度1 与椭圆定义有关的最值问题
【例4－1】 (2020·深圳模拟)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B′，则B′(0，1)，如图，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5，故选D.
答案 D
规律方法 解决与椭圆定义有关的最值问题，注意应用|PF1|＋|PF2|＝2a，同时对称和转化思想是解决问题的关键.
角度2 与椭圆有界性有关的最值(范围)问题
【例4－2】 已知点A(0，2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________.
解析 设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，∴|PA|2＝x＋(y0－2)2.∵＋y＝1，∴|PA|2＝4(1－y)＋(y0－2)2＝－3y－4y0＋8＝－3＋.∵－1≤y0≤1，而－1<－<1，∴当y0＝－时，|PA|＝，即|PA|max＝.
答案
规律方法 椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系，同时注意应用函数思想处理最值问题.
角度3 与离心率有关的最值(范围)问题
【例4－3】 (一题多解)(2020·江西大联考)椭圆G：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足·＝0.则椭圆离心率e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析 法一 设点M的坐标为(x0，y0)，∵·＝0，F1(－c，0)，F2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋y＝0，即x＋y＝c2.①
又知点M在椭圆G上，∴＋＝1，②
由①②联立结合a2－b2＝c2解得x＝，由椭圆的性质可得0≤x≤a2，即即所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥，又知0
∵|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，(|MF1|＋|MF2|)2≤2(|MF1|2＋|MF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，∴|MF1|＋|MF2|≤2c，∴e＝≥＝，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝c时，等号成立，又知0
答案 D
规律方法 解决椭圆离心率的最值或范围问题，注意应用椭圆的性质建立不等关系，同时注意椭圆的离心率e∈(0，1).
【训练4】 (1)(角度1)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________.
(2)(角度2)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
(3)(角度3)(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
解析 (1)由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线且P在线段MF2上时取得等号，
又|MF2|＝＝5，2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
(2)①当焦点在x轴上，依题意得
0
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
(3)不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，
与直线l的方程联立
消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，
解得a≥，
所以e＝＝≤，所以e的最大值为.
答案 (1)－5 (2)A (3)A
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2019·张家口调研)椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A.(±3，0) B.(0，±3) C.(±9，0) D.(0，±9)
解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3).
答案 B
2.(2020·兰州一中月考)若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是( )
A.(－3，5) B.(－5，3)
C.(－3，1)∪(1，5) D.(－5，1)∪(1，3)
解析 由方程表示椭圆知
解得－3
3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析 设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
答案 D
4.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为( )
A. B.1 C. D.
解析 不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋＝1中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，所以由S＝Cr得内切圆半径r＝＝＝(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长).
答案 D
5.(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图.不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B.
由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.
答案 B
二、填空题
6.若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值为______.
解析 (1)若焦点在x轴上，即k＋8>9>0时，a2＝k＋8，b2＝9，e2＝＝＝＝，解得k＝4.
(2)若焦点在y轴上，即0
答案 4或－
7.(2019·全国Ⅲ卷)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.
解析 不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2＝8，
因为△MF1F2是等腰三角形，
|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，
所以|MF1|>6，|MF2|<6，
所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.
故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上.
因为点M在椭圆＋＝1上，
所以联立方程可得解得
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，).
答案 (3，)
8.(2019·昆明诊断)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).
答案 (－3，0)或(3，0)
三、解答题
9.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
解 椭圆方程可化为＋＝1，m>0.
∵m－＝>0，∴m>，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.
10.(2020·福建四地七校调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.
解 (1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得＋＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.
(2)由(1)得椭圆E的方程为＋＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
⇒(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又x1＋x2＝2，∴k＝，∴x1x2＝，
则|AB|＝
＝＝2，
∴b2＝，则a2＝10，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
B级 能力提升
11.(2019·德阳诊断)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
解析 ∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8.
答案 C
12.(2020·合肥模拟)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 设P(x，y)，由＋＝1知A1(－2，0)，A2(2，0)，∴kPA1＝，kPA2＝.∴kPA1·kPA2＝＝＝＝－.∴kPA1＝－.∵kPA2∈[－2，－1]，∴kPA1∈.
答案 A
13.(2020·石家庄模拟)已知椭圆＋＝1，其中α∈，则椭圆形状最圆时的焦距为________.
解析 因为α∈，所以tan α>0，且tan α
14.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
(1)解 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴≥，即e≥.又0
C级 创新猜想
15.(多选题)如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列四个命题中正确的是( )
A.P到F1(－4，0)，F2(4，0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和必为定值
B.曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称
C.曲线C所围区域的面积必小于36
D.曲线C的总长度必大于6π
解析 对于A，若点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0，4)两点的距离之和不为定值，故A错；
对于B，联立两个椭圆的方程得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；
对于C，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故C正确；
对于D，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故D正确.
答案 BCD
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