2021版高考理科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第二章　第6讲　对数与对数函数

第6讲　对数与对数函数

一、知识梳理

1．对数

2.对数函数的图像与性质

3.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

常用结论

1．换底公式的三个重要结论

①logab＝；

②logambn＝logab；

③logab·logbc·logcd＝logad.

2．对数函数的图象与底数大小的关系

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．

故0<c<d<1<a<b.

由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．

二、教材衍化

1． (log29)·(log34)＝________．

解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4.

答案：4

2．若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________．

解析：由题意知f(x)＝log2x，

所以f(2)＝log22＝1.

答案：1

3．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．

解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.

所以函数的图象恒过点(3，1)．

答案：(3，1)

4．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则a，b，c的大小关系为________．

解析：因为0<a<1，b<0，c＝log＝log23>1.所以c>a>b.

答案：c>a>b

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)

(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　)

(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(　　)

(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)

(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)

(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只经过第一、四象限．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√

二、易错纠偏

(1)对数函数图象的特征不熟致误；

(2)忽视对底数的讨论致误；

(3)忽视对数函数的定义域致误．

1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是________．(填序号)

解析：函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有②.

答案：②

2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．

解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0<a<1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝.所以a＝2或.

答案：2或

3．函数y＝的定义域是________．

解析：由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.

所以<x≤1.

所以函数y＝的定义域是.

答案：

　　　　　　对数式的化简与求值(自主练透)

1．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________．

解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2.

答案：2

2．若lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)，则log的值为________．

解析：依题意，可得lg(xy)＝lg(2x－3y)2，

即xy＝4x2－12xy＋9y2，

整理得：4－13＋9＝0，解得＝1或＝.

因为x>0，y>0，2x－3y>0，

所以＝，所以log＝2.

答案：2

3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________．

解析：由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，

所以＋＝logm2＋logm5＝logm10.

因为＋＝2，所以logm10＝2.

所以m2＝10，所以m＝.

答案：

4．已知log23＝a，3b＝7，则log32的值为________．

解析：由题意3b＝7，所以log37＝b.

所以log32＝log＝＝＝＝.

答案：

对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．　

　　　　　　对数函数的图象及应用(师生共研)

(1)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

(2)已知函数f(x)＝，若存在实数a，b，c，d，满足f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围________．

【解析】　(1)对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图象恒过定点，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.

(2)

由题意可得－log3a＝log3b＝c2－c＋8＝d2－d＋8，

可得log3(ab)＝0，故ab＝1.

结合函数f(x)的图象，在区间[3，＋∞)上，

令f(x)＝1可得c＝3、d＝7、cd＝21.

令f(x)＝0可得c＝4、d＝6、cd＝24.

故有21＜abcd＜24.

【答案】　(1)D　(2)(21，24)

对数函数图象的识别及应用方法

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　

1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A．a>1，c>1

B．a>1，0<c<1

C．0<a<1，c>1

D．0<a<1，0<c<1

解析：选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a<1，0<c<1.

2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.

答案：(1，＋∞)

　　　　　　对数函数的性质及应用(多维探究)

角度一　比较大小

已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c　　　　　　　 B．b>a>c

C．c>b>a  D．c>a>b

【解析】　因为c＝log＝log23>log2e＝a，所以c>a.

因为b＝ln 2＝<1<log2e＝a，

所以a>b.

所以c>a>b.

【答案】　D

比较对数值大小的常见类型及解题方法

角度二　解简单对数不等式

已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是________．

【解析】　原不等式⇔①

或②，

解不等式组①得<x<，

不等式组②无解，

所以实数x的取值范围是.

【答案】　

求解对数不等式的两种类型及方法

[提醒]　注意对数式的真数大于零，且不等于1.　

角度三　与对数函数有关的综合问题

已知函数f(x)＝loga(3－ax)．

(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

【解】　(1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，

则t(x)＝3－ax为减函数，

x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，

当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，

即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．

所以3－2a>0.所以a<.

又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪.

(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，

所以函数t(x)为减函数．

因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，

所以y＝logat为增函数，

所以a>1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，

所以即

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.

解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

1．(2019·高考天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<c<b  B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

解析：选A.a＝log52<log5＝，而c＝0.50.2>0.51＝，故a<c；b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，而c＝0.50.2<0.50＝1，故c<b.所以a<c<b.

2．若定义在区间(－1，0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．(0，＋∞)

解析：选A.因为－1<x<0，所以0<x＋1<1.又因为f(x)>0，所以0<2a<1，所以0<a<.

3．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．

解析：要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上递增，

则y＝ax2－x在[3，4]上递增，

且y＝ax2－x>0恒成立，

即解得a>.

答案：

　数形结合法在对数函数问题中的应用

设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)

A．x1x2<0　　　　　　 B．x1x2＝0

C．x1x2>1  D．0<x1x2<1

【解析】　作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．

显然x1<0，x2<0.

不妨令x1<x2，

则x1<－1<x2<0，

所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，

此时10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，

由此得lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1，故选D.

【答案】　D

一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．　

　设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．

解析：

由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以ab＝1，0<c<lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1)．

答案：(0，1)

[基础题组练]

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．[1，2]　　　　　　　 B．[1，2)

C.  D．

解析：选C.由

即解得x≥.

2．(2020·吕梁模拟)已知a＝log35，b＝1.51.5，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c<a<b  B．c<b<a

C．a<c<b  D．a<b<c

解析：选A.1<a＝log35＝log325<log327＝1.5，b＝1.51.5>1.5，c＝ln 2<1，所以c<a<b，故选A.

3．如果logx<logy<0，那么(　　)

A．y<x<1　　　　　　 B．x<y<1

C．1<x<y  D．1<y<x

解析：选D.由logx<logy<0，得logx<logy<log1，所以x>y>1.

4．函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>0，且a≠1)的大致图象是(　　)

解析：选C.函数f(x)＝|loga(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的x，均有f(x)≥0，结合对数函数的图象可知选C.

5．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是　(　　)

A．0<a<1  B．0<a<2，a≠1

C．1<a<2  D．a≥2

解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.

当0<a<1时，y有最小值，

则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.

6．已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f＝________．

解析：由f(2)＝8＋alog32＝6，解得a＝－，所以f＝＋alog3＝－alog32＝＋×log32＝.

答案：

7．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是________．

解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.

又A>0，故A＝＝7.

答案：7

8．已知函数f(x)＝|log3 x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________．

解析：因为f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，所以－log3m＝log3n，所以mn＝1.因为f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2，1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，所以－log3m2＝2或log3n＝2.若－log3m2＝2，得m＝，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意．那么＝3÷＝9.同理．若log3n＝2，得n＝9，则m＝，此时－log3m2＝4>2，不满足题意．综上可得＝9.

答案：9

9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，且a≠1)，所以a＝2.

由得－1<x<3，

所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

10．已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)．

(1)求a的值；

(2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域；

(3)在(2)的条件下，求g(x)的减区间．

解：(1)函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)，　

可得loga4＝2，解得a＝2.

(2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝log2(1－x2)，

由1－x＞0且1＋x＞0，解得－1＜x＜1，

可得g(x)的定义域为(－1，1)．

(3)g(x)＝log2(1－x2)，

由t＝1－x2在(－1，0)上是增加的，(0，1)上是减少的，

且y＝log2t在(0，＋∞)上是增加的，

可得函数g(x)的减区间为(0，1)．

 [综合题组练]

1．若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则(　　)

A．2x＜3y＜5z    B．5z＜3y＜2x

C．3y＜2x＜5z    D．5z＜2x＜3y

解析：选B.设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t＜－1, x＝2t, y＝3t, z＝5t, 因此2x＝2t＋1，3y＝3t＋1，5z＝5t＋1. 又t＜－1，所以t＋1＜0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z＜3y＜2x.

2．(2020·黄石模拟)已知x1＝log2，x2＝2－，x3满足＝log3x3，则(　　)

A．x1<x2<x3  B．x1<x3<x2

C．x2<x1<x3  D．x3<x1<x2

解析：选A.由题意可知x3是函数y1＝与y2＝log3x的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y1＝与y2＝log3 x的图象，如图所示，由图象可知x3>1，而x1＝log2<0，0<x2＝2－<1，所以x3>x2>x1.故选A.

3．已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是减少的，则a的取值范围为________．

解析：令g(x)＝x2－ax＋3a，

因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞) 是减少的，

所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内是增加的，且恒大于0，

所以a≤2且g(2)＞0，

所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4.

答案：(－4，4]

4．设函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0，1]，若n－m的最小值为，则实数a的值为________．

解析：

作出y＝|logax|(0＜a＜1)的大致图象如图所示，令|logax|＝1.

得x＝a或x＝，又1－a－＝1－a－＝＜0，故1－a＜－1，所以n－m的最小值为1－a＝，a＝.

答案：

5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．

因为函数f(x)是偶函数，

所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－<x<，

即不等式的解集为(－，)．