2021版高考理科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第二章　第8讲　函数与方程

第8讲　函数与方程

一、知识梳理

1．函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

2．函数零点的判定

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

常用结论

有关函数零点的三个结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

二、教材衍化

1．已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：

则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)

A．2个　　　　　　　　 B．3个

C．4个  D．5个

解析：选B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1，6]上至少有3个零点．故选B.

2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)

A．(1，2)  B．(2，3)

C.和(3，4)  D．(4，＋∞)

解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.

3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是______．

解析：由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．

答案：1

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　　)

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)

(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)

(5)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√

二、易错纠偏

(1)错用零点存在性定理；

(2)误解函数零点的定义；

(3)忽略限制条件；

(4)错用二次函数在R上无零点的条件．

1．函数f(x)＝x＋的零点个数是______．

解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点．

答案：0

2．函数f(x)＝x2－3x的零点是______．

解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0，

即x＝0和x＝3.

答案：0和3

3．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是______．

解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1.

答案：(－8，1]

4．若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是______．

解析：由题意得Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4.

答案：(0，4)

　　　　　　函数零点所在区间的判断(自主练透)

1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)

A．(0，1)　　　　　　　　 B．(1，2)

C．(2，3)  D．(3，4)

解析：选B.因为f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，所以f(1)·f(2)＜0，

因为函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)．

2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内  B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内  D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

解析：选A.因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，

f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，

由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.

3．设函数y1＝x3与y2＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是______．

解析：令f(x)＝x3－，

则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，

有f(1)<0，f(2)>0，

所以x0所在的区间是(1，2)．

答案：(1，2)

确定函数零点所在区间的方法

(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．

(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．

(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．　

　　　　　　函数零点的个数(师生共研)

(1)函数f(x)＝的零点个数是______．

(2)函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为______．

【解析】　(1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.

(2)f(x)＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，x>－1，函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin 2x(x>－1)与 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．

【答案】　(1)2　(2)2

判断函数零点个数的方法

(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．　

1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．

当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0.

则ex＝－x＋3.

分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．

又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．

综上所述，f(x)的零点个数为3.

2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为______．

解析：由f(x)＝0，得|log0.5x|＝，作出函数y1＝|log0.5x|和y2＝的图象，

由右图知两函数图象有2个交点，

故函数f(x)有2个零点．

答案：2

　　　　　　函数零点的应用(多维探究)

角度一　根据函数零点个数求参数

(2020·安徽合肥二模)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)  B．

C．(1，＋∞)∪{0}  D．(0，1]

【解析】　令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2 )，由f′(x)<0得ex(x＋2)<0，即x<－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)>0得ex(x＋2)>0，即－2<x<0，此时f(x)为增函数，即当x＝－2时，f(x)取得极小值f(－2)＝－，作出f(x)的图象如图，要使f(x)＝b有三个根，则0<b≤1，故选D.

【答案】　D角度二　根据函数有无零点求参数

(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(2，＋∞)  B．[2，＋∞)

C.  D．

(2)已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　)

A．[0，1)  B．(－∞，1)

C．(－∞，1]∪(2，＋∞)  D．(－∞，0]∪(1，＋∞)

【解析】　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.

(2)函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝的大致图象(图略)．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．

【答案】　(1)D　(2)D

角度三　根据函数零点的范围求参数

若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是______．

【解析】　依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足

即

解得<m<.

【答案】　

根据函数零点的情况求参数的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．　

1．方程log(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为______．

解析：若方程log(a－2x)＝2＋x有解，则＝a－2x有解，即＋2x＝a有解，因为＋2x≥1，故a的最小值为1.

答案：1

2．已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是______．

解析：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.

答案：a≥－1

[基础题组练]

1．(2020·河南商丘九校联考)函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.

2．函数y＝x－4·的零点所在的区间是(　　)

A．(0，1)  B．(1，2)

C．(2，3)  D．(3，4)

解析：选B.因为y＝f(x)＝x－4＝x－是R上连续递增的函数，且f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，所以f(1)·f(2)<0，故函数y＝x－4·的零点所在的区间为(1，2)．故选B.

3．(2020·福建晋江四校联考)设函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)

A．(0，1)  B．(1，2)

C．(2，3)  D．(3，4)

解析：选C.令m(x)＝log3x＋x－3，则函数m(x)＝log3x＋x－3的零点所在的区间即为函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点的横坐标所在的区间．因为m(x)＝log3x＋x－3递增且连续，且满足m(2)m(3)<0，所以m(x)＝log3x＋x－3的零点在(2，3)内，从而可知方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是(2，3)，即函数y＝log3x与y＝3－x的图象交点的横坐标x0所在的区间是(2，3)．故选C.

4．(2020·河南焦作统考)已知函数f(x)＝则函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C.由题知函数f(x)＝在(－6，＋∞)上有零点，则或解得x＝2或x＝4或x＝e－6，即函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为3.故选C.

5．(2020·河北张家口模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝f(x)－mx恰有三个零点，则实数m的取值范围是(　　)

A.  B．

C．(0，1)  D．

解析：选A.g(x)有三个零点，即y＝f(x)与y＝mx的图象有三个交点，作出y＝f(x)和y＝mx的图象如图．当y＝mx与y＝f(x)相切时，设切点坐标为(x0，ln x0)，则解得m＝.则当0<m<时，直线y＝mx与曲线y＝f(x)有三个交点，即函数g(x)有三个零点．故选A.

6．已知函数f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m的零点在(0，1]上，则实数m的取值范围为______．

解析：由题意知函数f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m在定义域上递增，又由函数f(x)在(0，1]上存在零点，得即解得－4≤m<0，即实数m的取值范围为[－4，0)．

答案：[－4，0)

7．已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________．

解析：如图，作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3.

答案：3

8．函数f(x)＝＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．

解析：可转化为两个函数y＝与y＝－2cos πx在[－4，6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.

答案：10

9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．

解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，0<x≤2时，方程可变形为1－m＝x＋，又因为y＝x＋在(0，1]上是减少的，在[1，2]上是增加的，所以y＝x＋在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，所以1－m≥2，所以m≤－1，故m的取值范围是(－∞，－1]．

10．设函数f(x)＝(x>0)．

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解：(1)如图所示．

(2)因为f(x)＝

＝

故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，

由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，

且－1＝1－，所以＋＝2.

(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．

[综合题组练]

1．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B.f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故选B.

2．(2020·湖南娄底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于(　　)

A．1  B．－1

C．e  D．

解析：选A.考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.故选A.

3．(2020·湘赣十四校联考)已知函数f(x)＝，有且只有1个零点，则实数a的取值范围是______．

解析：当a>0时，函数y＝ax－3(x>0)必有一个零点，又因为－<0，故a＋2＋a>0，解得a>1；当a＝0时，f(x)＝恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则f(x)＝ax－3<0，若x≤0，则f(x)＝ax2＋2x＋a，此时，f(x)恒小于0，所以当a<0时，f(x)无零点，故答案为a＝0或a>1.

答案：a＝0或a>1

4．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．

解析：

在同一平面直角坐标系内画出函数y＝f(x)和y＝a|x|的图象可知，若满足条件，则a＞0.

当a≥2时，在y轴右侧，两函数图象只有一个公共点，

此时在y轴左侧，射线y＝－ax(x≤0)与抛物线y＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)需相切．

由消去y，

得x2＋(5－a)x＋4＝0.

由Δ＝(5－a)2－16＝0，解得a＝1或a＝9.

a＝1与a≥2矛盾，a＝9时，切点的横坐标为2，不符合题意．

当0＜a＜2，此时，在y轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－a＜－1，即a＞1.故1＜a＜2.

答案：(1，2)

5．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)利用解析式直接求解得

g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.

6．设函数f(x)＝，x∈R且x≠1.

(1)求f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)的值；

(2)就m的取值情况，讨论关于x的方程f(x)＋x＝m在x∈[2，3]上解的个数．

解：(1)根据题意，函数f(x)＝，则f＝＝＝－，

则f(x)＋f＝0，

则f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝f＋f(10)＋f＋f(8)＋f＋f(6)＋f＋f(4)＝0.

(2)根据题意，设g(x)＝f(x)＋x＝＋x＝(x－1)＋＋2，

令t＝x－1，又由x∈[2，3]，则t∈[1，2]，

则设h(t)＝t＋＋2，有h′(t)＝1－＝，

分析可得，在区间[1，)上，h(t)递减，在区间[，2]上，h(t)递增；

则h(t)在[1，2]有最小值h()＝2＋2，

且h(1)＝h(2)＝5，

则函数h(t)在区间[1，2]上有最大值5，最小值2＋2，

方程f(x)＋x＝m的解的个数即为函数g(x)与直线y＝m的交点个数，

分析可得，当m＜2＋2时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；

当m＝2＋2时，函数g(x)与直线y＝m有1个交点，方程f(x)＋x＝m有1个解；

当2＋2＜m≤5时，函数g(x)与直线y＝m有2个交点，方程f(x)＋x＝m有2个解；

当m＞5时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；

综上可得，当m＜2＋2或m＞5时，方程f(x)＋x＝m无解；

当m＝2＋2时，方程f(x)＋x＝m有1个解；

当2＋2＜m≤5时方程f(x)＋x＝m有2个解．