2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第二章　第8讲　函数与方程

第8讲　函数与方程

一、知识梳理

1．函数的零点

[注意]　函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

常用结论

有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

二、习题改编

1．(必修1P92A组T5改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)

A．(1，2)　　　　　　　 B．(2，3)

C.和(3，4)  D．(4，＋∞)

答案：B

2．(必修1P88例1改编)f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

答案：B

3．(必修1P92A组T4改编)函数f(x)＝x－的零点个数为        ．

答案：1

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)

(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、易错纠偏

(1)忽略限制条件致误；

(2)错用零点存在性定理致误．

1．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)的零点个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选B.由x－2>0，得x>2，所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，所以当f(x)＝0，即(x－1)ln(x－2)＝0时，解得x＝1(舍去)或x＝3.

2．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是        ．

解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.

答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)

　　　　　　函数零点所在区间的判断(师生共研)

(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)

A．(0，1)　　　　　　　  B．(1，2)

C．(2，3)  D．(3，4)

【解析】　法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．

法二

(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.

【答案】　B

判断函数零点所在区间的方法

　设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)

A．[0，1]  B．[1，2]

C．[－2，－1]  D．[－1，0]

解析：选D.因为f(x)＝3x－x2，所以f(－1)＝3－1－1＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.

　　　　　　函数零点个数的判断(师生共研)

(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．3  B．2

C．1  D．0

【解析】　法一(方程法)：由f(x)＝0，

得或

解得x＝－2或x＝e.

因此函数f(x)共有2个零点．

法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，

由图象知函数f(x)共有2个零点．

【答案】　B

判断函数零点个数的3种方法

(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．

(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

　已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选C.当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.故选C.

　　　　　　函数零点的应用(师生共研)

设函数f(x)＝

(1)若a＝1，则f(x)的最小值为        ；

(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是        ．

【解析】　(1)若a＝1，则f(x)＝

作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.

(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.

综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．

【答案】　(1)－1　(2)∪[2，＋∞)

利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤

(1)常用方法

(2)一般步骤

1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，3)  B．(1，2)

C．(0，3)  D．(0，2)

解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，

所以即

解得0<a<3，故选C.

2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是        ．

解析：画出函数f(x)＝的图象，如图所示．

由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0<m<1，即m∈(0，1)．

答案：(0，1)

3．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是        ．

解析：因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．

方程a＝4x－2x可变形为a＝－，

因为x∈[－1，1]，所以2x∈，所以－∈.

所以实数a的取值范围是.

答案：

核心素养系列5　直观想象——用图形快速解决的常见几类题

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．

一、利用图形研究函数的性质

设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝，则下列命题：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3，4)时，f(x)＝.其中正确命题的序号是        ．

【解析】　由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；

当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝，函数y＝f(x)的部分图象如图所示：

由图象知②正确，③不正确；

当3<x<4时，－1<x－4<0，f(x)＝f(x－4)＝，因此④正确，故正确命题的序号为①②④.

【答案】　①②④

作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．

二、利用图形解不等式

使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是        ．

【解析】　在同一直角坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)．

【答案】　(－1，0)

f(x)，g(x)之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．

三、利用图形求解不等式中的参数范围

若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是        ．

【解析】　作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.

【答案】　

对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．

四、利用图形研究零点问题

已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)

A．a<b<c　　　　　　　 B．c<b<a

C．c<a<b  D．b<a<c

【解析】　在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a<b<c，故选A.

【答案】　A

零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．

1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)

A．0　　　　　　　　　　  B．1

C．2  D．3

解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．

由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.

2．已知函数f(x)＝若f(a2)<f(2－a)，则实数a的取值范围是        ．

解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，

所以a2<2－a，解得－2<a<1，故实数a的取值范围是(－2，1)．

答案：(－2，1)

[基础题组练]

1．(2020·福州期末)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：选C.令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.

2．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是(　　)

A．y＝logx  B．y＝2x－1

C．y＝x2－  D．y＝－x3

解析：选B.函数y＝logx在定义域上单调递减，y＝x2－在(－1，1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1，1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.

3．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)方程log4x＋x＝7的解所在区间是(　　)

A．(1，2)  B．(3，4)

C．(5，6)  D．(6，7)

解析：选C.令函数f(x)＝log4x＋x－7，则函数f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，且是连续函数．

因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)·f(6)<0，所以函数f(x)＝log4x＋x－7的零点所在区间为(5，6)，所以方程log4x＋x＝7的解所在区间是(5，6)．故选C.

4．(2020·内蒙古月考)已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　　)

A．(－1，0)  B．{－1}∪(0，＋∞)

C．[－1，0)∪(0，＋∞)  D．(0，1)

解析：选B.在同一直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．故选B.

5．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)的零点叙述正确的是(　　)

A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点

B．函数f(x)必有一个零点是正数

C．当a<0时，函数f(x)有两个零点

D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点

解析：选B.f(x)＝0⇔ex＝a＋(x≠0)，在同一直角坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．

6．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为        ．

解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.

答案：－

7．(2020·新疆第一次适应性检测)设a∈Z，函数f(x)＝ex＋x－a，若x∈(－1，1)时，函数有零点，则a的取值个数为        ．

解析：根据函数解析式得到函数f(x)是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈(－1，1)时，函数有零点，需要满足⇒－1<a<e＋1，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，1，2，3.

答案：4

8．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是        ．

解析：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，所以x1x2－(x1＋x2)＋1<0，

由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，

即a2＋a－2<0，所以－2<a<1.

故实数a的取值范围为(－2，1)．

法二：函数f(x)的图象大致如图，

则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋a－2<0，所以－2<a<1.

故实数a的取值范围是(－2，1)．

答案：(－2，1)

9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．

(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；

(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.

所以函数f(x)的零点为3或－1.

(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同的实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0，1)．

10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．

解：(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.

(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⇒解得1<m<.所以m的取值范围为.

[综合题组练]

1．(一题多解)函数f(x)＝2x－零点的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选B.法一：当x<0时，f(x)＝2x－>0恒成立，无零点；又易知f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增，最多有一个零点．又f＝－2<0，f(1)＝2－1>0，所以有一个零点．故选B.

法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝2x和y＝的图象，如图所示．

函数f(x)＝2x－的零点等价于2x＝的根等价于函数y＝2x和y＝的交点．

由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.

2．已知命题p：“m＝2”是“幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm在区间(0，＋∞)上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1(a，b∈N*)，则a＋b＝5.则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q  B．(﹁p)∧q

C．﹁q  D．p∧(﹁q)

解析：选A.对于命题p，若幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm在区间(0，＋∞)上为增函数，则解得m＝2，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋1>0，所以零点x0∈[a，b]，且b－a＝1(a，b∈N*)，则a＝2，b＝3，a＋b＝5，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q是真命题，(﹁p)∧q，﹁q，p∧(﹁q)都是假命题．故选A.

3．设函数f(x)＝(x>0)．

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解：(1)如图所示．

(2)因为f(x)＝

＝

故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，

由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，

且－1＝1－，所以＋＝2.

(3)由(1)中函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是(0，1)．

4．(创新型)已知函数f(x)＝－x2－2x，

g(x)＝

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，

则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.