2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第12章第1节绝对值不等式

第一节　坐标系

[最新考纲]　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.

②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.

③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

4．常见曲线的极坐标方程

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)

(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)

(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　)

(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

二、教材改编

1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　)

A．　　　　　　 B．

C．(1,0) D．(1，π)

B　[法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.

法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.]

2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)

A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤

C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，∴ρ＝.]

3．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为________．

y′＝3sin 2x′　[由知

代入y＝sin x中得y′＝3sin 2x′.]

4．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．

　[因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.]

考点1　平面直角坐标系中的伸缩变换

　伸缩变换后方程的求法

平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．

　1.求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．

[解]　由得到　　　①

将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，

即x′2＋y′2＝1.

因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.

2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：求a，b的值．

[解]　由得代入x2＋y2＝1中得＋＝1，

所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2.

　解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．

考点2　极坐标系与直角坐标系的互化

　1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法

(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．

(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．

2．极角的确定方法

由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定．当x＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝；当x＝0，y＜0时，可取θ＝.

　(1)(2019·广州模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ

＋sin θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ<2π)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．

②求圆O和直线l的直角坐标方程；

③当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．

(2)(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.

①分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

②曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．

[解]　(1)①由圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ.

∵∴ρ2＝x2＋y2，

代入ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得x2＋y2＝x＋y，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.

由直线l：ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝1.

∵∴y－x＝1.

故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.

②由①知圆O与直线l的直角坐标方程，

由解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，

又∵θ∈(0，π)，∴点(0,1)的极坐标为.

(2)①由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.

②设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：

若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；

若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；

若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.

综上，P的极坐标为或或或.

　(1)极坐标与直角坐标的互化依据是x＝ρcos θ，y＝ρsin θ；(2)互化时要注意前后的等价性．

[教师备选例题]

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．

(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

[解]　(1)由ρcos＝1得

ρ＝1.

从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y－2＝0.

当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．

当θ＝时，ρ＝，所以N.

(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.

所以P点的直角坐标为，

则P点的极坐标为.

所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

　已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2

ρcos＝2.

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

[解]　(1)由ρ＝2知ρ2＝4，

所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.

因为ρ2－2ρcos＝2，

所以ρ2－2ρ＝2，

即ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝2.

所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减，

得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.

化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，

即ρsin＝.

考点3　极坐标方程的应用

　利用极坐标系解决问题的技巧

(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．

(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小．

(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可．

　(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

[解]　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．

由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．

因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

　求线段的长度有两种方法．方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．方法二，直接在极坐标系下求解，设A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|＝；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．

[教师备选例题]

(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

[解]　(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，

由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，

从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.

当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．

所以a＝1.

　1.在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

[解]　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得

ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.

故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.

2．(2019·长春模拟)在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.

(1)求曲线C2的极坐标方程；

(2)求曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值．

[解]　(1)设P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，

由|OP|·|OM|＝4，

得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝.

因为M是C1上任意一点，所以ρ2sin θ＝2，

即sin θ＝2，ρ1＝2sin θ.

所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(2)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，即x2＋y2－2y＝0，

化为标准方程为x2＋(y－1)2＝1，

则曲线C2的圆心坐标为(0,1)，半径为1，

由直线ρcos＝，

得ρcos θcos －ρsin θsin ＝，

即x－y＝2，

圆心(0,1)到直线x－y＝2的距离为

d＝＝，

所以曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值为1＋.