2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第11章经典微课堂规范答题系列4高考中的概率与统计问题
展开[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常常与统计相结合，常常设计成包含概率计算、概率分布表、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识为主的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力．
[典例示范] (本题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列①；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝
api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(i)证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列②；
(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
[信息提取] (1)看到①，想到概率模型及概率的求法；(2)看到②，想到递推关系的变形；看到求特定项，想到求通项公式．
[规范解答] (1)X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)， 3分
所以X的分布列为
X | －1 | 0 | 1 |
P | (1－α)β | αβ＋(1－α)(1－β) | α(1－β) |
4分
(2)①由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1＝0.4，
即pi＋1－pi＝4. 6分
又因为p1－p0＝p1≠0，
所以(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列.7分
②由①可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝＋＋…＋＝p1.
由于p8＝1，故p1＝， 9分
所以p4＝＋＋＋＝p1＝.
10分
p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. 12分
[易错防范]
易错点 | 防范措施 |
忽视X的实际含义导致取值错误，进而导致概率计算错误 | 细心审题，把握题干中的重要字眼，关键处加标记，同时理解X取每个值的含义 |
对(2)的条件“pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1”不理解，求不出a，b，c | 结合(1)中的分布列及题设条件，推理求解便可 |
不会证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列. | 采用累加递推法求解. |
[通性通法] 随机变量分布列类问题的求解步骤：
(1)定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值．
(2)定性：明确每个随机变量取值所对应的事件．
(3)定型：确定事件的概率模型和计算公式．
(4)计算：计算随机变量取每一个值的概率．
(5)列表：列出分布列．
(6)求解：根据公式求期望．
[规范特训] 某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20 ℃，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温(℃) | [10，15) | [15， 20) | [20， 25) | [25， 30) | [30， 35) | [35， 40] |
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时，Y的均值取得最大值？
[解] (1)由已知得，X的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20 ℃为事件A1，最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)为事件A2，最高气温不低于25 ℃为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知P(X＝200)＝P(A1)＝＝，P(X＝400)＝P(A2)＝＝，P(X＝600)＝P(A3)＝＝，
故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为
X | 200 | 400 | 600 |
P |
(2)由题意得，
当n≤200时，EY＝2n≤400；
当200<n≤400时，EY＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×n×2＝n＋160∈(400,640]；
当400<n≤600时，
EY＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×n×2＝－n＋800∈[560,640)；
当n>600时，
EY＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×[600×2＋(n－600)×(－2)]＝1 760－2n<560，
所以当n＝400时，
Y的均值取得最大值640.
