2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第8章第3节　平行关系

第三节　平行关系

[最新考纲]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．

(对应学生用书第128页)

1．线面平行的判定定理和性质定理

2.面面平行的判定定理和性质定理

线、面平行的性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．

(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．

(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(8)垂直于同一平面的两条直线平行．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．   (　　)

(2)平行于同一条直线的两个平面平行． (　　)

(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．   (　　)

(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．

  (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．下列命题中，正确的是(　　)

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥α

D　[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．

平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，

又EF平面ACE，

BD1平面ACE，

∴BD1∥平面ACE.]

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.

　[根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．

因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝.]

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列结论正确的是________(填序号)．

①AD1∥BC1；

②平面AB1D1∥平面BDC1；

③AD1∥DC1；

④AD1∥平面BDC1.

①②④　[如图，因为ABC1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形．故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，

又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，

故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；

由图易知AD1与DC1异面，故③错误；

因为AD1∥BC1，AD1平面BDC1，BC1平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．]

(对应学生用书第129页)

⊙考点1　直线与平面平行的判定与性质

　判定线面平行的四种方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点)；

(2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α)；

(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)；

(4)利用面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a∥α⇒a∥β)．

　直线与平面平行的判定

　如图，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：GH∥平面PAD.

[证明](1)连接EC，

因为AD∥BC，BC＝AD，E为AD中点，

所以BCAE，

所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．

又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，

因为FO平面BEF，AP平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，

所以FH∥PD，因为FH平面PAD，PD平面PAD，所以FH∥平面PAD.

又因为O是BE的中点，H是CD的中点，

所以OH∥AD，因为OH平面PAD，AD平面PAD.所以OH∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.

又因为GH平面OHF，所以GH∥平面PAD.

　证明两直线平行的方法：中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式等．若线面平行不易证明，可先证面面平行，再证线面平行．

　线面平行性质定理的应用

　如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.

证明：FG∥平面AA1B1B.

[证明]　在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1平面BB1D，CC1平面BB1D，

所以CC1∥平面BB1D.

又CC1平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.

因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.

而BB1平面AA1B1B，FG平面AA1B1B，

所以FG∥平面AA1B1B.

　通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．

　1.(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)

A　[B选项中，AB∥MQ，且AB平面MNQ，MQ平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB平面MNQ，MQ平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB平面MNQ，NQ平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A.]

2．(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.

[证明]　连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.

由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.

⊙考点2　平面与平面平行的判定与性质

　判定平面与平面平行的四种方法

(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；

(2)面面平行的判定定理(主要方法)；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；

(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．

注意：谨记空间平行关系之间的转化

　已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分别为DB，DC的中点．

(1)求证：平面EMN∥平面ABC；

(2)求三棱锥A­ECB的体积．

[解](1)证明：取BC中点H，连接AH，

∵△ABC为等腰三角形，

∴AH⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，

∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，

∴EN∥AH，

∵EN平面ABC，AH平面ABC，

∴EN∥平面ABC，

又M，N分别为BD，DC中点，

∴MN∥BC，

∵MN平面ABC，BC平面ABC，

∴MN∥平面ABC，

又MN∩EN＝N，

∴平面EMN∥平面ABC.

(2)连接DH，取CH中点G，连接NG，

则NG∥DH，由(1)知EN∥平面ABC，

所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，

∴DH⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH平面BCD，

∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，∴DH＝，

又N为CD中点，∴NG＝，

又AC＝AB＝3，BC＝2，

∴S△ABC＝·|BC|·|AH|＝2，

∴VE­ABC＝VN­ABC＝·S△ABC·|NG|＝.

　解答本例第(1)问时用到了面面垂直的性质及垂直于同一平面的两条直线平行这个结论．

　1.(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

B　[对于A，当无数条直线都平行时，推不出α∥β，排除A.

对于C，D，α与β可能平行也可能相交，排除C、D，故选B.]

2.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB，G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.

[证明]　取FC的中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC.又EF∥DB，

所以GI∥BD，

又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，

所以平面GHI∥平面ABC.

因为GH平面GHI，

所以GH∥平面ABC.