2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第8章第5节　空间几何体的表面积与体积

第五节　空间几何体的表面积与体积

[最新考纲]　了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．

(对应学生用书第135页)

1．多面体的表(侧)面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

1．正四面体的表面积与体积

棱长为a的正四面体，其表面积为a2，体积为a3.

2．几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝a，外接球半径R外＝a.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)锥体的体积等于底面面积与高之积． (　　)

(2)球的体积之比等于半径比的平方． (　　)

(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差． (　　)

(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a. (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、教材改编

1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　)

A.π　　　B.π　　　C．16π　　　D．24π

B　[设球的半径为R，由题意得4πR2＝16π，

解得R＝2，所以这个球的体积为V＝πR3＝π，故选B.]

2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)

A．1 cm B．2 cm

C．3 cm D. cm

B　[设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

由题意知，2πr＝πl，得l＝2r.

则S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π.

解得r＝2(cm)，故选B.]

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．6 B．3 

C．2 D．3

B　[由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为左视图，该左视图是底边为2，高为的三角形，主视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S·h＝×3＝3.]

4．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．

1∶47　[设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.]

(对应学生用书第136页)

⊙考点1　空间几何体的表面积

　求解几何体表面积的类型及求法

(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　　)

A．48＋π　　　 B．48－π

C．48＋2π D．48－2π

(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)

A．12π B．12π

C．8π D．10π

(1)A　(2)B　[(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.

(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.]

　解答本题T(1)时易误认为几何体的上底面不存在，导致计算错误．

　1.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)

A．1＋ B．1＋2

C．2＋ D．2

C　[由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体，其中AB＝AD＝CB＝CD＝，BD＝2，且平面ABD⊥平面CBD.所以△ABD与△CBD都是等腰直角三角形，而△ABC与△CAD都是边长是的等边三角形．所以表面积是×××2＋×()2×2＝2＋，故选C.]

2．(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)

A．18＋36 B．54＋18

C．90 D．81

B　[由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故选B.]

⊙考点2　空间几何体的体积

　求体积的常用方法

　直接法求体积

(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)

A.＋1　　B.＋3　　C.＋1　　D.＋3

(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为________．

(1)A　(2)　[(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥S ­ABC组成的，

如图，三棱锥的高为3，底面△ABC中，AB＝2，OC＝1，AB⊥OC.故其体积V＝××π×12×3＋××2×1×3＝＋1.故选A.

(2)四棱锥A1­BB1D1D的底面BB1D1D为矩形，其面积S＝1×＝，又四棱锥的高为点A1到平面BB1D1D的距离，即h＝A1C1＝，所以四棱锥的体积V＝××＝.]

　直接法求体积关键是求几何体的底面面积和高这两个量．

　割补法求体积

(1)[一题多解](2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)

A．90π B．63π

C．42π D．36π

(2)[一题多解]如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)

A. B.

C. D.

(1)B　(2)A　[(1)法一：(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．

将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.

故选B.

法二：(估值法)由题意，知V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．

故选B.

(2)法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，

因为三棱锥高为，直三棱柱高为1，AG＝＝，

取AD的中点M，则MG＝，

所以S△AGD＝×1×＝，

所以V＝×1＋2×××＝.

法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥P­AED和三棱锥P­BCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥P­ABCD为棱长为1的正四棱锥．所以V＝×12×＋2×××＝.]

　解答本例T(1)中，也可将两个相同的几何体对接为圆柱，圆柱体积的一半即为所求．

　等体积法求体积

　(2019·武汉模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A­BC1M的体积VA­BC1M＝(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

C　[VA­BC1M＝VC1­ABM＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝，故选C.]

　使用等体积法求体积时，一般是把三棱锥的底面转化到已知几何体的某一个面上．

　1.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.

118.8　[由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，

对角线长分别为6 cm和4 cm，

故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．

又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，

所以模型的体积为

V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．]

2．某几何体的三视图如图所示，若其主视图为等腰梯形，左视图为正三角形，则该几何体的体积为________．

　[根据几何体的三视图，知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥，如图所示：

底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，EF平行于底面，且EF＝1.过点E作EM⊥AB，垂足为点M，过点E作EN⊥DC，垂足为点N，连接MN.

同理作FM1，FN1，M1N1.

则AM＝，EM＝1，V＝2VE­AMND＋VEMN­FM1N1＝2×××＋×1××1＝.]

⊙考点3　球与空间几何体的切、接问题

　空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．

　外接球

(1)(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(　　)

A．12　　　 B．18

C．24 D．54

(2)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)

A. B．2

C. D．3

(1)B　(2)C　[(1)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝AB2＝9，所以AB＝6，BM＝BE＝＝2.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥D­ABC的体积取得最大值，且最大值Vmax＝S△ABC×(4＋OM)＝×9×6＝18.故选B.

(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，

则垂足为BC的中点M.因为AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.

又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，

所以球O的半径R＝OA＝＝，故选C.]

　本例T(2)中直三棱柱有三条棱两两垂直，因此直三棱柱可补形为长方体，从而其外接球的直径为长方体的体对角线长．

　内切球

(1)(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

(2)已知正三棱锥S­ABC的底面是面积为的正三角形，高为2，则其内切球的表面积为________．

(1)　(2)　[(1)设球O的半径为R，

∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，

∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.

∴＝＝.

(2)过顶点S作SO⊥平面ABC，则SO＝2.

设正三棱锥S­ABC的底面边长为a，则底面积为a2＝，即a＝2.

连接AO并延长，交BC于D，连接SD，则SD为斜高，

∴SD＝＝.

设正三棱锥S­ABC的内切球的半径为r，

则××2＝r，

解得r＝.

∴内切球的表面积S＝4πr2＝.]

　三棱锥内切球球心位置不易确定，一般用等体积法求解，如本例T(2)．求圆锥内切球的半径，可先作出轴截面利用等面积法求解．

　1.一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为，则圆锥的内切球的表面积为(　　)

A．8π B．4(2－)2π

C．4(2＋)2π D.π

B　[作出圆锥截面图如图，

∵母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为，∴圆锥底面半径与高均为.

设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得×2×＝×(2＋2＋2)r，∴r＝2－.

∴该圆锥内切球的表面积为4π×(2－)2＝4(2－)2π，故选B.]

2．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，  AD＝2，ED＝1,  若鳖臑P­ADE的外接球的体积为，则阳马P­ABCD的外接球的表面积等于(　　)

A．15π　　　B．16π  C．17π　　　D．18π

C　[由题意，在三棱锥P­ADE(鳖臑)中，ED⊥DA，PA⊥平面ABCE，所以其外接球的直径2r＝PE.设PA＝h，则2r＝＝＝，所以其外接球的体积V＝＝＝，解得h＝3.设四棱锥P­ABCD(阳马)的外接球半径为R，则2R＝PC＝＝＝，所以该球的表面积S＝4πR2＝17π.故选C.]

(对应学生用书第139页)

球与简单几何体的切、接问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键．

常用结论

(1)简单多面体外接球的球心的结论．

结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点．

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

(2)构造正方体或长方体确定球心．

(3)利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

【例1】　(2019·武昌模拟)已知底面为正方形的四棱锥P­ABCD的所有顶点都在球O的球面上，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AB＝2，则球O的表面积为(　　)

A.　　　　　　 B.

C. D.

D　[令△PAD所在圆的圆心为O1，△PAD为正三角形，AD＝2，

则圆O1的半径r＝，∵平面PAD⊥底面ABCD，AB＝2，

∴OO1＝AB＝1，∴球O的半径R＝＝，

∴球O的表面积＝4πR2＝，故选D.]

[评析]　求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．

【素养提升练习】

1．(2019·广州模拟)三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为(　　)

A．23π B.π

C．64π D.π

D　[如图，设O′为正△PAC的中心，D为Rt△ABC斜边的中点，H为AC中点．由平面PAC⊥平面ABC.

则O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又O′P＝PH＝××2＝，

OO′＝DH＝AB＝2.

∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝.

故几何体外接球的表面积

S＝4πR2＝π.]

【例2】　(2019·开封模拟)在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝，AA1⊥平面ABC，则该三棱柱的外接球的体积为(　　)

A．40π B．40π 

C. D.

D　[由题意可知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，

AA1＝2，底面三角形ABC的外接圆半径为＝2，

连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，

外接球的半径为：＝.

∴三棱柱的外接球的体积为V＝π×()3＝，故选D.]

[评析]　由已知求出底面ABC的外接圆的半径，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出三棱柱的外接球的体积．

【素养提升练习】

2．已知正三棱柱A1B1C1­ABC的所有棱长都是6，则该棱柱外接球的表面积为(　　)

A．21π B．42π

C．84π D．84

C　[如图，M，N为上下底面正三角形的中心，

O为MN的中点，即外接球球心，

∵正三棱柱A1B1C1­ABC的所有棱长都是6，

AM＝＝2，OM＝3，

球半径R＝OA＝＝，该棱柱外接球的表面积为S＝4π×()2＝84π，故选C.]

常用结论

(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．

(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合．

(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合．

【例3】　体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________．

6　[设球的半径为R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2.设底面边长为a，则×a＝1，所以a＝2.所以V＝×(2)2×2＝6.]

[评析]　球与正三棱柱的两个底面相切，可求球的直径，球与正三棱柱的三个侧面相切，相当于正三棱柱的底面三角形有内切圆．

【素养提升练习】

3．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.

　[设正四面体的棱长为a，则S1＝a2.

正四面体的高h＝a，体积V＝××a＝a3.

设正四面体的内切球半径为r，

则×a2×r＝a3，

解得r＝a，则内切球表面积S2＝4πr2＝，

∴＝a2×＝.]