2021高考物理鲁科版一轮复习教师用书：第十四章第1节　机械振动

第十四章　振动和波

[全国卷考情分析]——供老师参考

第1节　机械振动

一、简谐运动

1.定义:像弹簧振子那样,如果物体所受回复力的大小与位移大小成正比,并且总是指向平衡位置,则物体的运动叫做简谐运动.

2.回复力

(1)定义:总是指向平衡位置的力.

(2)大小:与位移的大小成正比.

(3)来源:属于效果力,可以由某一个力提供,也可以由几个力的合力或某个力的分力提供.

3.平衡位置:物体在振动过程中回复力为零的位置.

4.描述简谐运动的物理量

二、简谐运动的公式和图象

1.表达式

(1)动力学表达式:F=-kx,其中“-”表示回复力与位移的方向相反.

(2)运动学表达式:x=Asin(ωt+0),其中A代表振幅,ω=2πf表示简谐运动振动的快慢,(ωt+0)代表简谐运动的相位,0叫做初相.

2.图象

(1)从平衡位置处开始计时,函数表达式为x=Asin ωt,图象如图(甲)所示.

(2)从最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acos ωt,图象如图(乙)所示.

三、简谐运动的两种模型

四、受迫振动和共振

1.受迫振动

在周期性外力作用下产生的振动,物体做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率),而与物体的固有周期(或频率)无关.

2.共振

由图知当f=f固时振幅最大.

3.受迫振动中系统能量的变化:受迫振动系统机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换.

1.思考判断

(1)简谐运动是匀变速运动.(　×　)

(2)简谐运动的回复力可以是恒力.(　×　)

(3)单摆运动到平衡位置时所受合力为0.(　×　)

(4)物体做受迫振动时,其振动频率与固有频率无关.(　√　)

(5)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹.(　×　)

(6)做简谐运动的质点先后通过同一点,回复力、速度、加速度、位移都是相同的.(　×　)

2.(多选)下列说法正确的是(　ABD　)

A.在同一地点,单摆做简谐振动的周期的二次方与其摆长成正比

B.弹簧振子做简谐振动时,振动系统的势能与动能之和保持不变

C.在同一地点,当摆长不变时,摆球质量越大,单摆做简谐振动的周期越小

D.系统做稳定的受迫振动时,系统振动的频率等于周期性驱动力的频率

解析:根据单摆周期公式T=2π可以知道,在同一地点,重力加速度g为定值,故周期的平方与其摆长成正比,故选项A正确;弹簧振子做简谐振动时,只有动能和势能参与转化,根据机械能守恒条件可以知道,振动系统的势能与动能之和保持不变,故选项B正确;根据单摆周期公式T=2π可以知道,单摆的周期与质量无关,故选项C错误;当系统做稳定的受迫振动时,系统振动的频率等于周期性驱动力的频率,故选项D正确.

3.

(多选)有一个在y方向上做简谐运动的物体,其振动图象如图所示.下列关于图(甲)、(乙)、(丙)、(丁)的判断正确的是(选项中v,F,a分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度)(　BC　)

A.(甲)可作为该物体的vt图象

B.(乙)可作为该物体的vt图象

C.(丙)可作为该物体的at图象

D.(丁)可作为该物体的at图象

解析:因为F=-kx,a=-,故图(丙)可作为at图象;而v随x增大而减小,故vt图象应为图(乙).选项B,C正确,A,D错误.

4.某振动系统的固有频率为f0,在周期性驱动力的作用下做受迫振动,驱动力的频率为f.若驱动力的振幅保持不变,则下列说法正确的是(　D　)

A.当f<f0时,该振动系统的振幅随f增大而减小

B.当f>f0时,该振动系统的振幅随f减小而减小

C.该振动系统的振动稳定后,振动的频率等于f0

D.该振动系统的振动稳定后,振动的频率等于f

解析:

受迫振动的振幅A随驱动力的频率变化的规律如图所示,当f<f0,且f增大时,受迫振动的振幅增大;当f>f0且f减小时,受迫振动的振幅增大,选项A,B错误;稳定时系统的频率等于驱动力的频率,即选项C错误,D正确.

考点一　简谐运动的规律

　简谐运动的规律——五个特征

(1)动力学特征:F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数.

(2)运动学特征:简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比,而方向总是指向平衡位置,为变加速运动,远离平衡位置时,x,F,a,Ep均增大,v,Ek均减小,靠近平衡位置时则相反.

(3)运动的周期性特征:相隔T或nT的两个时刻物体处于同一位置且振动状态相同.

(4)对称性特征

①相隔或(n为正整数)的两个时刻,物体位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反.

②如图所示,物体经过关于平衡位置O对称的两点P,P′(OP=OP′)时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等.

③物体由P到O所用时间等于由O到P′所用时间,即tPO=tOP′.

④物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO.

(5)能量特征:振动的能量包括动能Ek和势能Ep,简谐运动过程中,系统动能与势能相互转化,系统的机械能守恒.

[例1] (2018·福建厦门检测)在下图中,能正确表示质点做简谐运动时所受回复力跟位移关系的是(　B　)

解析:做简谐运动的物体的受力特征为F=-kx,故B正确.

[针对训练](2019·辽宁鞍山模拟)(多选)弹簧振子做简谐运动,O为平衡位置,当它经过点O时开始计时,经过0.3 s,第一次到达点M,再经过0.2 s第二次到达点M,则弹簧振子的周期不可能为(　BD　)

A.0.53 s B.1.4 s      C.1.6 s D.2 s

解析:如图(甲)所示,设O为平衡位置,OB(OC)代表振幅,振子从O→C所需时间为.因为简谐运动具有对称性,所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等,故=0.3 s+ s=0.4 s,解得T=1.6 s;如图(乙)所示,若振子一开始从平衡位置向点B运动,设点M′与点M关于点O对称,则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等,即0.2 s.振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等,为= s,故周期为T=0.5 s+ s≈0.53 s,所以周期不可能为选项B,D.

考点二　简谐运动的公式与图象

1.振动图象的物理意义

图象描述的是振子相对平衡位置的位移随时间变化的情况,不是物体的运动轨迹.

2.简谐运动的数学表达式

x=Asin(ωt+0)

3.根据简谐运动图象可获取的信息

(1)确定振动物体的振幅A和周期T.(如图所示)

(2)可以确定振动物体在任一时刻的位移.

(3)确定各时刻质点的振动方向.判断方法:振动方向可以根据下一时刻位移的变化来判定.下一时刻位移若增加,质点的振动方向是远离平衡位置;下一时刻位移若减小,质点的振动方向指向平衡位置.

(4)比较各时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向.

从图象读取x大小及方向F的大小及方向a的大小及方向

(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小.质点的位移越大,它所具有的势能越大,动能则越小.

[例2] (2019·广东深圳模拟)一个质点经过平衡位置O,在A,B间做简谐运动,如图(甲)所示,它的振动图象如图(乙)所示,设向右为正方向,下列说法正确的是(　C　)

A.OB=10 cm

B.第0.2 s末质点的速度是A→O

C.第0.4 s末质点的加速度方向是A→O

D.第0.7 s末时质点位置在O点与A点之间

解析:由图(乙)可知振幅为5 cm,则OB=OA=5 cm,A项错误;在0~0.2 s内质点位移由正向最大逐渐减小,可知质点从B向O运动,第0.2 s末质点的速度方向是O→A,B项错误;经过0.4 s质点运动到A点处,则此时质点的加速度方向是A→O,C项正确;经过0.7 s时质点位置在O与B之间,D项错误.

简谐运动图象能全面而详细地反映做简谐运动物体的运动情况,根据该图象不仅可直接读出运动的周期、振幅和各个时刻的位移,还能由此推断物体的速度、加速度、回复力的大小和方向以及动能、势能的变化情况等等.其中,抓住质点的位移及其变化情况,是分析其他各量变化情况的关键.

1.

(多选)用弹簧将一物块悬挂于天花板上,使物块在竖直方向做简谐振动,以竖直向上为正方向,其振动图象如图所示,则(　AD　)

A.该简谐振动的周期为2.0 s

B.t=1.0 s和t=2.0 s两个时刻物块速度相同

C.t=0.5 s和t=1.5 s两个时刻弹簧的弹性势能相等

D.t=0.5 s和t=1.5 s两个时刻物块的加速度均为最大值

解析:由图知简谐振动的周期为T=2.0 s,故A正确;由图可知t=1.0 s和t=2.0 s两个时刻物块都在平衡位置,则两个时刻的速度大小相等、方向相反,故B错误;在t=0.5 s质点位于正的最大位移处,t=1.5 s时质点位于负的最大位移处,由于物块在平衡位置时,弹簧处于拉长状态,则两个时刻弹簧的弹性势能不相等,且负位移处弹性热能大于正位移处弹性势能,故C错误;t=0.5 s质点位于正的最大位移处,t=1.5 s时质点位于负的最大位移处,两时刻质点的位移大小相等、方向相反,所以两个时刻物块的加速度大小相等,但方向相反,故D正确.

2.一位游客在千岛湖边欲乘坐游船,当日风浪较大,游船上下浮动.可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20 cm,周期为3.0 s.当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐.地面与甲板的高度差不超过10 cm时,游客能舒服地登船.在一个周期内,游客能舒服登船的时间是(　C　)

A.0.5 s   B.0.75 s

C.1.0 s   D.1.5 s

解析:设振动图象的表达式为y=20sin ωt,

由题意可知,在一个周期内,当y=10 cm时,有

ωt1=或ωt2=π,

其中ω==π rad/s,

解得t1=0.25 s或t2=1.25 s,

则游客舒服登船时间

Δt=t2-t1=1.0 s.

考点三　单摆及其周期公式

1.对单摆的理解

(1)回复力:摆球重力沿切线方向的分力,F回=-mgsin θ=-x=-kx,负号表示回复力F回与位移x的方向相反.

(2)向心力:细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力,F向=FT-mgcos θmax.

说明:

①当摆球在最高点时,F向==0,FT=mgcos θmax.

②当摆球在最低点时,F向=,F向最大,

FT=mg+m.

2.周期公式T=2π的两点说明

(1)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离.

(2)g为当地重力加速度.

[例3]

(2019·全国Ⅱ卷,34)如图,长为l的细绳下方悬挂一小球a.绳的另一端固定在天花板上O点处,在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉.将小球向右拉开,使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放,并从释放时开始计时.当小球a摆至最低位置时,细绳会受到铁钉的阻挡.设小球相对于其平衡位置的水平位移为x,向右为正.下列图象中,能描述小球在开始一个周期内的xt关系的是(　A　)

解析:由T=2π得摆长为l的单摆周期为T1=2π,摆长为l的单摆周期为T2=2π=π=T1,故B,D错误;摆长为l时,摆球离开平衡位置的最大位移为A1=2l·sin ,摆长为l时,摆球离开平衡位置的最大位移为A2=2l′·sin =2··sin =·sin ,小球先后摆起的最大高度相同,有A1sin =A2sin ,解得sin =2sin ,=2,故A正确,C错误.

[针对训练]

(多选)如图所示,用绝缘细线悬挂的单摆,摆球带正电,悬挂于O点,摆长为l,当它摆过竖直线OC时便进入或离开匀强磁场,磁场方向垂直于单摆摆动的平面向里,A,B点分别是最大位移处.下列说法中正确的是(　BC　)

A.A点高于B点

B.摆球在A点和B点处线上的拉力大小相等

C.单摆的振动周期仍为T=2π

D.单摆向右或向左摆过D点时,线上的拉力大小相等

解析:摆球运动过程中机械能守恒,所以A,B在同一高度,选项A错误;摆球在B点不受洛伦兹力,与摆球在A点时受拉力大小相等,选项B正确;摆球在磁场中运动时虽然受洛伦兹力,但洛伦兹力总与速度方向垂直,不能提供回复力,所以不改变振动的周期,选项C正确;单摆向右或向左摆过D点时,速度大小相等,但洛伦兹力的方向相反,所以线上的拉力不相等,选项D错误.

考点四　受迫振动和共振

1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较

2.对共振的理解

(1)共振曲线

如图所示,横坐标为驱动力的频率f,纵坐标为振幅A.它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f固的振动系统做受迫振动时振幅的影响,由图可知,f与f固越接近,振幅A越大;当f=f固时,振幅A最大.

(2)受迫振动中系统能量的转化

做受迫振动的系统机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换.

[例4]

一个单摆在地面上做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示,则下列说法正确的是(　B　)

A.此单摆的固有周期约为0.5 s

B.此单摆的摆长约为1 m

C.若摆长增大,单摆的固有频率增大

D.若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动

解析:由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz,则固有周期为2 s;由T=2π,得摆长约为1 m;若摆长增大,单摆的固有周期增大,固有频率减小,则共振曲线的峰将向左移动,故B正确,A,C,D错误.

[针对训练]在实验室可以做“声波碎杯”的实验,用手指轻弹一个酒杯,可以听到清脆的声音,测得这个声音的频率为500 Hz.将这个酒杯放在两个大功率的声波发生器之间,操作人员通过调整其发出的声波,就能使酒杯碎掉,下列说法中正确的是(　D　)

A.操作人员一定是把声波发生器的功率调到很大

B.操作人员可能是使声波发生器发出了频率很高的超声波

C.操作人员一定是同时增大了声波发生器发出声波的频率和功率

D.操作人员一定是将声波发生器发出的声波频率调到了500 Hz

解析:用声波将酒杯击碎,利用的是共振现象,而物体发生共振现象的条件为驱动力频率与物体固有频率相同.之前人用手指轻弹酒杯测得声音频率为500 Hz,此频率就是酒杯的固有频率,所以操作人员应该将声波发生器的频率调到500 Hz,才能击碎酒杯,故选项D正确.

1.(2019江苏卷,13B)(多选)一单摆做简谐运动,在偏角增大的过程中,摆球的(　AC　)

A.位移增大 B.速度增大

C.回复力增大 D.机械能增大

解析:在单摆的偏角增大的过程中,摆球远离平衡位置,故位移变大,速度变小,回复力变大,机械能保持不变,选项A,C正确.

2.(2017·北京卷,15)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示,下列描述正确的是(　A　)

A.t=1 s时,振子的速度为零,加速度为负的最大值

B.t=2 s时,振子的速度为负,加速度为正的最大值

C.t=3 s时,振子的速度为负的最大值,加速度为零

D.t=4 s时,振子的速度为正,加速度为负的最大值

解析:t=2 s和t=4 s时,振子在平衡位置,加速度为零,选项B,D错误;t=1 s时,振子在正的最大位移处,速度为零,加速度为负的最大值,选项A正确;t=3 s时,振子在负的最大位移处,速度为零,加速度为正的最大值,选项C错误.

3.(2018·天津卷8)(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点.t=0时振子的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为0.1 m,则(　AD　)

A.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s

B.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s

C.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为4 s

D.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为6 s

解析:若振幅为0.1 m,根据题意可知从t=0 s到t=1 s振子经历的周期为(n+)T,则(n+)T=1 s(n=0,1,2,3……),解得T= s(n=0,1,2,3……),当n=1时T= s,无论n为何值,T都不会等于 s,A正确,B错误;如果振幅为0.2 m,结合位移—时间关系图象,有1 s=+nT①,或者1 s=T+nT②,或者1 s=+nT③,对于①式,只有当n=0时,T=2 s,为整数;对于②式,T不为整数;对于③式,只有当n=0时,T=6 s,为整数,故C错误,D正确.