2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第九节指数函数

第九节指数函数

一、基础知识批注——理解深一点

1．指数函数的概念

函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．

形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．

2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质

二、常用结论汇总——规律多一点

指数函数图象的特点

(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．

(2)函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．

(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．

三、基础小题强化——功底牢一点

(1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)

(2)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)

(3)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×

(二)选一选

1．函数y＝2|x|的值域为(　　)

A．[0，＋∞)　　　　　　　 　B．[1，＋∞)

C．(1，＋∞)   D．(0,1]

答案：B

2．函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．(－∞，0]   B．[0，＋∞)

C．(－∞，0)   D．R

解析：选A　由题意，得1－5x≥0，即5x≤1，所以x≤0，

即函数f(x)的定义域为(－∞，0]．

3．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点(　　)

A．(0,1)   B．(1,1)

C．(2,0)   D．(2,2)

解析：选D　由f(2)＝a0＋1＝2，知f(x)的图象必过点(2,2)．

(三)填一填

4．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.

解析：代入得，a＝＝，所以f(－1)＝－1＝.

答案：

5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．

解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，∴0<a－2<1，即2<a<3.

答案：(2,3)

[典例]　(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)

(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．

[解析]　(1)函数f(x)＝21－x＝2×x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求．

(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，

所以k的取值范围为(－∞，0]．

[答案]　(1)A　(2)(－∞，0]

[变透练清]

1.本例(1)中的函数f(x)变为：f(x)＝2|x－1|，则f(x)的大致图象为(　　)

解析：选B　f(x)＝2|x－1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B正确．

2.本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．

解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点，由典例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，

故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．

答案：{0}∪[1，＋∞)

3．若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，求m的取值范围．

解：y＝21－x＋m＝x－1＋m，函数y＝x－1的图象如图所示，

则要使其图象不经过第一象限，

则m≤－2.

故m的取值范围为(－∞，－2]．

[解题技法]　指数函数图象问题的求解策略

考法(一)　比较指数式的大小

[典例]　(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)

A．b<a<c　　　　　　 　B．a<b<c

C．b<c<a   D．c<a<b

[解析]　因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b<a；

又因为a＝2＝4，c＝25＝5，由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数知，a<c.

综上得b<a<c.故选A.

[答案]　A

[解题技法]　比较指数幂大小的常用方法

考法(二)　解简单的指数方程或不等式

[典例]　(2019·西安质检)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．

[解析]　∵f(x)为偶函数，

当x＜0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.

∴f(x)＝

当f(x－2)＞0时，有或

解得x＞4或x＜0.

∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．

[答案]　{x|x>4或x<0}

[解题技法]

简单的指数方程或不等式问题的求解策略

(1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)．

(2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0<a<1时，等价于f(x)<g(x)．

(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

考法(三)　指数型函数性质的综合问题

[典例]　已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值．

[解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝，

令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

因此必有

解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

[解题技法]　与指数函数有关的复合函数的单调性

形如函数y＝af(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：

(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；

(2)若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间．即“同增异减”．

[题组训练]

1．函数y＝的值域是(　　)

A．(－∞，4)   B．(0，＋∞)

C．(0,4]   D．[4，＋∞)

解析：选C　设t＝x2＋2x－1，则y＝t.

因为0<<1，

所以y＝t为关于t的减函数．

因为t＝2－2≥－2，

所以0<y＝t≤－2＝4，

故所求函数的值域为(0,4]．

2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c   B．a<c<b

C．b<a<c   D．b<c<a

解析：选C　因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c.

3．(2018·河南八市第一次测评)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝0.1的大小关系是(　　)

A．M＝N   B．M≤N

C．M<N   D．M>N

解析：选D　因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝0.1<1，所以M >N.

4．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．

解析：当a<1时，41－a＝21，所以a＝；当a>1时，代入可知不成立．所以a的值为.

答案：

A级——保大分专练

1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

解析：选A　因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．

2．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　)

A．(1,6)　　　　　　　 　B．(1,5)

C．(0,5)   D．(5,0)

解析：选A　由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P(1,6)．

3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c   B．a＞c＞b

C．c＞a＞b   D．b＞c＞a

解析：选A　由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.

4．(2019·南宁调研)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函数f(x)的定义域为[0,1]，因为y＝t是减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数y＝－x2＋x在[0,1]上的减区间，故选D.

5.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0　　　 　B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0   D．0<a<1，b<0

解析：选D　由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的图象的基础上向左平移得到的，所以b<0.

6．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)

A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增

B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减

C．奇函数，且单调递增

D．奇函数，且单调递减

解析：选C　易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.

7．(2018·深圳摸底)已知a＝3.3，b＝3.9，则a________b．(填“<”或“>”)

解析：因为函数y＝x为减函数，所以3.3>3.9，即a>b.

答案：>

8．函数y＝x－x＋1在[－3,2]上的值域是________．

解析：令t＝x，由x∈[－3,2]，得t∈.

则y＝t2－t＋1＝2＋.

当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.

故所求函数的值域是.

答案：

9．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.

解析：当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．当0<a<1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.

答案：－

10．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是________．

解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a＞1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)．

答案：f(－4)＞f(1)

11．已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)．

(1)求a的值；

(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．

解：(1)由已知得－a＝2，解得a＝1.

(2)由(1)知f(x)＝x，

又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝x，

∴x－x－2＝0，

令x＝t，则t>0，t2－t－2＝0，

即(t－2)(t＋1)＝0，

又t>0，故t＝2，即x＝2，解得x＝－1，

故满足条件的x的值为－1.

12．已知函数f(x)＝|x|－a.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最大值是，求a的值．

解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，

又y＝t在R上单调递减，

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，

单调递减区间是[0，＋∞)．

(2)由于f(x)的最大值是，且＝－2，

所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，

从而a＝2.

B级——创高分自选

1．(2019·郴州质检)已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(　　)

A.∪(2，＋∞) 

B．(2，＋∞)

C.∪(2，＋∞) 

D．(－∞，2)

解析：选B　函数f(x)＝ex－的定义域为R，

∵f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等价于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证f(x)是R上的单调递增函数，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(2，＋∞)．

2．已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．

解析：①当0<a<1时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(1)．若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0<a<1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，所以0<a<.

②当a>1时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．

所以实数a的取值范围是.

答案：

3．已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．

解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，

所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．

对于定义域内任意x，有

f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3

＝x3＝f(x)，

∴函数f(x)为偶函数．

(2)由(1)知f(x)为偶函数，

∴只需讨论x＞0时的情况．当x＞0时，要使f(x)＞0，

则x3＞0，

即＋＞0，即＞0，则ax＞1.

又∵x＞0，∴a＞1.

∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.