2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第七节幂函数
展开第七节幂函数
一、基础知识批注——理解深一点
1．幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
幂函数的特征
(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；
(2)xα的系数为1；
(3)只有一项．
2．五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性质 | y＝x | y＝x2 | y＝x3 | y＝x | y＝x－1 |
图象 | |||||
定义域 | R | R | {x|x≥0} | {x|x≠0} | |
值域 | R | {y|y≥0} | R | {y|y≥0} | {y|y≠0} |
奇偶性 | 奇 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 | |
单调性 | 增 | (－∞，0)减， (0，＋∞)增 | 增 | 增 | (－∞，0)和 (0，＋∞)减 |
公共点 | (1,1) | ||||
二、常用结论汇总——规律多一点
对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
(二)选一选
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1
C. D．2
解析：选C 因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.
又f(x)的图象过点，所以α＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.
2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝( )
A. B．4
C. D.
解析：选C 设f(x)＝xα，
∵图象过点，
∴f(4)＝4α＝，解得α＝－，
∴f(2)＝2＝.
3．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
解析：选B 函数y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由函数y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将函数y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
(三)填一填
4．若y＝ax是幂函数，则该函数的值域是________．
解析：由已知y＝ax是幂函数，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故该函数的值域是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
5．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为________．
解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴m＝2.
答案：2
[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
[解析] (1)设f(x)＝xα，将点(3，)代入f(x)＝xα，解得α＝，所以f(x)＝x，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴n＝1，
又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.
[答案] (1)C (2)B
[解题技法] 幂函数y＝xα的主要性质及解题策略
(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．
(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．
幂函数，啥模样，幂指坐在肩膀上；
图象恒过点(1,1)，单调牢记一象限；
正幂递增负幂减，奇偶性质看指数．
[题组训练]
1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( )
A．y＝x－4 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
解析：选A 函数y＝x－4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y＝x为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
2.已知当x∈(0,1)时，函数y＝xp的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．
解析：当p>0时，根据题意知p<1，所以0<p<1；当p＝0时，函数为y＝1(x≠0)，符合题意；当p<0时，函数y＝xp的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
[典例] 若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a<b<c B．c<a<b
C．b<c<a D．b<a<c
[解析] 因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝，因为y＝x是减函数，所以a＝<c＝，所以b<a<c.
[答案] D
[解题技法] 比较幂值大小的常见类型及解决方法
常见类型 | 解决方法 |
同底不同指 | 利用指数函数单调性进行比较 |
同指不同底 | 利用幂函数单调性进行比较 |
既不同底又不同指 | 常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断 两个幂值的大小 |
[题组训练]
1．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选B 因为y＝x在第一象限内为增函数，所以a＝>c＝，因为y＝x是减函数，所以c＝>b＝，所以a>c>b.
2．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以解得－1≤a<.
答案：
1．若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则f(8)的值为( )
A．4 B.
C．2 D．1
解析：选C 设f(x)＝xn，由条件知f(4)＝2，所以2＝4n，n＝，
所以f(x)＝x，f(8)＝8＝2.
2．若幂函数f(x)＝xk在(0，＋∞)上是减函数，则k可能是( )
A．1 B．2
C. D．－1
解析：选D 由幂函数的性质得k<0，故选D.
3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
解析：选A ∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
4．(2018·邢台期末)已知幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝f(x)＋的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：选A 设幂函数f(x)＝xα.
∵f(x)的图象过点，∴2α＝，解得α＝－2.
∴函数f(x)＝x－2，其中x≠0.
∴函数g(x)＝f(x)＋＝x－2＋
＝＋≥2＝1，
当且仅当x＝±时，g(x)取得最小值1.
5．(2019·安徽名校联考)幂函数y＝x|m－1|与y＝x(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为( )
A．0 B．1和2
C．2 D．0和3
解析：选C 由题意可得解得m＝2.
6．已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为( )
A．b<a<c B．a<b<c
C．c<b<a D．c<a<b
解析：选C 因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C.
7．设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为( )
A．x<z<y B．y<x<z
C．y<z<x D．z<y<x
解析：选A 由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y>z.由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x<z.所以x<z<y.
8．已知幂函数f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k，当x∈[1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，则实数k的取值范围是( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
解析：选D ∵f(x)是幂函数，∴(m－1)2＝1，解得m＝2或m＝0.若m＝2，则f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若m＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，即f(x)＝x2.当x∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，即A＝[1,4)；当x∈[1,2)时，g(x)∈[2－k,4－k)，即B＝[2－k,4－k)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴2－k≥1且4－k≤4，解得0≤k≤1.
9．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f＝________.
解析：设f(x)＝xα，∵＝＝3α＝2，∴f＝α＝2α＝＝＝.
答案：
10．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是________．
解析：由f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数⇒m2－m－5＝1⇒m＝－2或m＝3.又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m＝3.
答案：3
11．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________________．
解析：分别作出y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)的图象如图所示，可知h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案：h(x)＞g(x)＞f(x)
12．(2019·银川模拟)已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．
解析：由题意得，幂函数f(x)＝x－的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由f(a＋1)<f(10－2a)，得解得3<a<5.
答案：(3,5)
13．已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)的图象经过点(2，)．
(1)试确定m的值；
(2)求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)∵幂函数f(x)的图象经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2.
∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<.
∴a的取值范围为.
