2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第八章第七节空间角（视情况选用）

第七节空间角(视情况选用)


[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)
A. B．－
C. D．－
[解析]　(1)如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝，则tan ∠EAB＝＝，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.
(2)如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.
[答案]　(1)C　(2)A

[解题技法]　平移法求异面直线所成角的步骤
平移
平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移
证明
证明所作的角是异面直线所成的角或其补角
寻找
在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之
取舍
因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角
[题组训练]
1．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小为(　　)
A．30°　　　　　　　　　　 B．60°
C．75° D．90°
解析：选D　将正三棱柱ABC­A1B1C1补为四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2，又因为BC1＝C1D＝，所以∠BC1D＝90°.
2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
解：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)连接BD，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.




[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)
A．8　　　　　　　　　　 B．6
C．8 D．8
(2)已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．
[解析]　(1)如图，连接AC1，BC1，AC.
∵AB⊥平面BB1C1C，
∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝＝＝2，
∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2＝8.
(2)如图所示，设O为△ABC的中心，连接PO，AO，易知PO⊥平面ABC，则∠PAO为PA与平面ABC所成的角．S△ABC＝××× sin 60°＝，
∴VABC­A1B1C1＝S△ABC·OP＝×OP＝，∴OP＝.
又OA＝××＝1，∴tan∠OAP＝＝，∴∠OAP＝60°.
故PA与平面ABC所成角为60°.
[答案]　(1)C　(2)60°
[解题技法]　求直线和平面所成角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
[题组训练]

1．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，则易证DN⊥平面AA1C1C，连接AN，则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DNA中，sin∠DAN＝＝＝.
2．(2019·青海模拟)如图，正四棱锥P­ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为(　　)
A．60°　　　　　　　　 B．30°
C．45° D．90°
解析：选A　如图，在正四棱锥P­ABCD中， 根据底面积为6可得，BC＝.连接BD交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P­ABCD的高，根据体积公式可得，PO＝1.因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角．在Rt△POA中，因为PO＝1，OA＝，所以PA＝2，OE＝PA＝1，在Rt△BOE中，因为BO＝，所以tan∠BEO＝＝，即∠BEO＝60°.
故直线BE与平面PAC所成角为60°.

[典例]　(1)已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的平面角为________．
(2)已知△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，M为AB的中点，现将△ACM沿CM折起，得到三棱锥P­CBM，如图所示．则当二面角P­CM­B的大小为60°时，＝________.
[解析]　(1)如图，O为正方形ABCD的中心，M为BC的中点，连接PO，PM，OM，∠PMO即为侧面与底面所成二面角的平面角．设底面边长为a，则2a2＝(2)2，∴a＝2，∴OM＝.
又四棱锥的体积V＝×(2)2×PO＝12，∴PO＝3，
∴tan∠PMO＝＝，∴∠PMO＝60°.故所求二面角为60°.
(2)如图，取BC的中点E，连接AE，EM，PE，
设AE∩CM＝O，连接PO，
再设AC＝2，由∠C＝90°，tan A＝，可得BC＝2.
在Rt△MEC中，可得tan∠CME＝，
在Rt△ECA中，可得tan∠AEC＝，
∴∠CME＋∠AEM＝90°，∴AE⊥CM，
∴PO⊥CM，EO⊥CM，∠POE即为二面角P­CM­B的平面角，∴∠POE＝60°.
∵AE＝＝，OE＝1×sin∠CME＝，∴PO＝AO＝.
在△POE中，由余弦定理可得，
PE＝ ＝，
∴PE2＋CE2＝PC2，即PE⊥BC.
又∵E为BC的中点，∴PB＝PC＝2.
在Rt△ACB中，易得AB＝2，∴＝.
[答案]　(1)60°　(2)
[解题技法]
1．求二面角大小的步骤(一作二证三求)

2．作二面角的平面角的3种方法
定义法
在棱上取点，分别在两平面内引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角
垂面法
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角
垂线法
过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，
垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图，∠AOB为二面角α­l­B的平面角

[题组训练]
1．已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)
A．150°　　　　　　　　　 B．45°
C．120° D．60°
解析：选D　如图，AC⊥AB，BD⊥AB，过A在平面ABD内作AE∥BD，过D作DE∥AB，连接CE，所以DE＝AB且DE⊥平面AEC，∠CAE即二面角的平面角．在Rt△DEC中，CD＝2，DE＝4，则CE＝2，在△ACE中，由余弦定理可得cos∠CAE＝＝，所以∠CAE＝60°，即所求二面角的大小为60°.
2.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝，则二面角A­BC­P的大小为________．
解析：因为AB为⊙O的直径，所以AC⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA为二面角A­BC­P的平面角．因为∠ACB＝90°，AB＝2，PA＝BC＝，所以AC＝1，所以在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝.所以∠PCA＝60°.即所求二面角的大小为60°.
答案：60°

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF所成角的正切值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B.
C．1 D.
解析：选B　A1B1与平面A1EF所成的角就是∠B1A1C，tan∠B1A1C＝＝.
2．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A­BD­P的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°


解析：选A　作AO⊥BD交BD于点O，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.
∵PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，
∴PO⊥BD，∴∠AOP即为所求二面角A­BD­P的大小．
∵AO＝＝，
∴tan∠AOP＝＝，故二面角A­BD­P的大小为30°.
3.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN的长度为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选A　如图，取AD的中点P，连接PM，PN，
则PM∥BD，PN∥AC，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，∴MN＝5.故选A.
4．已知AB∥平面α，AC⊥平面α于点C，BD是平面α的斜线，D是斜足，若AC＝9，BD＝6，则BD与平面α所成的角的大小为________．
解析：如图，过B作BE⊥平面α，垂足为E，则BE＝9.连接DE，则∠BDE为BD与平面α所成的角．在Rt△BED中，sin∠BDE＝＝，所以∠BDE＝60°.
答案：60°
5．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
解析：如图，∵SA与圆锥底面所成角为45°，
∴△SAO为等腰直角三角形．
设OA＝r，
则SO＝r，SA＝SB＝r.
在△SAB中，cos ∠ASB＝，
∴sin ∠ASB＝，
∴S△SAB＝SA·SB·sin ∠ASB
＝×(r)2×＝5，
解得r＝2，
∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2×4＝40π.
答案：40π
6．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积V球＝，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为________．
解析：如图，过点O作OM⊥平面ABCD，垂足为点M，则点M为正方形ABCD的中心．∵正方形ABCD的边长为2， ∴AC＝2，∴AM＝.∵V球＝πr3＝，∴球O的半径OA＝r＝2，∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为 cos∠OAM＝＝＝.
答案：
7.(2018·天津高考)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABD，
所以AD⊥平面ABC.
因为BC⊂平面ABC，
所以AD⊥BC.
(2)取棱AC的中点N，连接MN，ND.
又因为M为棱AB的中点，
所以MN∥BC.
所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AD＝2，AM＝1，
所以DM＝＝.
因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.
在Rt△DAN中，AN＝1，
所以DN＝＝.
在等腰三角形DMN中，MN＝1，
可得cos∠DMN＝＝.
所以异面直线BC与MD所成角的余弦值为.
(3)连接CM.
因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，
所以CM⊥AB，CM＝.
因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CM⊂平面ABC，
所以CM⊥平面ABD，
所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD＝＝4.
在Rt△CMD中，sin∠CDM＝＝.
所以直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.
8．(2019·湖北八校联考)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P­EF­B的大小为60°.

(1)求证：EF⊥PB；
(2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求四棱锥P­EBCF的侧面积．
解：(1)证明：在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝3，∴BC⊥AB.
∵EF∥BC，∴EF⊥AB，翻折后垂直关系没变，仍有EF⊥PE，EF⊥BE，
又PE∩BE＝E，
∴EF⊥平面PBE，∴EF⊥PB.
(2)∵EF⊥PE，EF⊥BE，
∴∠PEB是二面角P­EF­B的平面角，
∴∠PEB＝60°，
又PE＝2，BE＝1，由余弦定理得PB＝，
∴PB2＋BE2＝PE2，∴PB⊥BE，∴PB，BC，BE两两垂直，
∴△PBE，△PBC，△PEF均为直角三角形．
由△AEF∽△ABC可得，EF＝BC＝2，
S△PBC＝BC·PB＝，S△PBE＝PB·BE＝，S△PEF＝EF·PE＝2.
在四边形BCFE中，过点F作BC的垂线，垂足为H，
则FC2＝FH2＋HC2＝BE2＋(BC－EF)2＝2，∴FC＝.
在△PFC中，FC＝，PC＝＝2，PF＝＝2，
由余弦定理可得cos∠PFC＝＝－，
则sin∠PFC＝，S△PFC＝PF·FCsin∠PFC＝.
∴四棱锥P­EBCF的侧面积为S△PBC＋S△PBE＋S△PEF＋S△PFC＝2＋2＋.