2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第九节指数函数

第九节指数函数一、基础知识批注——理解深一点1．指数函数的概念函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数a>10<a<1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y=ax(a>0,且a≠1）的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究.二、常用结论汇总——规律多一点指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．三、基础小题强化——功底牢一点(1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)(2)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)(3)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×(二)选一选1．函数y＝2|x|的值域为(　　)A．[0，＋∞)　　　　　　　 　B．[1，＋∞)C．(1，＋∞)   D．(0,1]答案：B2．函数f(x)＝的定义域是(　　)A．(－∞，0]   B．[0，＋∞)C．(－∞，0)   D．R解析：选A　由题意，得1－5x≥0，即5x≤1，所以x≤0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0]．3．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点(　　)A．(0,1)   B．(1,1)C．(2,0)   D．(2,2)解析：选D　由f(2)＝a0＋1＝2，知f(x)的图象必过点(2,2)．(三)填一填4．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.解析：代入得，a＝＝，所以f(－1)＝－1＝.答案：5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，∴0<a－2<1，即2<a<3.答案：(2,3) [典例]　(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．[解析]　(1)函数f(x)＝21－x＝2×x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求．(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．[答案]　(1)A　(2)(－∞，0][变透练清]1.本例(1)中的函数f(x)变为：f(x)＝2|x－1|，则f(x)的大致图象为(　　)解析：选B　f(x)＝2|x－1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B正确．2.本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点，由典例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．答案：{0}∪[1，＋∞) 3．若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，求m的取值范围．解：y＝21－x＋m＝x－1＋m，函数y＝x－1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m≤－2.故m的取值范围为(－∞，－2]．[解题技法]　指数函数图象问题的求解策略变换作图对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 考法(一)　比较指数式的大小[典例]　(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)A．b<a<c　　　　　　 　B．a<b<cC．b<c<a   D．c<a<b[解析]　因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b<a；又因为a＝2＝4，c＝25＝5，由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数知，a<c.综上得b<a<c.故选A.[答案]　A[解题技法]　比较指数幂大小的常用方法单调性法不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底取中间值法不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，进而得出大小关系考法(二)　解简单的指数方程或不等式[典例]　(2019·西安质检)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．[解析]　∵f(x)为偶函数，当x＜0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.∴f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0.∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．[答案]　{x|x>4或x<0}[解题技法]简单的指数方程或不等式问题的求解策略(1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0<a<1时，等价于f(x)<g(x)．(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法(三)　指数型函数性质的综合问题[典例]　已知函数f(x)＝.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．[解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. [解题技法]　与指数函数有关的复合函数的单调性形如函数y＝af(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；(2)若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间．即“同增异减”． [题组训练]1．函数y＝的值域是(　　)A．(－∞，4)   B．(0，＋∞)C．(0,4]   D．[4，＋∞)解析：选C　设t＝x2＋2x－1，则y＝t.因为0<<1，所以y＝t为关于t的减函数．因为t＝2－2≥－2，所以0<y＝t≤－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a<b<c   B．a<c<bC．b<a<c   D．b<c<a解析：选C　因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c.3．(2018·河南八市第一次测评)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝0.1的大小关系是(　　)A．M＝N   B．M≤NC．M<N   D．M>N解析：选D　因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝0.1<1，所以M >N.4．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．解析：当a<1时，41－a＝21，所以a＝；当a>1时，代入可知不成立．所以a的值为.答案：A级——保大分专练1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)解析：选A　因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．2．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　)A．(1,6)　　　　　　　 　B．(1,5)C．(0,5)   D．(5,0)解析：选A　由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P(1,6)．3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＞b＞c   B．a＞c＞bC．c＞a＞b   D．b＞c＞a解析：选A　由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.4．(2019·南宁调研)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)A.   B.C.   D.解析：选D　令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函数f(x)的定义域为[0,1]，因为y＝t是减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数y＝－x2＋x在[0,1]上的减区间，故选D.5.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)A．a>1，b<0　　　 　B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0   D．0<a<1，b<0解析：选D　由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的图象的基础上向左平移得到的，所以b<0.6．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减解析：选C　易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.7．(2018·深圳摸底)已知a＝3.3，b＝3.9，则a________b．(填“<”或“>”)解析：因为函数y＝x为减函数，所以3.3>3.9，即a>b.答案：>8．函数y＝x－x＋1在[－3,2]上的值域是________．解析：令t＝x，由x∈[－3,2]，得t∈.则y＝t2－t＋1＝2＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域是.答案：9．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.解析：当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．当0<a<1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.答案：－10．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是________．解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a＞1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)．答案：f(－4)＞f(1)11．已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)．(1)求a的值；(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．解：(1)由已知得－a＝2，解得a＝1.(2)由(1)知f(x)＝x，又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝x，∴x－x－2＝0，令x＝t，则t>0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，又t>0，故t＝2，即x＝2，解得x＝－1，故满足条件的x的值为－1.12．已知函数f(x)＝|x|－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值是，求a的值．解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝t在R上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是，且＝－2，所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.B级——创高分自选1．(2019·郴州质检)已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(　　) A.∪(2，＋∞)  B．(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)  D．(－∞，2)解析：选B　函数f(x)＝ex－的定义域为R，∵f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等价于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证f(x)是R上的单调递增函数，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(2，＋∞)．2．已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．解析：①当0<a<1时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(1)．若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0<a<1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，所以0<a<.②当a>1时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．所以实数a的取值范围是.答案：3．已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．对于定义域内任意x，有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况．当x＞0时，要使f(x)＞0，则x3＞0，即＋＞0，即＞0，则ax＞1.又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.