2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第二章第九节函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用


1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2．解函数应用问题的4步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
以上过程用框图表示如下：

[小题体验]
1．(2019·徐州诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为________立方米．
解析：设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，
由题意得y＝即y＝
易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x－20＝55，解得x＝15.
答案：15
2．用18 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m2.
解析：设隔墙长为x m，则面积S＝x·＝－2x2＋9x＝－22＋.
所以当x＝时，能围成的面积最大，为 m2.
答案：

1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数 模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
[小题纠偏]
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．
答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
解析：各年产量为an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令3n2≤150，得1≤n≤5.又n∈N*，所以1≤n≤7，故生产期限最长为7年．
答案：7

　
[典例引领]
某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．
解：由题意，最高点为(2＋h,4)，h≥1.
设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.
(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，
方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)
将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.
即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.
(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1.
由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．
令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4，
则解得1≤h≤.
故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是.
[由题悟法]
二次函数模型问题的3个注意点
(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；
(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
[即时应用]
(2019·启东中学高三检测)某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每个下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)当140＜a≤280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员)
解：(1) 由题意，y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－x2＋x＋a，
因为a－x≥，所以x≤.
故x的取值范围为0≤x≤且x∈N*.
(2)由(1)知y＝－2＋2＋a，
当140＜a≤280时，0＜－70≤，
当a为偶数时，x＝－70，y取最大值；
当a为奇数时，x＝－70或x＝－70，y取最大值，
因尽可能少裁员，所以x＝－70，
所以当a为偶数时，应裁员 人；当a为奇数时，应裁员人．

　
[典例引领]
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2 －10＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝，即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．
[由题悟法]
应用函数y＝x＋模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋的形式．
(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．
[即时应用]
　某隧道长2 150 m，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一列有55辆车身长都为10 m的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤10时，相邻两车之间保持20 m的距离；当10＜x≤20时，相邻两车之间保持m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)求车队通过隧道的时间y的最小值及此时车队的速度．(≈1.73)
解：(1)当0＜x≤10时，
y＝＝，
当10＜x≤20时，
y＝＝＋9x＋18，
所以y＝
(2)当x∈(0,10]时，在x＝10时，ymin＝＝378(s)．
当x∈(10,20]时，y＝＋9x＋18≥18＋2× ＝18＋180≈329.4(s)，
当且仅当9x＝，即x≈17.3(m/s)时取等号．
因为17.3∈(10,20]，
所以当x＝17.3(m/s)时，ymin＝329.4(s)，
因为378＞329.4，
所以当车队的速度为17.3 m/s时，车队通过隧道的时间y有最小值329.4 s.
　
[典例引领]
已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·2t＋ 21－t(t≥0，并且m＞0)．
(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
解：(1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2，
当θ＝5时，2t＋＝，
令2t＝x(x≥1)，则x＋＝，即2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，
即θ＝m·2t＋≥2恒成立，亦即m≥2恒成立．
令＝x，则0＜x≤1，所以m≥－2x2＋2x，
因为－2x2＋2x＝－22＋∈，
所以m≥，
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.
[由题悟法]
指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．
[即时应用]
候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，
故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0.
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，
故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，
所以－1＋log3≥2，
即log3≥3，解得≥27，即Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________元/件时，利润最大．
解析：设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，
则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20
＝－10x2＋80x＋180
＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．
所以当x＝4时，ymax＝340.
即单价为10元/件，利润最大．
答案：10
2．(2018·盐城中学检测)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝R－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a表示)
解析：D＝R－A＝a－A，令t＝(t＞0)，则A＝t2，
所以D＝at－t2＝－2＋a2.
所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．
答案：a2
3．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.


解析：设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.
答案：9
4．(2019·盐城调研)一批货物随17列货车从A市以v km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车间距离不得小于2 km，那么这批物资全部运到B市，最快需要________ h(不计货车的身长)．
解析：设这批物资全部运到B市用的时间为y，
因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，
可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×2时，时间最快．
则y＝＝＋≥2 ＝8，
当且仅当＝，即v＝100时等号成立，ymin＝8.
答案：8
5．(2019·南通模拟)用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．
解析：设矩形场地的宽(即隔墙的长度)为x，则长为，其面积S＝·x＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18，当x＝3时，S有最大值18，所以隔墙的长度为3.
答案：3
6．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)(元)决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元．
解析：因为m＝5.5，所以[5.5]＝6.代入函数解析式，得f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案：4.24
二保高考，全练题型做到高考达标
1．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．
解析：依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，
又sA(100)＝sB(100)，
所以100k＋20＝100m，
得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，
即两种方式电话费相差10元．
答案：10
2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．
解析：设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝(1 000－5x)×(100＋x)－80×1 000＝－5x2＋500x＋20 000＝－5(x－50)2＋32 500，故当x＝50时，ymax＝32 500，此时售价为每件150元．
答案：150
3．(2019·海安中学检测)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
解析：设2017年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝3.8，所以n≥4，所以从2021年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
答案：2021年
4．(2019·启东中学检测)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
解析：由题意设仓库在离车站x千米处，则y1＝，y2＝k2x，其中x＞0，
由得，即y1＋y2＝＋x≥2 ＝8，
当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．
答案：5


5．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有，则m＝________.
解析：根据题意知＝e5n，
令a＝aent，即＝ent，
因为＝e5n，故＝e15n，
比较知t＝15，m＝15－5＝10.
答案：10
6．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．
解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，
又当v＝10时，k×102＝6，解得k＝0.06，
所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总费用为W＝y＝(0.06v2＋96)＝0.6v＋≥2＝48，当且仅当0.6v＝，
即v＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．
答案：40
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．
解析：依题意知：＝，即x＝(24－y)，
所以阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)·y＝(－y2＋24y)＝－(y－12)2＋180.
所以当y＝12时，S有最大值为180.
答案：180
8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______(万元)．
解析：依题意得
即解得a＝2，b＝－2.
所以y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.
x＝1 024(万元)．
答案：1 024
9．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w＝4－，且投入的肥料费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．
(1)求L(x)的函数关系式，并写出定义域；
(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)L(x)＝16－x－2x＝64－－3x，x∈(0,5]．
(2)法一：L(x)＝64－－3x＝67－≤67－2＝43，当且仅当＝3(x＋1)，即x＝3时取等号．
故L(x)max＝43.
答：当投入的肥料费用为300元时，该水密桃树获得的利润最大，为4 300元．
法二：L′(x)＝－3，令L′(x)＝0，得x＝3.
故当x∈(0,3)时，L′(x)＞0，L(x)在(0,3)上单调递增；
当x∈(3,5]时，L′(x)＜0，L(x)在(3,5]上单调递减．
故L(x)max＝L(3)＝43.
答：当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为4 300元．
10．(2019·镇江调研)如图，政府有一个边长为400 m的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以150 m为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现在中间修建一块长方形的活动广场PQMN，其中P，Q，M，N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠QBC＝α，长方形活动广场的面积为S.
(1)请把S表示成关于α的函数关系式；
(2)求S的最小值．
解：(1)过Q作QE⊥BC于E，连结BQ(图略)．
在Rt△BQE中，
BE＝150cos α，QE＝150sin α，0≤α≤，
可得矩形PQMN的PQ＝400－300sin α，QM＝400－300cos α，
则S＝PQ·QM＝(400－300sin α)(400－300cos α)
＝10 000(4－3sin α)(4－3cos α)，α∈.
(2)由(1)知，S＝10 000[16－12(sin α＋cos α)＋9sin αcos α]，
设t＝sin α＋cos α＝sin ，则≤α＋≤，
可得1≤t≤，sin αcos α＝，
∴S＝10 000
＝5 000.
∴当t＝时，S取得最小值5 000×7＝35 000 m2.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时，每小时的耗油量(所需要的汽油量)为升，其中k为常数，且60≤k≤100.
(1)若汽车以120千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为11.5升，欲使每小时的耗油量不超过9升，求x的取值范围；
(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值．
解：(1)由题意知，当x＝120时，
＝11.5，∴k＝100，
由≤9，
得x2－145x＋4 500≤0，∴45≤x≤100.
又60≤x≤120，∴60≤x≤100.
故x的取值范围为[60,100]．
(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y升，则
y＝·＝20－＋(60≤x≤120)．
令t＝，则t∈，
∴y＝90 000t2－20kt＋20＝90 0002＋20－，
∴该函数图象的对称轴为直线t＝.
∵60≤k≤100，∴∈.
①若≥，即75≤k≤100，
则当t＝，即x＝时，ymin＝20－.
②若＜，即60≤k＜75，
则当t＝，即x＝120时，ymin＝－.
答：当75≤k≤100时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升；当60≤k＜75时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升．

命题点一　基本初等函数(Ⅰ)
1．(2017·全国卷Ⅰ改编)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则2x,3y,5z的大小关系为________．
解析：设2x＝3y＝5z＝k＞1，
所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－
＝＝＝＞0，
所以2x＞3y；
因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－
＝＝＝＜0，
所以3y＜5z；
因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－
＝＝＝＜0，
所以5z＞2x.所以5z＞2x＞3y.
答案：5z＞2x＞3y
2．(2018·天津高考改编)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为________．
解析：∵c＝log＝log35，a＝log3，
又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log35＞log3＞log33＝1，∴c＞a＞1.
∵y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴＜0＝1，即b＜1.
∴c＞a＞b.
答案：c＞a＞b
3．(2015·江苏高考)不等式2＜4的解集为________．
解析：因为2x2－x＜4，所以2＜22，
所以x2－x＜2，即x2－x－2＜0，所以－1＜x＜2.
答案：(－1,2)
4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，
所以－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，所以xln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a＝1.
答案：1
5．(2018·上海高考)已知常数a＞0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q，若2p＋q＝36pq，则a＝________.
解析：因为函数f(x)的图象经过点P，Q，所以f(p)＋f(q)＝＋＝＝－＝1，化简得2p＋q＝a2pq.因为2p＋q＝36pq，所以a2＝36且a＞0，所以a＝6.
答案：6
6．(2016·江苏高考)已知函数f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1)．
(1)设a＝2，b＝.
①求方程f(x)＝2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值．
解：(1)因为a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x.
①方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，
亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，
所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.
②由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.
因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)＞0，
所以m≤对于x∈R恒成立．
而＝f(x)＋≥2 ＝4，且＝4，
所以m≤4，故实数m的最大值为4.
(2)因为函数g(x)＝f(x)－2＝ax＋bx－2有且只有1个零点，而g(0)＝f(0)－2＝a0＋b0－2＝0，
所以0是函数g(x)的唯一零点．
因为g′(x)＝axln a＋bxln b，又由0＜a＜1，b＞1知ln a＜0，ln b＞0，
所以g′(x)＝0有唯一解x0＝log.
令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝(axln a＋bxln b)′＝ax(ln a)2＋bx(ln b)2，
从而对任意x∈R，h′(x)＞0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数．
于是当x∈(－∞，x0)时，g′(x)＜g′(x0)＝0；
当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞g′(x0)＝0.
因而函数g(x)在(－∞，x0)上是单调减函数，在(x0，＋∞)上是单调增函数．
下证x0＝0.
若x0＜0，则x0＜＜0，于是g＜g(0)＝0.
又g(loga2)＝aloga2＋bloga2－2＞aloga2－2＝0，且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.
因为0＜a＜1，所以loga2＜0.
又＜0，所以x1＜0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．
若x0＞0，同理可得，在和logb2之间存在g(x)的非0的零点，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．
因此，x0＝0.
于是－＝1，故ln a＋ln b＝0，所以ab＝1.
7．(2016·上海高考)已知a∈R，函数f(x)＝log2.
(1)当a＝5时，解不等式f(x)＞0；
(2)若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；
(3)设a＞0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
解：(1)由log2＞0，得＋5＞1，
解得x∈∪(0，＋∞)．
(2)由原方程可得＋a＝(a－4)x＋2a－5，
即(a－4)x2＋(a－5)x－1＝0.
①当a＝4时，x＝－1，经检验，满足题意．
②当a＝3时，x1＝x2＝－1，经检验，满足题意．
③当a≠3且a≠4时，x1＝，x2＝－1，x1≠x2.
若x1是原方程的解，则＋a＞0，即a＞2；
若x2是原方程的解，则＋a＞0，即a＞1.
由题意知x1，x2只有一个为方程的解，
所以或
于是满足题意的a∈(1,2]．
综上，a的取值范围为(1,2]∪{3,4}．
(3)易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)．
f(t)－f(t＋1)＝log2－log2≤1，
即at2＋(a＋1)t－1≥0对任意t∈恒成立．
因为a＞0，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间上单调递增，
当t＝时，y有最小值a－.由a－≥0，得a≥.
故a的取值范围为.
命题点二　函数与方程
1.(2017·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________．
解析：由于f(x)∈[0,1)，因此只需考虑1≤x＜10的情况，
在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝，q，p∈N*，p≥2且p，q互质．
若lg x∈Q，则由lg x∈(0,1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质，
因此10＝，则10n＝m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x∉Q，
故lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，
只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点．
画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，
且x＝1处(lg x)′＝＝＜1，则在x＝1附近仅有一个交点，
因此方程f(x)－lg x＝0的解的个数为8.

答案：8
2．(2015·江苏高考)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
解析：①当0＜x≤1时，方程为－ln x＝1，解得x＝.
②当1＜x＜2时，f(x)＋g(x)＝ln x＋2－x2单调递减，值域为(ln 2－2,1)，方程f(x)＋g(x)＝1无解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．
③当x≥2时，f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－6单调递增，值域为[ln 2－2，＋∞)，方程f(x)＋g(x)＝1恰有一解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．
综上所述，原方程有4个实根．
答案：4
3．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．
解析：令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
4．(2018·天津高考)已知a＞0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．
解析：法一：作出函数f(x)的大致图象如图所示．l1是过原点且与抛物线y＝－x2＋2ax－2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线y＝x2＋2ax＋a相切的直线．
由图可知，当直线y＝ax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符合题意．
由消去y，
整理得x2－ax＋2a＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，得a＝8(a＝0舍去)．
由消去y，整理得x2＋ax＋a＝0.
由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4(a＝0舍去)．
综上可得a的取值范围是(4,8)．
法二：当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x＞0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝作出直线y＝a，y＝2a，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a＜＜2a，
解得4＜a＜8.
答案：(4,8)
命题点三　函数模型及其应用
1．(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z＝81时，x＝______，y＝_______.
解析：由题意，得
即解得
答案：8　11
2．(2015·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为 20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．
(1)求a，b的值．
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域．
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20，2.5)．
将其分别代入y＝，得解得

(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，
则点P的坐标为.
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，
y′＝－，
则l的方程为y－＝－(x－t)，
由此得A，B.
故f(t)＝ ＝ ，t∈[5,20]．
②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.
令g′(t)＝0，解得t＝10.
当t∈(5,10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；
当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．
从而，当t＝10时，
函数g(t)有极小值，也是最小值，
所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.
故当t＝10时，公路l的长度最短，
最短长度为15千米．
3．(2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．