2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题十四　选修4－4　坐标系与参数方程

重点增分专题十四　选修4－4　坐标系与参数方程

[全国卷3年考情分析]

(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．

(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．

    保分考点·练后讲评

1.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.

由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C1和直线C2的极坐标方程．

解：∵曲线C1的普通方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，

即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，

∴曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.

∵直线C2的方程为y＝x，

∴直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

3.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．

因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·sinα－＝2.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

[解题方略]

1．直角坐标与极坐标方程的互化

(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可．

(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．

2．求解与极坐标有关的问题的主要方法

(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；

(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.

    保分考点·练后讲评

1.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－cos θ＝0，M.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．求曲线C和直线l的参数方程．

解：由ρsin2θ－cos θ＝0得ρ2sin2θ＝ρcos θ，

∴y2＝x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝x.

故曲线C的参数方程为(t为参数)，

由题意，M的直角坐标为(0,1)，

则直线l的参数方程为(t为参数)，

即(t为参数)．

2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，

当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，

所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，

故2cos α＋sin α＝0，

于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.

[解题方略]

参数方程化为普通方程消去参数的方法

(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．

(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．

(3)常见消参数的关系式：

①t·＝1；

②2－2＝4；

③2＋2＝1.

  极坐标与参数方程的综合应用 

[分点研究]

题型一　直线的参数方程中参数几何意义的应用

[例1]　(2019届高三·湖北五校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．

[解]　(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数，a∈R)，

∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.

∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，

∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，

又ρcos θ＝x，ρ2＝x2＋y2，

∴x2＋4x－x2－y2＝0，

即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.

(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，

由得t2－2t＋2－8a＝0.

Δ＝(－2)2－4(2－8a)>0，即a>0，

∴

根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，

∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，

∴当t1＝2t2时，有

解得a＝>0，符合题意，

当t1＝－2t2时，有

解得a＝>0，符合题意．

综上所述，a＝或a＝.

[变式1]　本例(2)的条件变为|PA||PB|＝6.求实数a的值．

解：由本例解析知|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|2－8a|＝6，

解得a＝1或－.又∵a>0，

∴a＝1.

[变式2]　若本例曲线C1变为过点P(0，－1)，其参数方程为(t为参数)，其他条件不变，求|PA|＋|PB|.

解：曲线C1的参数方程化为代入曲线C2的方程y2＝4x得t2－6t＋2＝0.

设A，B对应的参数分别为t1，t2，则

∴t1>0，t2>0.

∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝6.

[解题方略]

利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题

经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

(1)t0＝；

(2)|PM|＝|t0|＝；

(3)|AB|＝|t2－t1|；

(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.

题型二　极坐标方程中极径几何意义的应用

[例2]　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

[解]　(1)由圆C的参数方程为(φ为参数)，

可得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.

由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，

圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(2)由得P，

由得Q，

结合图可得|PQ|＝|OQ|－|OP|＝|ρQ|－|ρP|＝3－1＝2.

[解题方略]　极径的几何意义及其应用

(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．

(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．

[多练强化]

1．(2019届高三·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝.

(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．

解：(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1，

由ρsin＝，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

(2)设点P的坐标为(cos α，sin α)，

则点P到C2的距离为＝，

当sin＝－1，即α＋＝－＋2kπ(k∈Z)，

α＝－＋2kπ(k∈Z)时，所求距离最大，最大值为2，

此时点P的坐标为.

2．(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ1＝(ρ1∈R)，θ2＝(ρ2∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．

解：(1)由参数方程得普通方程为x2＋(y－2)2＝4，

把代入x2＋(y－2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0.

所以曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

(2)由直线l1：θ1＝(ρ1∈R)与曲线C的交点为O，M，得|OM|＝4sin＝2.

由直线l2：θ2＝(ρ2∈R)与曲线C的交点为O，N，得|ON|＝4sin ＝2.

易知∠MON＝，

所以S△OMN＝|OM|×|ON|

＝×2×2＝2.

1．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.

(1)求半圆C的参数方程；

(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．

解：(1)半圆C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，

则半圆C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．

(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，)，

于是直线CD的斜率k＝＝.

由于切点必在两个圆心的连线上，

故切点对应的参数t满足tan t＝，t＝，

所以切点的直角坐标为，即(2＋，1)．

2．(2018·贵阳摸底考试)曲线C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.

(1)写出C的普通方程，并用(α为直线的倾斜角，t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程；

(2)l与C是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由．

解：(1)C的普通方程为＋y2＝1，

由ρcos＝得x－y－2＝0，

则直线l的倾斜角为，

又直线l过点(2,0)，

得直线l的一个参数方程为(t为参数)．

(2)将l的参数方程代入C的普通方程得

5t2＋4t＝0，解得t1＝0，t2＝－，

显然l与C有两个交点，

分别记为A，B，且|AB|＝|t1－t2|＝.

3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝3.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程．

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．

解：(1)曲线C1的参数方程为(α为参数)，普通方程为x2＋＝1，

曲线C2的极坐标方程为ρcos＝3，

即ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，直角坐标方程为x＋y－6＝0.

(2)设P(cos α，sin α)，则|PQ|的最小值为P到x＋y－6＝0距离，

即＝，

当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，|PQ|取得最小值2，

此时P.

4．(2018·贵阳适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为     ρcos＝－1.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交曲线C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之和．

解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1，

由ρcos＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

(2)直线l1的参数方程为(t为参数)，将其代入＋y2＝1中，化简得2t2－t－2＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝，t1t2＝－1，

所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝＝.

5．(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.

解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，

则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，

由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)(tan θ＝)．

(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，

设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，

∴＋＝＝＝.

6．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C2的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1交于(不包括极点O)三点A，B，C.

(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；

(2)当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．

解：(1)证明：设点A，B，C的极坐标分别为(ρ1，φ)，，，

因为点A，B，C在曲线C1上，

所以ρ1＝4cos φ，ρ2＝4cos，ρ3＝4cos，

所以|OB|＋|OC|＝ρ2＋ρ3＝4cos＋4cos＝4cos φ＝ρ1，

故|OB|＋|OC|＝|OA|.

(2)由曲线C2的方程知曲线C2是经过定点(m,0)且倾斜角为α的直线．

当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为2，，2，－，

化为直角坐标为B(1，)，C(3，－)，

所以tan α＝＝－，又0≤α＜π，所以α＝.

故曲线C2的方程为y＝－(x－2)，易知曲线C2恒过点(2,0)，即m＝2.

7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝4cos θ.直线l与曲线C1相切．

(1)将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值．

(2)已知点Q(2,0)，直线l与曲线C2：x2＋＝1交于A，B两点，求△ABQ的面积．

解：(1)曲线C1：ρ＝4cos θ，即ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即C1：(x－2)2＋y2＝4，可得圆心(2,0)，半径r＝2，

直线l的参数方程为(t为参数)，其中0≤α＜π，由题意l与C1相切，可得普通方程为y－＝k(x－1)，k＝tan α，0≤α＜π且α≠，

因为直线l与曲线C1相切，所以＝2，

所以k＝，所以α＝.

(2)直线l的方程为y＝x＋，

代入曲线C2：x2＋＝1，整理可得10x2＋4x－5＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，

所以|AB|＝·＝，

Q到直线的距离d＝＝2，

所以△ABQ的面积S＝××2＝.

8．已知直线L的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.

(1)求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．

解：(1)由(t为参数)，得L的普通方程为2x＋y－6＝0，

令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

得直线L的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，

由曲线C的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1.

(2)由(1)，知直线L的普通方程为2x＋y－6＝0，

设曲线C上任意一点P(cos α，2sin α)，

则点P到直线L的距离d＝.

由题意得|PA|＝＝，

所以当sin＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.