2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题五　三角恒等变换与解三角形

重点增分专题五　三角恒等变换与解三角形

[全国卷3年考情分析]

(1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．

(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．

(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．

    保分考点·练后讲评

[大稳定]

1.＝(　　)

A．－　　　　　　　　 　B．－1

C.   D．1

解析：选D　原式＝2×＝2×＝ 2sin 30°＝1.故选D.

2.(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)

A.   B.

C．－   D．－

解析：选B　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.

3.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　∵0<α<，0<β<，

∴－<α－β<.

∵sin(α－β)＝－，sin α＝，

∴cos(α－β)＝，cos α＝，

∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝，∴β＝.

[解题方略]　三角函数求值的类型及方法

 [小创新]

1.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log 2等于(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

解析：选C　因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，

 sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，

所以log2＝log52＝4.故选C.

2.已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)

A．－   B．－

C．－   D．－

解析：选A　由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，所以sin＝sin αcos－cos αsin＝－，故选A.

3.设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan＝________.

解析：∵a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，

∴tan＝＝＝.

答案：

[分点研究]

题型一　利用正、余弦定理进行边、角计算

[例1]　(2018·石家庄质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B.

(1)求角A的大小；

(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c.

[解]　(1)∵在△ABC中，＝tan A＋tan B，

∴＝＋，

即＝，

∴＝，则tan A＝，

又0<A<π，∴A＝.

(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7，

得cos∠BDC＝＝－，

又0<∠BDC<π，∴∠BDC＝.

又A＝，∴△ABD为等边三角形，∴c＝5.

[变式1]　若本例(2)变为：a＝，求b＋c的取值范围．

解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，

可得b2＋c2－3＝bc，

即(b＋c)2－3＝3bc≤(b＋c)2，当且仅当b＝c时取等号，

∴b＋c≤2，

又由两边之和大于第三边可得b＋c>，

∴b＋c∈(，2]．

[变式2]　若本例(2)变为：AD⊥BC，且a＝，求AD的取值范围．

解：∵S△ABC＝AD·BC＝bcsin A，

∴AD＝bc.

由余弦定理得cos A＝＝≥，

∴0<bc≤3(当且仅当b＝c时等号成立)，

∴0<AD≤，

即AD的取值范围为.

[解题方略]　正、余弦定理的适用条件

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．

(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．

[注意]　应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．

题型二　利用正、余弦定理进行面积计算

[例2]　(2018·郑州第二次质量预测)已知△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C，c＝3.

(1)求A；

(2)若AD是BC边上的中线，AD＝，求△ABC的面积．

[解]　(1)对于2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C，

由正弦定理得，

bsin B－asin A＝bsin C－csin C，即b2－a2＝bc－c2，

所以cos A＝＝.

因为0°<A<180°，所以A＝60°.

(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线．

在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝2AD＝，

由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos 120°，

即19＝9＋AC2－2×3×AC×，解得AC＝2.

故S△ABC＝bcsin∠BAC＝.

[解题方略]　三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．

(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．

题型三　正、余弦定理的实际应用

[例3]　如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m.

[解析]　设CD＝h，则AD＝，BD＝h.

在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，

则由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，

可得1302＝3h2＋－2·h··，

解得h＝10，故塔的高度为10 m.

[答案]　10

[解题方略]　解三角形实际应用问题的步骤

 [多练强化]

1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A．4　　　　　　　　　  B.

C.   D．2

解析：选A　∵cos＝，

∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.

在△ABC中，由余弦定理，

得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，

∴AB＝4.

2．甲船从位于海岛B正南10海里的A处，以4海里/时的速度向海岛B行驶，同时乙船从海岛B以6海里/时的速度向北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为________小时．

解析：如图，设经过x小时后，甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，则AD＝4x，BC＝6x，则BD＝10－4x，由余弦定理得，CD2＝(10－4x)2＋(6x)2－2×(10－4x)×6xcos 120°＝28x2－20x＋100＝282＋.若甲船行驶2.5小时，则甲船到达海岛B，因而若x<2.5，则当x＝时距离最小，且最小距离为 ＝，若x≥2.5，则BC≥6×2.5＝15>，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间为小时．

答案：

3．(2018·南宁摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1＋cos B)＝b(2－cos C)．

(1)求证：2b＝a＋c；

(2)若B＝，△ABC的面积为4，求b.

解：(1)证明：∵c(1＋cos B)＝b(2－cos C)，

∴由正弦定理可得sin C＋sin Ccos B＝2sin B－sin Bcos C，

可得sin Ccos B＋sin B cos C＋sin C＝2sin B，

sin(B＋C)＋sin C＝2sin B，

∴sin A＋sin C＝2sin B，

∴a＋c＝2b.

(2)∵B＝，

∴△ABC的面积S＝acsin B＝ac＝4，

∴ac＝16.

由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.

∵a＋c＝2b，∴b2＝4b2－3×16，解得b＝4.

  解三角形与三角函数的交汇问题 

[典例]　如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.

(1)求△ABC的面积；

(2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0)，若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)M>0，ω>0，|φ|<的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式．

[解]　(1)在△ABC中，由角B，A，C成等差数列，得B＋C＝2A，

又A＋B＋C＝π，所以A＝.

设角A，B，C的对边分别为a，b，c，

由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos ，

所以c2－10c－125＝0，解得c＝AB＝5＋5.

因为CO＝10×sin ＝5，

所以S△ABC＝×(5＋5)×5＝(3＋)．

(2)因为AO＝10×cos ＝5，

所以函数f(x)的最小正周期T＝2×(10＋5)＝30，

故ω＝.

因为f(－5)＝Msin＝0，

所以sin＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z.

因为|φ|<，所以φ＝.

因为f(0)＝Msin ＝5，所以M＝10，

所以f(x)＝10sin.

[解题方略]　解三角形与三角函数交汇问题一般步骤

[多练强化]

(2019届高三·辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.

(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；

(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．

解：(1)f(x)＝cos2x－sin xcos x－

＝－sin 2x－

＝－sin，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，

∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，和.

(2)由(1)知f(x)＝－sin，

∴f(A)＝－sin＝－1，

∵△ABC为锐角三角形，∴0<A<，

∴－<2A－<，

∴2A－＝，即A＝.

又bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，

∴S△ABC＝bcsin A＝.

数学建模——解三角形的实际应用

[典例]　为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.

(1)求A，C两地间的距离；

(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340 m/s)

[解]　(1)设BC＝x m，由条件可知AC＝x＋×340＝(x＋40)m.

在△ABC中，由余弦定理，可得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，

即x2＝1002＋(x＋40)2－2×100×(x＋40)×，

解得x＝380.

所以AC＝380＋40＝420(m)，

故A，C两地间的距离为420 m.

(2)在Rt△ACH中，AC＝420，∠HAC＝30°，

所以HC＝ACtan 30°＝420×＝140，

故这种仪器的垂直弹射高度为140 m.

[素养通路]

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．

本题中把求A，C两地间的距离问题建立数学模型，在△ABC中，通过解三角形求AC的长，把求高度HC建立数学模型，在Rt△ACH中，通过解三角形求HC的长．考查了数学建模这一核心素养．