2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第三层级难点自选专题四 “函数与导数”压轴大题的抢分策略
展开难点自选专题四 “函数与导数”压轴大题的抢分策略
[全国卷3年考情分析]
年份 | 全国卷Ⅰ | 全国卷Ⅱ | 全国卷Ⅲ |
2018 | 利用导数研究函数的单调性、函数极值与不等式证明·T21 | 函数的单调性、不等式的证明、函数的零点问题·T21 | 导数在研究不等式及极值问题的应用·T21 |
2017 | 利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题·T21 | 利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明·T21 | 导数在研究函数单调性中的应用、不等式的放缩·T21 |
2016 | 利用导数解决函数的零点问题、不等式的证明·T21 | 利用导数判断函数的单调性、不等式证明及值域问题·T21 | 三角函数的导数运算、最值问题及不等式证明·T21 |
导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题，是高考的热点和难点．
解答题的热点题型有：
(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值．
考法·策略(一) 利用分类讨论思想探究函数的性质
[典例] 设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
[解] (1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．
所以g′(x)＝－2a＝.
当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；
当a＞0，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减．
所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当a≤0时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当0＜a＜时，＞1，由(1)知f′(x)在内单调递增，可得当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
④当a＞时，0＜＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意．
综上可知，实数a的取值范围为.
[题后悟通] 分类讨论思想解决有关函数性质问题的策略
(1)何时讨论参数？
在求解中，若参数的取值影响所求结果，就要分类讨论．如本例(1)中由g′(x)＝确定单调区间时，对a的取值要分类讨论．
(2)如何讨论参数？
解答此类问题的关键是如何分类，分类时要结合题目条件，对参数取值范围进行划分，进而研究其问题．如本例(2)中分类的依据是与1的大小比较．
[应用体验]
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋aln x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，
证明：<a－2.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝－.
①若a≤2，则f′(x)≤0，
当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②若a>2，令f′(x)＝0，
得x＝或x＝.
当x∈∪时，
f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
(2)证明：由(1)知，当且仅当a>2时，f(x)存在两个极值点．
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，
所以x1x2＝1，不妨设x1<x2，则x2>1.
由于＝－－1＋a·
＝－2＋a·＝－2＋a·，
所以<a－2等价于－x2＋2ln x2<0.
设函数g(x)＝－x＋2ln x，
由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0.
所以－x2＋2ln x2<0，
即<a－2.
考法·策略(二) 利用转化与化归思想探究函数的零点问题
[典例] 函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．
[解] (1)由题意知，f′(x)＝a＋ln x＋1(x>0)，
f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋xln x，
即f′(x)＝ln x，
令f′(x)>0，解得x>1；
令f′(x)<0，解得0<x<1.
所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)上有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m＋1在(0，＋∞)上有两个不同的根，也可转化为y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，
由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①
当0<x<1时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；
当x>0且x→0时，f(x)→0；
当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.
如图，由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②
由①②可得－2<m<－1.
故实数m的取值范围为(－2，－1)．
[题后悟通] 转化与化归思想解决函数零点问题的策略
(1)直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．
(2)分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．如本例函数y＝f(x)－m－1的零点问题即可转化为y＝f(x)与y＝m＋1两图象的交点问题．
[应用体验]
2．已知函数f(x)＝的图象在x＝e处的切线经过点(1，e)，其中e＝2.718 28….
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)＝tf(x)－x在∪(1，e2]上有两个零点，求实数t的取值范围．
解：(1)由题意，得函数f(x)＝的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．
因为f′(x)＝，所以f′(e)＝ae.
所以f(x)的图象在x＝e处的切线方程为y－f(e)＝f′(e)(x－e)，
即y－ae2＝ae(x－e)，所以y＝eax.
因为f(x)的图象在x＝e处的切线经过点(1，e)，
所以a＝1.
(2)函数g(x)＝tf(x)－x在∪(1，e2]上有两个零点等价于函数h(x)＝与y＝t的图象在∪(1，e2]上有两个不同的交点．
因为h′(x)＝，
由h′(x)＞0，得0＜x＜e且x≠1；
由h′(x)＜0，得x＞e.
所以当x＝e时，h(x)有极大值，即为最大值h(e)＝.
又因为h＝－e，h(e2)＝，h(1)＝0
且＞0＞－e，
所以实数t的取值范围为.
考法·策略(三) 利用函数思想探究不等式问题
[典例] 已知函数f(x)＝ln x－a(x＋1)，a∈R的图象在(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若存在x0＞1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)－＋2x＋＞k(x－1)成立，求k的取值范围．
[解] (1)由已知可得f(x)的定义域为(0，＋∞)．
∵f′(x)＝－a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，
∴f′(x)＝－1＝，
令f′(x)＞0，得0＜x＜1；令f′(x)＜0，得x＞1，
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)＝ln x－x－1，不等式f(x)－＋2x＋＞k(x－1)可化为ln x－＋x－＞k(x－1)，令g(x)＝ln x－＋x－－k(x－1)，
则g′(x)＝－x＋1－k＝.
令h(x)＝－x2＋(1－k)x＋1，
则h(x)的对称轴为直线x＝，
①当≤1，即k≥－1时，易知h(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴x∈(1，＋∞)时，h(x)＜h(1)＝1－k，
若k≥1，则h(x)＜0，∴g′(x)＜0，∴g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)＜g(1)＝0，不符合题意．
若－1≤k＜1，则h(1)＞0，∴存在x0＞1，使得x∈(1，x0)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，
∴g(x)在(1，x0)上单调递增，
∴g(x)＞g(1)＝0恒成立，符合题意．
②当＞1，即k＜－1时，易知存在x0＞1，
使得h(x)在(1，x0)上单调递增，
∴h(x)＞h(1)＝1－k＞0，∴g′(x)＞0，
∴g(x)在(1，x0)上单调递增，
∴g(x)＞g(1)＝0恒成立，符合题意．
综上，k的取值范围是(－∞，1)．
[题后悟通] 函数思想解决不等式问题的策略
移项法 | 证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)(如本例) |
构造“形似” 函数 | 对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数 |
主元法 | 对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x)) |
[应用体验]
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.
由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.
从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.
可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f′(2)＝0，
所以当0<x<2时，f′(x)<0；
当x>2时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，
单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.
设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.
可知g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g′(1)＝0，
所以当0<x<1时，g′(x)<0；
当x>1时，g′(x)>0.
所以x＝1是g(x)的最小值点．
故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f(x)≥0.
