2019版数学（文）二轮复习通用版讲义：专题四第三讲专题提能——优化思路上高度全面清障把漏补

第三讲  专题提能——优化思路上高度，全面清障把漏补

[例1]　(2018·河南郑州一中月考)已知正六边形ABCDEF的边长为1，若在其内部随机取一点M，则使△MAB的面积大于的概率为________．

[解析]　因为△MAB的面积大于，所以点M到AB的距离大于，即点M在如图所示的阴影部分内，所以使△MAB的面积大于的概率为.

[答案]　

[微评]　(1)求解有关几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点且点在线段上(平面区域内、空间区域内)活动时，用线段长度比(面积比、体积比)计算．

(2)求解此类题的注意点：一是判断试验中所有可能出现的结果(基本事件)是否有无限多个；二是验证每个基本事件的发生是否具有等可能性，只有每个基本事件发生的可能性都相等时，才可以用几何概型的概率计算公式破解.

[例2]　随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司2017年10月至2018年3月这六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图，如图所示．

(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2018年4月份(x＝7)的市场占有率；

(2)为进一步扩大市场，M公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1 000元/辆和1 200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率)会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车(各100辆)进行科学模拟测试，得到两款单车的使用寿命频数表如下：

　　经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的平均值为决策依据，你会选择采购哪款车型？

参考公式：＝，＝－.

[解]　(1)由折线图中所给的数据，

可得＝＝3.5，

＝＝16.

＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，

iyi＝11＋26＋48＋60＋100＋126＝371，

所以＝

＝＝2，

所以＝16－2×3.5＝9.

所以月度市场占有率y与月份代码x之间的线性回归方程为＝2x＋9.

当x＝7时，＝2×7＋9＝23.

故预计M公司2018年4月份的市场占有率为23%.

(2)由频率估计概率，每辆A款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1，所以每辆A款车可产生的利润的平均值为A＝(500－1 000)×0.2＋(1 000－1 000)×0.35＋(1 500－1 000)×0.35＋(2 000－1 000)×0.1＝175(元)．

由频率估计概率，每辆B款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2，

所以每辆B款车可产生的利润的平均值为B＝(500－1 200)×0.1＋(1 000－1 200)×0.3＋(1 500－1 200)×0.4＋(2 000－1 200)×0.2＝150(元)．

因为A>B，所以应该采购A款车型．

[微评]　解此类题时需要特别注意的地方：一是利用公式求解回归直线的斜率和回归直线的截距及将他们代入线性回归方程时，不要搞混，一定要注意它们的区别；二是已知解释变量的某个值去预测相应的预报变量的值时，常把已知的x的值代入线性回归方程＝x＋中，求出.若线性回归方程中有参数，则可根据回归直线一定经过样本点的中心(，)，求出参数值．

[例3]　沃尔玛超市为了了解某分店的销售情况，在该分店的电脑小票中随机抽取200张进行统计，将小票上的消费金额(单位：元)分成6组，分别是[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600]，制成如图所示的频率分布直方图(假设抽到的消费金额均在[0,600]内)．

(1)求消费金额在[300,600]内的小票张数；

(2)为做好今年的“双十二”促销活动，该分店设计了两种不同的促销方案．

方案一：全场商品打八五折．

方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．

利用频率分布直方图中的信息，分析哪种方案优惠力度更大，并说明理由．

[解]　(1)由频率分布直方图可知，消费金额在[300,600]内的频率为0.003 0×100＋0.001 0×100＋0.000 5×100＝0.45.

所以消费金额在[300,600]内的小票张数为0.45×200＝90.

(2)由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05.

若采用方案一，则购物的平均费用为

0．85×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)

＝0.85×275＝233.75(元)．

若采用方案二，则购物的平均费用为50×0.1＋(150－20)×0.2＋(250－20)×0.25＋(350－80)×0.3＋(450－80)×0.1＋(550－120)×0.05＝228(元)．

因为233.75>228，

所以方案二的优惠力度更大．

[微评]　此类以频率分布直方图为背景的方案决策型问题的易错点有两处：一是观图算频率出错，需注意频率分布直方图的纵轴表示的是“”；二是求平均数出错，即利用频率分布直方图估计平均数出错，从而作出错误的决策，需认真审题与认真运算，避开此类错误．

数形结合思想——求解几何概型问题

[典例]　已知三点A(2,1)，B(1，－2)，C，动点P(a，b)满足0≤OP―→·OA―→≤2，且0≤OP―→·OB―→≤2，则动点P到点C的距离小于的概率为________．

[解析]　∵A(2,1)，B(1，－2)，∴ ·＝2a＋b，·＝a－2b，∵0≤·≤2，且0≤·≤2，∴0≤2a＋b≤2，且0≤a－2b≤2，作出不等式表示的平面区域如图中正方形OEFG所示，

∵|CP|<，∴点P对应的区域为以C为圆心，为半径的圆的内部，如图中阴影部分所示．

由解得

即E，

|OE|＝ ＝，

∴正方形OEFG的面积为×＝，

又阴影部分的面积为π×2＝，

∴根据几何概型的概率计算公式可知所求的概率为＝.

[答案]　

[微评]　本题将条件0≤·≤2与0≤·≤2转化为正方形OEFG的面积，将动点P到点C的距离小于转化为圆C的面积，然后借助数形结合及几何概型的概率公式求解．

分层抽样的5种考法

[题根探究]

[典例]　(2018·福建德化一中期末)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为(　　)

A．25,25,25,25　　　　　 　B．48,72,64,16

C．20,40,30,10   D．24,36,32,8

[解析]　法一：因为抽样比为＝，所以每类人中应抽选出的人数分别为4 800×＝24,7 200×＝36,6 400×＝32,1 600×＝8.故选D.

法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2.

所以每类人中应抽选出的人数分别为×100＝24，×100＝36，×100＝32，×100＝8，故选D.

[答案]　D

[考查角度]　分层抽样是统计的常用方法，通过样本的考察得到总体的规律．

[变式应用]

[变式1]　交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)

A．101   B．808

C．1 212   D．2 012

解析：选B　N＝96＋21×＋25×＋43×＝808.选B.

[变式2]　某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h、1 020 h、1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________(单位：h)．

解析：＝＝1 013.

答案：1 013

[变式3]　一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：

则样本数据落在(10,40]上的频率为________．

解析：由题意可知，落在(10,40]的样本频数为13＋24＋15＝52，由频率＝频数÷总数，可得频率为0.52.

答案：0.52

[变式4]　某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图所示的是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，

[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98并且小于104克的产品的个数是________．

解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120.净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.

答案：90

A组——易错清零练

1．在区间[0,1]上任意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为(　　)

A.　　　　　　　　  　B.

C.   D.

解析：选B　如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得 ≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.

2．(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：

根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则表中m的值为(　　)

A．45   B．50

C．55   D．60

解析：选D　∵＝＝5，

＝＝，

∴当＝5时，＝6.5×5＋17.5＝50，

∴＝50，解得m＝60.

3．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．

解析：前三组人数为100－62＝38，

第三组人数为38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，

则a＝22＋0.32×100＝54.

答案：54

4．在边长为2的正方形ABCD内任取一点M，满足·≤0的概率为________．

解析：在边长为2的正方形ABCD内任取一点M，满足·≤0即满足90°≤∠AMB≤180°的点M所在的区域为如图所示的阴影部分．根据几何概型的概率计算公式，得·≤0的概率为＝.

答案：

5．将一颗骰子投掷两次分别得到的点数记为(a，b)，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．

解析：因为直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交，所以圆心(2,0)到直线ax－by＝0的距离<，整理得a<b.由题意知，有序整数对(a，b)共有36个，其中a<b的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共有15种．所以直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率P＝＝.

答案：

B组——方法技巧练

1．点(a，b)是区域内的任意一点，则使函数f(x)＝ax2－2bx＋3在区间上是增函数的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　作出不等式组表示的平面区域如图所示，可行域为△OAB及其内部(不包括边OA，OB)，其中A(0,4)，B(4,0)．若函数f(x)＝ax2－2bx＋3在区间上是增函数，则即则满足条件的(a，b)所在区域为△OBC及其内部(不包括边OB)．

由得∴C，∴S△OBC＝×4×＝，又S△OAB＝×4×4＝8，∴所求的概率P＝＝.

2．(2018·哈尔滨四校统考)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是(　　)

A．13,12   B．13,13

C．12,13   D．13,14

解析：选B　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝a＝64，即(8－2d)(8＋4d)＝64，又d≠0，所以d＝2，故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为＝＝13，中位数为＝13.

3．(2019届高三·沧州联考)已知函数f(x)＝，在区间(－1,4)上任取一点，则使f′(x)＞0的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　f′(x)＝，由f′(x)＞0可得f′(x)＝＞0，解得0＜x＜2，根据几何概型的概率计算公式可得P＝＝.

4．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲＞乙的概率是________．

解析：由茎叶图知乙＝＝90，

甲＝＝89＋.

污损处可取数字0,1,2，…，9，共10种，

而甲＞乙时，污损处对应的数字有6,7,8,9，共4种，故甲＞乙的概率为＝.

答案：

C组——创新应用练

1．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　如图，设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，其内接正方形CEDF的边长为x，

则由△ADF∽△ABC，得＝，

即＝，解得x＝.

从而正方形CEDF的面积为S正方形CEDF＝2，

又Rt△ABC的面积为S△ABC＝，所以所求概率P＝＝＝＝，故选C.

2．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　由题意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为m⊥n，所以m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有：(3,3)，(5,5)，共2种情况，故所求概率为＝.故选A.

3．(2018·武汉调研)在一次对人们的休闲方式的调查中，用简单随机抽样方法调查了125人，其中女性70人，男性55人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动．

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为主要的休闲方式与性别有关？

(3)在主要的休闲方式为看电视的人中按分层抽样的方法选取6人参加某机构组织的健康讲座，讲座结束后再从这6人中选取2人做反馈交流，求参加交流的恰好为2位女性的概率．

附：

K2＝.

解：(1)2×2列联表如下表：

(2)由题意得K2＝≈5.328.

因为5.328>5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为主要的休闲方式与性别有关．

(3)主要的休闲方式为看电视的共60人，按分层抽样的方法选取6人，则男性有×20＝2人，可记为A，B，女性有×40＝4人，可记为c，d，e，f.

现从6人中选取2人，总的基本事件有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个，选取的2人恰好都是女性的基本事件有cd，ce，cf，de，df，ef，共6个，故所求概率P＝＝.

4．已知某产品的收益率的频率分布直方图如图所示．

(1)试估计该产品收益率的众数与中位数；

(2)若该产品的售价x(单位：元/万份)与销量y(单位：万份)之间有较强的线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下表所示的5组数据：

根据表中数据算出y关于x的线性回归方程为＝－x＋10.0，求此线性回归方程；

(3)若从表中5组销量数据中随机抽取2组，求抽到的2组的销量都超过5万份的概率．

解：(1)由频率分布直方图，可得该产品收益率的众数为＝0.35；

设该产品收益率的中位数为a，则0.1＋0.2＋2.5×(a－0.2)＝0.5，解得a＝0.28.

(2)因为＝＝＝38，

＝＝＝6.2，

因为＝－·＋10.0，

所以＝＝0.1.

所以线性回归方程为＝－0.1x＋10.0.

(3)设事件M为“抽到的2组的销量都超过5万份”，

则从5组中任意抽取2组，共有10种不同的结果，分别为：

{7.5,7.1}，{7.5,6.0}，{7.5,5.6}，{7.5,4.8}，{7.1，6.0}，{7.1,5.6}，{7.1,4.8}，{6.0,5.6}，{6.0,4.8}，{5.6，4.8}．

其中事件M所含的基本事件为{7.5,7.1}，{7.5,6.0}，{7.5,5.6}，{7.1,6.0}，{7.1,5.6}，{6.0,5.6}，共6种．

所以P(M)＝＝0.6.