2019版数学（理）二轮复习通用版讲义：专题四第二讲小题考法——概率、统计、统计案例

第二讲 小题考法——概率、统计、统计案例

考点(一) 用样本估计总体


主要考查用统计图表以及利用样本的数字特征估计总体，且以统计图表的考查为主.

[典例感悟]
[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
(2)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是(　　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
(3)(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为(　　)

A．5　　　　　　　　　 B．7
C．10 D．50
[解析]　(1)标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.
(2)根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A错误．由图可知，B、C、D正确．
(3)根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，故选D.
[答案]　(1)B　(2)A　(3)D
[方法技巧]
1．样本方差、标准差的计算与含义
(1)计算：计算方差或标准差首先要计算平均数，然后再按照方差或标准差的计算公式进行计算．
(2)含义：方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差和标准差大说明波动大．
2．频率分布直方图中常见问题及解题策略
(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．
(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．

[演练冲关]
1．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是(　　)
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析：选A　设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.
新农村建设前后，各项收入的对比如下表：

新农村建设前
新农村建设后
新农村建设后变化情况
结论
种植收入
60%a
37%×2a＝74%a
增加
A错
其他收入
4%a
5%×2a＝10%a
增加一倍以上
B对
养殖收入
30%a
30%×2a＝60%a
增加了一倍
C对
养殖收入＋第三产业收入
(30%＋6%)a＝36%a
(30%＋28%)×2a＝116%a
超过经济收入2a的一半
D对
故选A.
2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示：
用电量/度
120
140
160
180
200
户数
2
3
5
8
2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是(　　)
A．180,170 B．160,180
C．160,170 D．180,160
解析：选A　用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B，C；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故
这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.
3.(2018·武汉调研)从某选手的7个得分中去掉1个最高分，去掉一个最低分后，剩余5个得分的平均数为91分，如图所示是该选手得分的茎叶图，其中有一个数字模糊，无法辨认，在图中用x表示，则剩余5个得分的方差为________．
解析：去掉一个最高分99分，一个最低分87分，剩余的得分为93分，90分，(90＋x)分，91分，87分，则＝91，解得x＝4，所以这5个数的方差s2＝[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6.
答案：6
考点(二) 变量间的相关关系、统计案例


主要考查线性回归方程的求解及应用，对独立性检验的考查较少.
[典例感悟]
[典例]　(1)(2018·豫东、豫北十所名校联考)根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
y
4.0
a－5.4
－0.5
0.5
b－0.6
得到的回归方程为＝bx＋a.若样本点的中心为(5,0.9)，则当x每增加1个单位时，y就(　　)
A．增加1.4个单位　　　 B．减少1.4个单位
C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位
(2)通过随机询问110名学生是否爱好打篮球，得到如下的列联表：

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表：得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别无关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别有关”
C．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别无关”
D．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”
[解析]　(1)依题意得，＝0.9，故a＋b＝6.5；①
又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b＋a，②
联立①②，解得b＝－1.4，a＝7.9，
则＝－1.4x＋7.9，
可知当x每增加1个单位时，y就减少1.4个单位．
(2)因为K2＝≈7.822>6.635，
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，
即有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”．
[答案]　(1)B　(2)D
[方法技巧]
求回归直线方程的关键及实际应用
(1)求回归直线方程的关键是正确理解，的计算公式和准确地求解．
(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．
[演练冲关]
1．(2018·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：
广告费x
2
3
4
5
6
销售额y
29
41
50
59
71
由上表可得回归方程为＝10.2x＋，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为(　　)
A．101.2万元 B．108.8万元
C．111.2万元 D．118.2万元
解析：选C　根据统计数据表，可得＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线＝10.2x＋经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋，解得＝9.2，∴回归方程为＝10.2x＋9.2.当x＝10时，y＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.
2．(2019届高三·湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>3.841，那么有把
握认为“X和Y有关系”的百分比为(　　)
P(K2>k0)
0.50
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
A.5% B．75%
C．99.5% D．95%
解析：选D　由表中数据可得，当k>3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.
考点(三) 古典概型与几何概型



主要考查古典概型与几何概型及其概率公式的应用.
[典例感悟]
[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
(3)(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
[解析]　(1)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S黑＝S圆＝，故此点取自黑色部分的概率P＝＝.
(2)记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a＞b的数组共有10个，分别
为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，
因此所求的概率P＝＝.
(3)法一：∵S△ABC＝AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为π·2＝AB2，以AC为直径的半圆的面积为π·2＝AC2，以BC为直径的半圆的面积为π·2＝BC2，
∴SⅠ＝AB·AC，SⅢ＝BC2－AB·AC，
SⅡ＝－
＝AB·AC.
∴SⅠ＝SⅡ.
由几何概型概率公式得p1＝，p2＝，
∴p1＝p2.故选A.
法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，
AB＝AC＝2，则BC＝2，
所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，
为S1＝×2×2＝2，
区域Ⅱ的面积S2＝π×12－＝2，
区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2.
根据几何概型的概率计算公式，
得p1＝p2＝，p3＝，
所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.
[答案]　(1)B　(2)D　(3)A
[方法技巧]
1．古典概型概率的求解关键及注意点
(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数．
(2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏．
2．几何概型的适用条件及求解关键
(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
[演练冲关]
1．(2019届高三·湘中名校联考)从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　从集合A，B中随机选取一个数后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9对，要使直线ax－y＋b＝0不经过第四象限，则需a≥0，b≥0，共有2对满足，所以所求概率P＝，故选A.
2．(2018·贵阳模拟)某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由几何概型的概率计算公式可知所求概率P＝＝，故选D.
3．(2018·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故选A.
考点(四)
条件概率、相互独立事件与二项分布
主要考查条件概率、相互独立事件概率及二项分布的应用.
[典例感悟]
[典例]　(1)(2018·武昌调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　　)
A. B.
C. D.
(3)某批花生种子，如果每1粒发芽的概率均为，那么播下4粒种子恰好有2粒发芽的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，4个人去的景点不同有A＝4×3×2×1＝24种情况，∴P(A|B)＝＝.
(2)记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai、Bi、Ci，i＝1、2、3.
由题意知，事件Ai、Bi、Ci(i＝1、2、3)相互独立，
则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，
P(Ci)＝＝，
故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.选D.
(3)P＝C×2×2＝.
[答案]　(1)A　(2)D　(3)C

[方法技巧]
1．条件概率的求法
(1)利用定义，先分别求出P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求得．这是通用的求条件概率的方法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
2．复杂事件概率的求法
(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．
(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少时，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．
[演练冲关]
1．(2018·广西三市联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：
使用时间/天
10～20
21～30
31～40
41～50
51～60
个数
10
40
80
50
20
若将频率视作概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为＝，则所求概率为C·2×＋3＝.
2．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)＝＝，P()＝1－＝；由条件概率公式知P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝.从而P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)·P(B)＋P(A|)·P()＝，故选A.
3．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4).
所以要使△MAB的面积大于，只需满足h>，即需使M位于CF的上方．
故由几何概型得，△MAB的面积大于的概率P＝＝.
答案：
6．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．
解析：总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量为n时，由题意可知，系统抽样的抽样距为，分层抽样的抽样比是，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×＝，篮球运动员人数为12×＝，足球运动员人数为18×＝，可知n应是6的倍数，36的约数，故n＝6,12,18.
当样本容量为n＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为，因为必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n为6.
答案：6