2020届高考数学二轮教师用书：第二章第3节　函数的奇偶性与周期性

第3节　函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有　f(x＋T)＝f(x)　，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中　存在一个最小　的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的　最小　正周期．

1.函数奇偶性的四个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

(4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函数＝偶函数，奇函数＋奇函数＝奇函数，偶函数·偶函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数·偶函数＝奇函数．奇函数＋偶函数＝非奇非偶函数．

2．函数周期性的三个常用结论

对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.

3．函数对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　 )

(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　 )

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　 )

(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　 )

(5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．

(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 020)＝0.(　　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)√

[小题查验]

1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　 )

A．－　　　　　　　 B.

C.  D．－

解析：B　[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝，则a＋b＝.]

2．下列函数为奇函数的是(　　 )

A．y＝2x－  B．y＝x3sin x

C．y＝2cos x＋1  D．y＝x2＋2x

解析：A　[由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数为偶函数，D中的函数为非奇非偶函数，只有A中的函数为奇函数，故选A.]

3．(2019·葫芦岛市一模)设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝(　　 )

A．10  B.

C．－10  D．－

解析：B　[因为f(x＋3)＝－，故有f(x＋6)＝－＝－＝f(x)，

所以函数f(x)是以6为周期的函数．

所以f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝f(5.5)＝－＝－＝－＝.]

4．(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)

A．e－x－1  B．e－x＋1

C．－e－x－1  D．－e－x＋1

解析：D　[当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝e－x－1，

又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝e－x－1，

即f(x)＝－e－x＋1.]

5．(教材改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为　________　.

解析：由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，

∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.

综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．

答案：(－2,0)∪(2,5]

考点一　判断函数的奇偶性(自主练透)

[题组集训]

1．下列函数为奇函数的是(　　 )

A．y＝　　　　　　　 B．y＝|sin x|

C．y＝cos x  D．y＝ex－e－x

解析：D　[因为函数y＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y＝为非奇非偶函数，排除A；因为y＝|sin x|为偶函数，所以排除B；因为y＝cos x为偶函数，所以排除C；因为y＝f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝ex－e－x为奇函数，故选D.]

2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　 )

A．f(x)g(x)是偶函数  B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数  D．|f(x)g(x)|是奇函数

解析：C　[依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．]

3．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝

解：(1)由得x2＝3，解得x＝±，

即函数f(x)的定义域为{－，}，

从而f(x)＝＋＝0.

因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.

又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．

判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：

(2)图象法：

(3)性质法：

①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；

②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；

③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．

提醒：①“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

②判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

考点二　函数奇偶性的应用(多维探究)

[命题角度1]　利用奇偶性求函数值　

1．(2019·潍坊市一模)若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－3))＝(　　 )

A．－3　　　　　　　　　 B．－2

C．－1  D．0

解析：B　[法一：∵函数f(x)＝为奇函数，∴g(－3)＝－f(3)＝－(log33－2)＝1，

∴f(g(－3))＝f(1)＝log31－2＝0－2＝－2.故选B.

法二：当x<0时，－x>0，f(－x)＝log3(－x)－2，

∴f(x)＝－f(－x)＝－log3(－x)＋2，

即g(x)＝－log3(－x)＋2，∴g(－3)＝－log33＋2＝1，

∴f(g(－3))＝f(1)＝log31－2＝0－2＝－2.故选B.]

[命题角度2]　利用奇偶性求参数值　

2．(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝　________　.

解析：∵f(ln 2)＝－f(－ln 2)＝－(－e－aln 2)＝(eln 2)－a＝2－a＝8，∴a＝－3.

答案：－3

[命题角度3]　利用奇偶性求解析式　

3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝　________　.

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.

又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.

又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则f(x)＝－x2－4x(x<0)，

∴f(x)＝

答案：

[命题角度4]　利用奇偶性的图象特征解不等式　

4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　 )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－1,2)

C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：C　[∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2<a<1.]

应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法

(1)求函数值

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

(2)求解析式

将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．

(3)求函数解析式中参数的值

利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．

(4)画函数图象和判断单调性

利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．

考点三　函数周期性的应用(师生共研)

[典例]　(1) x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　 )

A．奇函数　　　　　　 B．偶函数

C．增函数  D．周期函数

(2)(2019·济宁市一模)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.则f(2017)＋f(2018)的值为(　　 )

A．－2  B．－1

C．0  D．1

[解析]　(1)作出函数f(x)的图象，由图象可知选D.

(2)∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，

∴f(－x)＝－f(x)，由图象关于x＝1对称，得f(1＋x)＝f(1－x)，即f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，

∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴周期T＝4.

∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，

∴f(2017)＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(0)＝2－1＋1－1＝1.故选D.

[答案]　(1)D　(2)D

(1)判断函数周期性的两个方法

①定义法．　②图象法．

(2)函数周期性的重要应用

利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数，求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解．

易错警示：应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．

[跟踪训练]

(1)已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则f＝(　　 )

A．－  B．－

C.  D.

(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　 )

A．6  B．7

C．8  D．9

解析：(1)D　(2)B　[(1)由f(x－2)＝f(x＋2)，可知函数f(x)的最小正周期T＝4，又由于该函数是奇函数，故f＝f＝f＝－f

＝－＝.

(2)∵f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，

∴当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.

由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6也是f(x)＝0的根．

故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.]

1．(2020·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是(　　 )

A．y＝－x3　　　　　　 B．y＝2|x|

C．y＝x－2  D．y＝log3(－x)

解析：B　[选项A，函数是奇函数，不满足条件；选项B，函数是偶函数，当x＜0时，y＝2|x|＝2－x＝x是减函数，满足条件；选项C，函数是偶函数，当x＜0时，y＝x－2＝是增函数，不满足条件；选项D，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.]

2．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是(　　 )

A．(3，＋∞)  B．(－∞，－3)

C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)  D．(－1,3)

解析：D　[由偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，

得f(x)＝f(|x|)，

因为f(x－1)＞0，则f(|x－1|)＞f(2)，

即|x－1|＜2，解得－1＜x＜3，即x的取值范围是(－1,3)．故选D.]

3．(2020·保定市一模)已知函数f(x)＝

设g(x)＝，则g(x)是(　　)

A．奇函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增

B．奇函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减

C．偶函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增

D．偶函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减

解析：B　[根据题意，g(x)＝＝其定义域关于原点对称．

设x＞0，则－x＜0，g(－x)＝－＝－＝－g(x)；设x＜0，则－x＞0，g(－x)＝＝＝－g(x)，故g(x)为奇函数．又g(x)＝＝x－2在区间(0，＋∞)上递减，则g(x)在(－∞，0)上也递减．故选B.]

4．已知f(x)＝lg 是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)

A．(－1,0)  B．(0,1)

C．(－∞，0)  D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析：A　[∵f(x)＝lg 是奇函数，

∴f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg ＝0，解得a＝－1，即f(x)＝lg ，由f(x)＝lg <0，得0<<1，解得－1<x<0，故选A.]

5．(2020·安庆市模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x＋1)＝f(x－1)，且当－1＜x＜0时，f(x)＝2x－1，则f(log220)等于(　　 )

A.  B．－

C．－  D.

解析：D　[∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴函数f(x)是周期为2的周期函数，

又∵log232＞log220＞log216，∴4＜log220＜5，

∴f(log220)＝f(log220－4)＝f

＝－f.

又∵x∈(－1,0)时，f(x)＝2x－1，∴f

＝－，f(log220)＝.故选D.]

6．若函数f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，则a的值为(　　)

A．1  B．－1

C．±1  D．0

解析：C　[因为f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，所以1－a2＝0，即a＝±1.]

7．(2020·惠州市模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是　________　.

解析：根据题意，有f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，

又函数f(x)在R上为增函数，

f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥－f(1)，即f(2x＋1)≥f(－1)，

所以2x＋1≥－1，解得x≥－1，即不等式的解集为[－1，＋∞)．

答案：[－1，＋∞)

8．若f(x)＝k·2x＋2－x为偶函数，则k＝　______________　，若f(x)为奇函数，则k＝　________　.

解析：f(x)为偶函数时，f(－1)＝f(1)，即＋2＝2k＋，解得k＝1.f(x)为奇函数时，f(0)＝0，即k＋1＝0，所以k＝－1(或f(－1)＝－f(1)，即＋2＝－2k－，解得k＝－1)．

答案：1　－1

9．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，

要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．

结合f(x)的图象知

所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．

(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；

(2)若f(x)＝ (0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．

解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，

有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．

又函数f(x)是定义在R上的奇函数，

故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．

即f(x)是周期为4的周期函数．

(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.

x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－.

故x∈[－1,0]时，f(x)＝－.

x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，

f(x)＝f(x＋4)＝－.

从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.