2020届高考数学二轮教师用书：第二章第7节　函数的图象

第7节　函数的图象

1．利用描点法作函数的图象步骤

(1)确定函数的定义域；

(2)化简函数解析式；

(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；

(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)y＝　－f(x)　；

②y＝f(x)y＝　f(－x)　；

③y＝f(x)y＝　－f(－x)　；

④y＝ax(a>0且a≠1)y＝　logax(a>0且a≠1)　.

(3)伸缩变换

(4)翻转变换

①y＝f(x)y＝　|f(x)|　.

②y＝f(x)y＝　f(|x|)　.

1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．

2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝2|x|的图象关于直线x＝0对称．(　　)

(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

[小题查验]

1．(教材改编)函数y＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是(　　 )

解析：A　[y＝x|x|＝为奇函数，奇函数图象关于原点对称．]

2．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　 )

A．f(x)＝ex＋1　　　　　 B．f(x)＝ex－1

C．f(x)＝e－x＋1  D．f(x)＝e－x－1

解析：D　[依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]

3．函数f(x)＝－x的图象关于(　　 )

A．y轴对称  B．直线y＝－x对称

C．原点对称  D．直线y＝x对称

解析：C　[函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称. 故选C.]

4．为了得到函数f(x)＝log2x的图象，只需将函数g(x)＝log2的图象向　______　平移　______　个单位.

解析：g(x)＝log2＝log2x－3＝f(x)－3，

因此只需将函数g(x)的图象向上平移3个单位即可得到函数f(x)＝log2x的图象．

答案：上　3

5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是　________　.

解析：由题意a＝|x|＋x，

令y＝|x|＋x＝

图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解则a>0.

答案：(0，＋∞)

考点一　作函数的图象(自主练透)

[题组集训]

　分别作出下列函数的图象：

(1)y＝elnx；

(2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝a|x|(0<a<1)；

(4)y＝.

解析：(1)∵函数的定义域为{x|x>0}

且y＝elnx＝x(x>0)，

∴其图象如图(1)所示．

 (2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝

|log2(x＋1)|的图象，如图(2)所示．

(3)∵y＝ (0<a<1)，

∴只需作出0<a<1时函数y＝ax(x≥0)和y＝x(x<0)的图象，合起来即得函数y＝a|x|(0<a<1)的图象．如图(3)所示．

(4)∵y＝2＋，

故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)所示．

画函数图象的一般方法

(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．

(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

　易错警示：可先化简函数解析式，再利用图象的变换作图．

考点二　函数图象的识别(师生共研)

[典例]　(1)(2019·全国Ⅲ卷)函数y＝在[－6,6]的图像大致为(　　)

解析：B　[本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．设y＝f(x)＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C.又f(4)＝＞0，排除选项D；f(6)＝≈7，排除选项A，故选B.]

(2)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　 )

[解析]　D　[当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1＞2，故排除A，C，当x→＋∞时，y→1＋x，故排除B，满足条件的只有D.故选D.]

知式选图的策略

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特征点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象．

易错警示：注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．

[跟踪训练]

(1)(2018·全国Ⅲ卷)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　 )

解析：D　[当x＝0时，y＝2，排除选项A，B.

y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)，当x∈时，y′>0，排除选项C.故选D.]

(2)(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)

解析：D　[∵f(－x)＝－＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数，排除A，

又f(π)＝＝＞0，f＝＞1，排除B、C，故选D.]

1．函数f(x)＝则y＝f(x＋1)的图象大致是(　　)

解析：B　[将f(x)的图象向左平移一个单位即得到y＝f(x＋1)的图象．故选B.]

2．设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(　　)

A．－1　　　　　　　　 B．1

C．2  D．4

解析：C　[设P(x，y)为y＝f(x)上的任一点，其关于y＝－x对称的点P′(－y，－x)，

代入可得y＝－log2(－x)＋a，又f(－2)＋f(－4)＝2a－3＝1，所以a＝2，故选C.]

3．(2020·泸州市模拟)函数y＝xln |x|的大致图象是(　　 )

解析：C　[令f(x)＝xln |x|，易知f(－x)＝－xln|－x|＝－xln|x|＝－f(x)，所以该函数是奇函数，排除选项B；

又x＞0时，f(x)＝xln x，容易判断，当x→＋∞时，xln x→＋∞，排除D选项；

令f(x)＝0，得xln x＝0，所以x＝1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选C.]

4．(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)

A．y＝ln(1－x)  B．y＝ln(2－x)

C．y＝ln(1＋x)  D．y＝ln(2＋x)

解析：B　[因为f(x)关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝ln(2－x)．故选B.]

5．(2020·黄山市一模)已知图①中的图象对应的函数y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数是(　　 )

A．y＝f(|x|)  B．y＝|f(x)|

C．y＝f(－|x|)  D．y＝－f(|x|)

解析：C　[设所求函数为g(x)，则g(x)＝＝f(－|x|)，选项C符合题意．]

6．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是　________　.

解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0的x∈(2,8]．

答案：(2,8]

7．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是　________　.

解析：如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．

答案：[－1，＋∞)

8．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为　________　.

解析：当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，

则得∴y＝x＋1.

当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，

∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.

答案：f(x)＝

9．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．

解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，

即2－y＝－x－＋2，即y＝f(x)＝x＋(x≠0)．

(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.

因为g(x)在(0,2]上为减函数，

所以1－≤0在x∈(0,2]上恒成立，

即a＋1≥x2在x∈(0,2]上恒成立，

所以a＋1≥4，即a≥3，

故实数a的取值范围是[3，＋∞)．

10．已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．

(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；

(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时f(x)的表达式．

解析：(1)证明：设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)，

因为f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]

＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，

所以P′也在y＝f(x)的图象上，

所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．

(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，

所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，

x∈[－2,0]．

当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，

所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7，

而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，

所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]，

所以f(x)＝