2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题一　3第3讲　基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题

第3讲　基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题

指数、对数的运算
[核心提炼]
指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)loga＝logaM－logaN；
(5)logaMn＝nlogaM；
(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝.
注：a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
[典型例题]
(1)(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log83＝p，log35＝q，则lg 5(用p、q表示)等于(　　)
A. B.
C. D．p2＋q2
(2)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z　　 B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
(3)已知a>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
【解析】　(1)因为log83＝p，
所以lg 3＝3plg 2，又因为log35＝q，
所以lg 5＝qlg 3，
所以lg 5＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
所以lg 5＝，故选C.
(2)设2x＝3y＝5z＝k>1，
所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，
所以2x>3y；
因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以3y<5z；
因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以5z>2x.
所以5z>2x>3y，故选D.
(3)由于a>b>1，则logab∈(0，1)，因为logab＋logba＝，即logab＋＝，所以logab＝或logab＝2(舍去)，所以a＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4.
【答案】　(1)C　(2)D　(3)4　2

(1)指数幂的运算性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定．
(2)求解对数式运算的关键是：熟记对数恒等式、换底公式的运算法则，并结合代数式的各种变换技巧，如配方、因式分解、分母或分子有理化、拆项、添项、换底公式的运用等，简化对数运算过程．　
(3)容易出现的问题是误用指数幂的运算法则、对数的运算性质，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等．　
[对点训练]
1．若a＝log43，则2a＋2－a＝________．
解析：因为a＝log43＝log223＝log23＝log2，
所以2a＋2－a＝2log2＋2－log2＝＋2log2＝＋＝.
答案：
2．(2019·瑞安市高三四校联考)若正数a，b满足log2a＝log5b＝lg(a＋b)，则＋的值为________．
解析：设log2a＝log5b＝lg(a＋b)＝k，
所以a＝2k，b＝5k，a＋b＝10k，所以ab＝10k，
所以a＋b＝ab，则＋＝1.
答案：1

基本初等函数的图象及性质
[核心提炼]
指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0 [典型例题]
(1)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

(2)P为曲线C1：y＝ex上一点，Q为曲线C2：y＝ln x上一点，则|PQ|的最小值为________．
【解析】　(1)通解：若01，则y＝是减函数，而y＝loga是增函数且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.
优解：分别取a＝和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.
(2)因为曲线y＝ex与曲线y＝ln x互为反函数，其图象关于y＝x对称，
故可先求点P到直线y＝x的最近距离d，
设曲线y＝ex上斜率为1的切线为y＝x＋b，
因为y′＝ex，由ex＝1，得x＝0，
故切点坐标为(0，1)，即b＝1，
所以d＝＝，
所以|PQ|的最小值为2d＝2×＝.
【答案】　(1)D　(2)

研究指数、对数函数图象应注意的问题
(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．
(2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，忽视t>0的限制条件．　
[对点训练]
1．当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0＜|f(x)|≤1，则函数y＝loga的图象大致为(　　)

解析：选B.因为当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0＜|f(x)|≤1.因此，必有0＜a＜1.
先画出函数y＝log a|x|的图象，如图．
而函数y＝log a＝－log a|x|，如图．
故选B.
2．(2019·四川胜读九校联考)已知函数f＝若≥ax恒成立，则a的取值范围为________．
解析：由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象，

由图象可知，函数y＝ax的图象为过原点的直线，直线l为曲线的切线，当直线介于l和x轴之间符合题意，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分解析式为y＝x2－2x，求其导数可得y′＝2x－2，因为x＝0，故y′＝－2，故直线l的斜率为－2，故只需直线y＝ax的斜率a介于－2与0之间即可，即a∈.
答案：

函数的零点
[核心提炼]
1．函数的零点的定义
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
2．确定函数零点的常用方法
(1)解方程法；
(2)利用零点存在性定理；
(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．
[典型例题]
(1)(2019·高考浙江卷)设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则(　　)
A．a<－1，b<0　 B．a<－1，b>0
C．a>－1，b<0 D．a>－1，b>0
(2)(2019·衢州市高三教学质量检测)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝，则函数y＝f(x)－的所有零点之和是(　　)
A．5＋　　　　　 B．1－
C.－1 D．5－
(3)(2018·高考浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
【解析】　(1)由题意可得，当x≥0时，f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，令f(x)－ax－b＝0，则b＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)]．因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x≥0时，b＝x2[2x－3(a＋1)]必须有2个零点，所以>0，解得a>－1.所以b<0.故选C.
(2)当x≥0时，f(x)≥0，所以当x＜0时，f(x)＜0；由得x＝－1＋；由得x＝或，所以所有零点之和是5＋，选A.
(3)若λ＝2，则当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，得14.
【答案】　(1)C　(2)A　(3)(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞)

(1)判断函数零点个数的方法
①直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
②零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在(a，b)上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(2)利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
①利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
②分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
③转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．利用此种方法还可判断零点个数，求所有零点的和，研究基本初等函数的性质等．　
[对点训练]
1．(2019·“七彩阳光”高三联考)设关于x的方程x2－ax－2＝0和x2－x－1－a＝0的实数根分别为x1，x2和x3，x4，若x1 解析：由x2－ax－2＝0得a＝x－，由x2－x－1－a＝0得a＝x2－x－1.在同一个坐标系中画出y＝x－和y＝x2－x－1的图象(图略)．由x－＝x2－x－1，化简得x3－2x2－x＋2＝0，此方程显然有根x＝2，所以x3－2x2－x＋2＝(x＋1)(x－1)(x－2)＝0，解得x＝－1或x＝1或x＝2，当x＝2或x＝－1时，y＝1；当x＝1时，y＝－1，由题意可知，－1 答案：(－1，1)
2．若函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，且a∈R)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为________．
解析：由f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.
作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，观察可以知道，
当－2 即函数y＝f(x)有两个不同的零点．
故a的取值范围是(－2，2)．
答案：(－2，2)

函数的综合问题
[核心提炼]
函数的综合问题是浙江省新高考命题的热点之一，是考查考生分析问题、解决问题的能力及数学素养的较好题型，具有较好的区分度，求解函数综合问题应注意以下三点：
1．审题是关键
审题时要把握“三性”，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性．解题实践表明：条件暗示可启发解题手段，结论预示可诱导解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息．
2．画出草图，寻找思路
画好图形，做到定形(状)，定性(质)，定(数)量，定位(置)．图形能帮助你直观的理解题意，分析思路．
3．力求表述规范，抓住得分点
解题过程要用规范的数学语言，避免以某些二级结论为依据，只写结论，不写过程．
[典型例题]
已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值．
(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；
(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．
【解】　(1)证明：由f(x)＝＋b－，
得对称轴为直线x＝－.
由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1，1]上单调，
所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}．
当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，
得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.
当a≤－2时，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，
得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.
综上，当|a|≥2时，M(a，b)≥2.
(2)由M(a，b)≤2得
|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，
故|a＋b|≤3，|a－b|≤3.
由|a|＋|b|＝得|a|＋|b|≤3.
当a＝2，b＝－1时，|a|＋|b|＝3，
且|x2＋2x－1|在[－1，1]上的最大值为2，
即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值为3.

(1)命制函数的综合问题的试题涉及到诸多性质、运算和思想方法，如本例考查了函数的单调性与最值、分段函数、不等式等知识，同时考查了分类讨论、化归、转化、推理论证和代数运算能力．
(2)对于函数的综合题，要认真分析，处理好各元素之间的关系，把握问题主线，运用相关知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其要注意等价转化、分类讨论和数形结合等思想的综合运用．　
[对点训练]
1．(2019·金丽衢十二校联考)已知函数f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a>0且a≠1.
(1)当a＝2时，若f(x) (2)若存在实数m，n(m 解：(1)因为log2(22x＋t) g(x)max，求得g(x)max＝g(－1)＝－2－2＋2－1＝，所以t≥.
(2)因为f(x)＝loga(a2x＋t)是单调增函数，所以，即，问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t＝0有两个不相等的解，令ak＝n>0，则问题等价于关于n的二次方程n2－n＋t＝0在n∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即，即，
得0 2．(2019·绍兴市一中期末检测)已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.
(1)试求f(x)的值域；
(2)设g(x)＝(a>0)，若对任意s∈[1，＋∞)，t∈[0，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)因为||x＋2|－|x－1||≤|(x＋2)－(x－1)|＝3，
所以－3≤|x＋2|－|x－1|≤3，
所以f(x)的值域为[－3，3]．
(2)g(x)＝＝ax＋－3，
当a≥3时，g(x)在[1，＋∞)上是增函数，g(x)min＝a，
当a∈(0，3)时，g(x)min＝2－3，
因此g(s)min＝，f(t)max＝3，
由题意知g(s)min≥f(t)max，
①当0 ②当a≥3时，a≥3恒成立，
综上，a≥3.
专题强化训练
1．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是(　　)
A．－2 B．4
C．3 D．－2或3
解析：选C.f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数⇒m2－m－5＝1⇒m＝－2或m＝3.
又在x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝3.
2．函数y＝ax＋2－1(a＞0且a≠1)的图象恒过的点是(　　)
A．(0，0) B．(0，－1)
C．(－2，0) D．(－2，－1)
解析：选C.法一：因为函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象恒过点(0，1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象，所以y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C正确．
法二：令x＋2＝0，x＝－2，得f(－2)＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C正确．
3．(2019·温州模拟)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A．a C．c 解析：选B.因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a 4．(2019·嘉兴市高考一模)函数f(x)＝()x－x2的大致图象是(　　)

解析：选D.由题意，x＝0，f(0)＝1，排除B，
x＝－2，f(－2)＝0，排除A，
x→－∞，f(x)→＋∞，排除C，
故选D.
5．(2019·丽水模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的(　　)
A．10倍 B．20倍
C．50倍 D．100倍
解析：选D.根据题意有lg A＝lg A0＋lg 10M＝lg (A0·10M)．所以A＝A0·10M，则＝100.故选D.
6．已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－ B.
C. D．1
解析：选C.由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x) 图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝.故选C.
7．(2019·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B.由f(1)＝得a2＝.又a>0，所以a＝，因此f(x)＝.因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
8．(2019·金华十校联考)函数f(x)＝，若a，b，c，d各不相同，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则abcd的取值范围是(　　)
A．(24，25) B．[16，25)
C．(1，25) D．(0，25]
解析：选A.函数f(x)的图象如图所示：
若a、b、c、d互不相同，
且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，
不妨令a 则0 则log2a＝－log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，
则ab＝1，同时c∈(4，5)，d∈(5，6)，
因为c，d关于x＝5对称，所以＝5，则c＋d＝10，
同时cd＝c(10－c)＝－c2＋10c＝－(c－5)2＋25，
因为c∈(4，5)，所以cd∈(24，25)，
即abcd＝cd∈(24，25)，故选A.
9．(2019·宁波十校高考模拟)已知函数f(x)＝，则方程f(x＋－2)＝1的实根个数为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选C.令f(x)＝1得x＝3或x＝1或x＝或x＝－1，
因为f(x＋－2)＝1，
所以x＋－2＝3或x＋－2＝1或x＋－2＝或x＋－2＝－1.
令g(x)＝x＋－2，则当x＞0时，g(x)≥2－2＝0，
当x＜0时，g(x)≤－2－2＝－4，
作出g(x)的函数图象如图所示：
所以方程x＋－2＝3，x＋－2＝1，x＋－2＝均有两解，方程x＋－2＝－1无解．
所以方程f(x＋－2)＝1有6解．
故选C.
10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若 A. B．(0，e)
C. D．(e，＋∞)
解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln x)－f＝f(ln x)－f(－ln x)＝f(ln x)＋f(ln x)＝2f(ln x)，
所以 又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以－1 11．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知集合M＝{x|y＝ln}，N＝{y|y＝x2＋2x＋2}，则M＝__________，(∁RM)∩N＝________．
解析：M＝{x|y＝ln}＝{x|x(x－1)＞0}＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，
所以∁RM＝[0，1]．
因为N＝{y|y＝x2＋2x＋2}＝{y|y＝(x＋1)2＋1}＝[1，＋∞)，
所以(∁RM)∩N＝{1}．
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)　{1}
12．(2019·台州市书生中学高三月考)设函数f(x)＝则f(f())＝________；若f(f(a))＝1，则a的值为________．
解析：f()＝1，f(1)＝2，所以f(f())＝2.当x≥1时，f(x)≥2，所以a<1，f(a)<1且f(a)＝，因此3a－1＝，所以a＝.
答案：2　
13．(2019·台州市高三模拟)设函数f(x)＝9x＋m·3x，若存在实数x0，使得f(－x0)＝－f(x0)成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为f(－x0)＝－f(x0)，
所以9－x0＋m·3－x0＝－9x0－m·3x0，
所以m＝－(3x0＋3－x0)＋，
令t＝3x0＋3－x0，则t≥2，
故m＝－t＋，(t≥2)，
函数y＝－t与函数y＝在[2，＋∞)上均为单调递减函数，
所以m＝－t＋(t≥2)在[2，＋∞)上单调递减，
所以当t＝2时，m＝－t＋(t≥2)取得最大值－1，即m≤－1.
答案：(－∞，－1]
14．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞b＞c)，且f(1)＝0，若函数f(x)的导函数图象与函数f(x)的图象交于A、B两点，C、D是点A，B在x轴上的投影，则线段|CD|长的取值范围为__________．
解析：因为f(1)＝a＋b＋c＝0，所以b＝－a－c，
因为a＞b＞c，所以a＞0，c＜0，所以＜0，
f′(x)＝2ax＋b，
令ax2＋bx＋c＝2ax＋b得ax2＋(b－2a)x＋c－b＝0，
即ax2－(3a＋c)x＋2c＋a＝0，
因为函数f(x)的导函数图象与函数f(x)的图象交于A，B两点，
所以方程ax2－(3a＋c)x＋2c＋a＝0有两解，
所以Δ＝(3a＋c)2－4a(2c＋a)＝5a2－2ac＋c2＞0，
所以()2－＋5＞0，∈R，
所以x1＋x2＝＝3＋，x1x2＝＝1＋，
所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(3＋)2－4(1＋)＝()2－＋5＝(－1)2＋4，
因为＜0，所以(－1)2＋4＞5，所以|x1－x2|＞.
答案：(，＋∞)
15.如图，线段EF的长度为1，端点E，F在边长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动，当E，F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G的周长为l，其围成的面积为S，则l－S的最大值为________．
解析：设正方形的边长为a(a≥1)，当E，F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M的轨迹如图，是由半径均为的四段圆弧与长度均为a－1的四条线段围成的封闭图形，周长l＝π＋4(a－1)，面积S＝a2－，所以l－S＝－a2＋4a＋－4(a≥1)，由二次函数的知识得，当a＝2时，l－S取得最大值.
答案：
16．(2019·高考浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝ax3－x，若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，则实数a的最大值是________．
解析：f(t＋2)－f(t)＝[a(t＋2)3－(t＋2)]－(at3－t)＝2a(3t2＋6t＋4)－2，因为存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，所以 －≤2a(3t2＋6t＋4)－2≤有解．因为3t2＋6t＋4≥1，所以≤a≤有解，所以a≤＝，所以a的最大值为.
答案：
17．已知f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝a有四个实根x1，x2，x3，x4，则这四根之积x1x2x3x4的取值范围是________．
解析：画出函数f(x)的图象，由图知f(x)＝a有四个实根的条件为1≤a＜.设四个实根x1＜x2＜x3＜x4，由f(x)＝a可得2x2＋x＋a－1＝0，所以x1x2＝，由y＝|lg x|＝a知－lg x3＝lg x4，所以x3·x4＝1，故x1x2x3x4＝，又因为g(a)＝在上是增函数，所以x1x2x3x4∈.

答案：
18．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a＞0)，设方程f(x)＝x的两个实数根为x1和x2.
(1)如果x1＜2＜x2＜4，设函数的对称轴为x＝x0，求证：x0＞－1；
(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|＝2，求b的取值范围．
解：(1)证明：设g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋1，
因为a＞0，所以由条件x1＜2＜x2＜4，
得g(2)＜0，g(4)＞0，即⇒－4a＜b＜－2a.
显然由－4a＜－2a得a＞，即有2－＞－＞1－，
故x0＝－＞1－＞1－＝－1.
(2)由g(x)＝ax2＋(b－1)x＋1＝0，知x1x2＝＞0，故x1与x2同号．
①若0＜x1＜2，则x2－x1＝2(负根舍去)，
所以x2＝x1＋2＞2，
所以g(2)＜0，即4a＋2b－1＜0.(*)
所以(x2－x1)2＝－＝4，
所以2a＋1＝(a＞0，负根舍去)，
代入(*)式，得2＜3－2b，解出b＜.
②若－2＜x1＜0，则x2＝－2＋x1＜－2(正根舍去)，
所以g(－2)＜0，即4a－2b＋3＜0(**)．
将2a＋1＝代入(**)式得
2＜2b－1，解得b＞.
综上，b的取值范围为b＜或b＞.
19．(2019·杭州市高三模拟)设函数f(x)＝|x2－a|－ax－1(a∈R)．
(1)若函数y＝f(x)在R上恰有四个不同的零点，求a的取值范围；
(2)若函数y＝f(x)在[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
解：(1)若函数y＝f(x)在R上恰有四个不同的零点，
则等价为f(x)＝|x2－a|－ax－1＝0，即|x2－a|＝ax＋1有四个不同的解，
若a≤0，则方程x2－a＝ax＋1至多有两个根，不满足条件．
若a>0，则y＝|x2－a|与y＝ax＋1两个图象有四个不同的交点，
①当y＝ax＋1与y＝－x2＋a相切时，得a＝－2＋2.(负值舍掉)
②当y＝ax＋1过点(－，0)时，得a＝1，
所以2－2 即a的取值范围是(2－2，1)．
(2)①当a≤1时，f(x)＝x2－ax－a－1＝(x－)2－－a－1，则f(x)在[1，2]上单调递增，
则f(x)min＝f(1)＝－2a.
②当1 f(x)＝，
易知f(x)在[1，]上单调递减，在(，2]上单调递增，
则f(x)min＝f()＝－a－1.
③当a≥4时，f(x)＝－(x＋)2＋＋a－1，
则f(x)在[1，2]上单调递减，
则f(x)min＝f(2)＝－a－5，
综上，g(a)＝.