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2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题一第1讲 三角函数的图象与性质
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第1讲 三角函数的图象与性质
[做真题]
题型一 三角函数图象及其变换
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D.易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin
＝sin的图象，即曲线C2，故选D.
2．(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
解析：函数y＝sin x－cos x＝2sin的图象可由函数y＝sin x＋cos x＝2sin的图象至少向右平移个单位长度得到．
答案：
题型二 三角函数的性质
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
解析：选A.A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
解析：选C.通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确；当
A． B．
C． D．π
解析：选A.法一：f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在(，π)单调递减
解析：选D.根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．所以选D.
5．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：选B.因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以＝＋(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在单调，所以T≥，k≤，又当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f(x)在单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.
6．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
解析：依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－＋1，因为x∈，所以cos x∈[0，1]，因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
答案：1
[山东省学习指导意见]
1．任意角的三角函数
(1)了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．
(2)理解任意角三角函数(正弦、余弦和正切)的定义．
(3)会用诱导公式，理解同角三角函数的基本关系式．
2．三角函数的图象和性质
(1)能画出y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x的图象．
(2)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)，了解三角函数的周期性．
(3)了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．知道参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．
(4)会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
三角函数的定义、诱导公式及基本关系
[考法全练]
1．角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P(4，y)，且sin θ＝－，则tan θ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C.因为角θ的终边经过点P(4，y)，sin θ＝－<0，所以角θ为第四象限角，所以cos θ＝＝，所以tan θ＝＝－，故选C.
2．若sin＝－，且α∈，则tan(π－α)＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选A.由sin＝cos α＝－，且α∈，
得sin α＝＝，
所以tan(π－α)＝－tan α
＝－＝－＝.
3．已知θ∈，则 ＝____________．
解析：因为 ＝＝＝|sin θ－cos θ|，又θ∈，所以原式＝sin θ－cos θ.
答案：sin θ－cos θ
4．若tan α＝cos α，则＋cos4α＝____________．
解析：tan α＝cos α⇒＝cos α⇒sin α＝cos2α，故＋cos4α＝＋cos4α＝sin α＋＋cos4α＝sin α＋＋sin2α＝sin2α＋sin α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.
答案：2
5．(2019·福建模拟改编)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则ab＝________，cos＝________．
解析：由题知sin α＝b，cos α＝a.因为a＋b＝，所以sin α＋cos α＝.两边平方可得sin2 α＋cos2 α＋2sin αcos α＝，所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝.所以sin αcos α＝ab＝，所以cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－.
答案： －
(1)三角函数的定义
若角α的终边过点P(x，y)，则sin α＝，cos α＝，
tan α＝(其中r＝)．
(2)利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
[注意] “奇变偶不变，符号看象限”．
(3)基本关系
sin2x＋cos2x＝1，tan x＝.
[技能] 利用同角三角函数的基本关系求函数值时，要注意确定符号．
三角函数的图象与解析式
[典型例题]
命题角度一 由“图”定“式”
(一题多解)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝－cos
C．f(x)＝cos
D．f(x)＝sin
【解析】 法一：根据函数g(x)的图象可知A＝1，T＝＋＝，T＝π＝，ω＝2，所以g(x)＝sin(2x＋φ)，所以g＝sin＝0，所以＋φ＝π＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ＝，所以g(x)＝sin，将g(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后，即可得到函数f(x)的图象，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝g＝sin＝sin＝cos.
法二：根据g(x)的图象可知g＝g＝1，因为f(x)的图象向右平移个单位长度后，即可得到g(x)的图象，
所以f＝f＝1，对于A，f＝sin≠1，不符合题意；对于B，f＝－cos 0＝－1≠1，不符合题意；对于C，f＝cos 0＝1，符合题意；对于D，f＝sin≠1，不符合题意．
【答案】 C
由“图”定“式”找“对应”
由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.记住三角函数的周期T的相关结论：
①两个相邻对称中心之间的距离等于.
②两条相邻对称轴之间的距离等于.
③对称中心与相邻对称轴的距离等于.
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A，ω，B已知)，也可代入图象与直线y＝B的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．
命题角度二 图象变换
(1)(一题多解)(2019·广州市调研测试)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
(2)若ω>0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( )
A． B．
C． D．
【解析】 (1)法一：由题设知，f＝sin.设x＋＝t，则x＝2t－，所以f(t)＝sin＝sin.故f(x)＝sin.故选B.
法二：由题设知，先将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得函数f(x)的图象，故f(x)＝sin＝sin.故选B.
(2)函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y＝cos＝cos，其图象与函数y＝sin ωx＝cos，k∈Z的图象重合，所以－＋2kπ＝－＋，k∈Z，所以ω＝－6k＋，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为，故选B.
【答案】 (1)B (2)B
三角函数图象的变换规律
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法．
(1)函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x作的变换．
(2)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左(右)平移k个单位长度后，其图象对应的函数解析式为g(x)＝sin[ω(x±k)＋φ]，而不是g(x)＝sin(ωx±k＋φ)．
命题角度三 三角函数图象的应用
(1)(多选)(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f(x)＝|sin x|·|cos x|，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的最小正周期为
C．(π，0)是f(x)图象的一个对称中心
D．f(x)在区间上单调递减
(2)已知函数f(x)＝4sincos x＋，若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为____________．
【解析】 (1)f(x)＝|sin x|·|cos x|＝|sin 2x|，作出函数f(x)的图象如图所示，由图知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f(x)的最小正周期为，f(x)在区间上单调递减，f(x)的图象无对称中心，故C不正确．
(2)方程g(x)＝0同解于f(x)＝m，在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2sin在上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解．
【答案】 (1)ABD (2)[，2)
巧用图象解决三角方程或不等式问题
解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集．准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值．
[对点训练]
1．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f＝( )
A．－2 B．－
C． D．2
解析：选C.由f(x)为奇函数可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g(x)＝Asinωx.由g(x)的最小正周期为2π，可得＝2π，故ω＝2，g(x)＝Asin x．g＝Asin ＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，故f＝2sin ＝.
2．(2019·湖南省五市十校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________．
解析：由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝6，所以ω＝＝，所以f(x)＝Asin，将(0，1)代入，可得Asin φ＝1，所以f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asin＝－Asin φ＝－1.
答案：－1
三角函数的性质
[典型例题]
(1)(一题多解)(2019·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，则下列关于g(x)的说法正确的是( )
A．最大值为3
B．在上单调递减
C．是g(x)图象的一个对称中心
D．直线x＝－是g(x)图象的一条对称轴
(2)(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【解析】 (1)通解：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)和函数g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1(|φ|<)的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，所以cos＝±1(k∈Z)，所以对任意k∈Z均存在m∈Z，使得kπ＋＋φ＝mπ.因为|φ|<，所以<＋φ<，所以＋φ＝π，所以φ＝，所以g(x)＝3cos＋1，所以g(x)的最大值为4，所以A错误．令2nπ≤2x＋≤2nπ＋π，n∈Z，得nπ－≤x≤nπ＋，n∈Z，所以B错误．因为g＝3cos＋1＝1，所以是g(x)图象的一个对称中心，所以C错误．因为g＝3cos＋1＝4，所以直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴，所以D正确．故选D.
优解：因为函数f(x)＝2sin(ωx－)(ω>0)和函数g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin，所以f(－)＝2sin＝－2，又－2为函数f(x)的最小值，所以直线x＝－为函数f(x)图象的一条对称轴，所以直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴，故选D.
(2)法一：由题意，得，则，又ω>0，所以，k∈Z，所以k＝0，则0<ω≤，故选B.
法二：取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项知选B.
【答案】 (1)D (2)B
三角函数性质的应用要注意以下两点：首先要将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再对比y＝sin x的性质，即把ωx＋φ看成一个整体处理，但是一定要注意ω>0，否则易出错；其次一定要结合图象进行分析．
[对点训练]
1．(一题多解)(2019·武昌区调研考试)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为2π，则f(x)的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B.(k∈Z)
C．(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B.法一：因为f(x)＝2＝2sin ，f(x)的最小正周期为2π，所以ω＝＝1，所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．故选B.
法二：因为f(x)＝2
＝－2cos，f(x)的最小正周期为2π，所以ω＝＝1，所以f(x)＝－2cos，
由2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.
2．(2019·南昌模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(0<ω<1，|φ|<)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是( )
A．f(x)在上是减函数
B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0
C．f(x)≥1的解集是，k∈Z
D．f(x)图象的一个对称中心是
解析：选D.由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝，则f(x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f＝0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确．选D.
3．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法错误的是( )
A．f(x)的周期是
B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z
解析：选ABC.函数f(x)＝的周期T＝＝2π，故A错误；函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，故B错误；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即直线x＝不是f(x)图象的对称轴，故C错误；令kπ－
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C.由题意可得函数f(x)的最小正周期T＝6，则ω＝＝＝.
结合点P的坐标可得A＝2，且×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
得φ＝2kπ－π(k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝－2sinx(k∈Z)．
令x＝k′π(k′∈Z)，得x＝3k′(k′∈Z)，
取k′＝1可得该函数图象的一个对称中心是(3，0)．
三角函数的值域与最值问题
[典型例题]
(1)已知将函数f(x)＝2sincos x＋的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在上的值域为( )
A． B．
C． D．
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
【解析】 (1)因为f(x)＝2cos x＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin，所以g(x)＝sin＝sin.因为－≤x≤，所以0≤2x＋≤，则－≤sin≤1，故－≤g(x)≤1.故选C.
(2)因为f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x
＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1，1]，所以f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，
所以当t＝1时，f(x)有最小值－4.
【答案】 (1)C (2)－4
有关三角函数的值域与最值问题的解题策略
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数，要根据三角恒等变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再借助三角函数的图象与性质确定值域与最值．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，转化为二次函数去求解．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，再转化为关于t的二次函数去求解．
[对点训练]
1．(2019·济南市模拟考试)若函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，π]上的值域为，则ω的最小值为( )
A． B．
C． D．
解析：选A.因为0≤x≤π，ω>0，所以－≤ωx－≤ωπ－.又f(x)的值域为，所以ωπ－≥，所以ω≥，故选A.
2．函数f(x)＝2sin2＋2sin·cos在区间上的最小值为________．
解析：由题意得，f(x)＝1－cos＋sin＝1＋sin 2x＋cos 2x＝1＋sin.
因为≤x≤，
所以≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤－，
所以1－≤1＋sin≤0，所以函数f(x)在上的最小值为1－.
答案：1－
一、选择题
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，选A.
2．(2019·昆明市诊断测试)函数y＝sin图象的一条对称轴的方程为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选D.由题意，令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，函数y＝sin图象的一条对称轴的方程为x＝.故选D.
3．(2019·广东省七校联考)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选B.由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，得2kπ－
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B.因为y＝cos 2x－sin 2x＝2cos＝2cos，所以要得到函数y＝2cos 2x的图象，可以将函数y＝cos 2x－sin 2x的图象向右平移个单位长度，故选B.
5．(2019·石家庄市模拟(一))已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，点A(0，)，B，则函数f(x)图象的一条对称轴为( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：选D.因为函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象过点A(0，)，所以2cos φ＝，即cos φ＝，所以φ＝2kπ±(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝±，由函数f(x)的图象知<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－，所以f(x)＝2cos(ωx－)．因为f(x)＝2cos(ωx－)的图象过点B，所以cos＝0，所以＝mπ＋(m∈Z)，所以ω＝6m＋4(m∈Z)．因为ω>0，>，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f(x)＝2cos.因为x＝时，f(x)＝2，所以x＝为函数f(x)图象的一条对称轴，故选D.
6．(一题多解)(2019·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝2sin在区间上单调递增，则ω的最大值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C.法一：因为x∈，所以ωx＋∈，因为f(x)＝2sin在上单调递增，所以＋≤，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C.
法二：逐个选项代入函数f(x)进行验证，选项D不满足条件，选项A、B、C满足条件f(x)在上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C.
7．(2019·福州市第一学期抽测)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是( )
A. B.
C. D．π
解析：选C.由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0
A. B.
C. D.
解析：选B.f(x)＝sin＋cos＝sin 2 018x＋cos 2 018x＋cos 2 018x＋sin 2 018x＝sin 2 018x＋cos 2 018x＝2sin，故A＝f(x)max＝2，f(x)的最小正周期T＝＝.又存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，所以f(x2)＝f(x)max，f(x1)＝f(x)min，故A|x1－x2|的最小值为A×T＝，故选B.
9．(多选)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，则下列判断错误的是( )
A．关于直线x＝对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于点对称
解析：选BCD.f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，则f＝sin＝sin ＝1，即函数关于直线x＝对称，故A正确，D错误；f＝sin＝sin＝，则函数不关于直线x＝对称，也不关于点对称，故B，C错误．
10．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间上单调递增
解析：选ACD.因为f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.
因为f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，因为y＝cos 2x在上单调递减，所以f(x)＝－cos 2x在上单调递增，故选ACD.
11．(多选)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是( )
A．φ＝
B.是f(x)图象的一个对称中心
C．f(φ)＝－2
D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴
解析：选ABD.由题意得，平移后的函数g(x)＝f＝2sin的图象关于y轴对称，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，故A正确；f(x)＝2sin，由2x＋＝kπ，k∈Z，得对称中心的横坐标为－＋，k∈Z，故是f(x)图象的一个对称中心，故B正确；f(φ)＝2sin＝2sin ＝2，故C不正确；由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，所以x＝－是f(x)图象的一条对称轴，故D正确．
12．(多选)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为2
B．f(x)的图象关于点中心对称
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)在区间上单调递减
解析：选ACD.由图可知，A＝2，T＝4×＝，所以ω＝＝3.
又由g＝2可得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<，所以φ＝－.
所以g(x)＝2sin，
所以f(x)＝2sin.
所以f(x)的最小正周期为π，最大值为2，选项A正确．
对于选项B，令2x＋＝k′π(k′∈Z)，得x＝－(k′∈Z)，所以函数f(x)图象的对称中心为(k′∈Z)，由－＝，
得k′＝，不符合k′∈Z，B错误．
对于选项C，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故C正确．
当x∈[，]时，2x＋∈，所以f(x)在区间上单调递减，所以选项D正确．故选ACD.
二、填空题
13．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f＝________．
解析：因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f(x)＝－4sin ωx，又A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin πx，所以f＝－4sin ＝－2.
答案：－2
14．(2019·长春市质量监测(二))定义在[0，π]上的函数y＝sin(ω>0)有零点，且值域M⊆，则ω的取值范围是________．
解析：由0≤x≤π，得－≤ωx－≤ωπ－，当x＝0时，y＝－.因为函数y＝sin在[0，π]上有零点，所以0≤ωπ－，ω≥.因为值域M⊆，所以ωπ－≤π＋，ω≤，从而≤ω≤.
答案：
15．(2019·蓉城名校第一次联考)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．
解析：因为2sin2x－sin 2x＋m－1＝0，
所以1－cos 2x－sin 2x＋m－1＝0，
所以cos 2x＋sin 2x－m＝0，
所以2sin＝m，即sin＝.
方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，即y＝sin，x∈的图象与y＝的图象有2个不同的交点．作出y＝sin，x∈及y＝的图象如图所示，则－1<<－，
即－2
16．(2019·江西赣州摸底改编)已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
解析：函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋.则f＝sin ＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
答案： ，k∈Z
第1讲 三角函数的图象与性质
[做真题]
题型一 三角函数图象及其变换
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D.易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin
＝sin的图象，即曲线C2，故选D.
2．(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
解析：函数y＝sin x－cos x＝2sin的图象可由函数y＝sin x＋cos x＝2sin的图象至少向右平移个单位长度得到．
答案：
题型二 三角函数的性质
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
解析：选A.A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
解析：选C.通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确；当
A． B．
C． D．π
解析：选A.法一：f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在(，π)单调递减
解析：选D.根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．所以选D.
5．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：选B.因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以＝＋(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在单调，所以T≥，k≤，又当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f(x)在单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.
6．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
解析：依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－＋1，因为x∈，所以cos x∈[0，1]，因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
答案：1
[山东省学习指导意见]
1．任意角的三角函数
(1)了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．
(2)理解任意角三角函数(正弦、余弦和正切)的定义．
(3)会用诱导公式，理解同角三角函数的基本关系式．
2．三角函数的图象和性质
(1)能画出y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x的图象．
(2)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)，了解三角函数的周期性．
(3)了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．知道参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．
(4)会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
三角函数的定义、诱导公式及基本关系
[考法全练]
1．角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P(4，y)，且sin θ＝－，则tan θ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C.因为角θ的终边经过点P(4，y)，sin θ＝－<0，所以角θ为第四象限角，所以cos θ＝＝，所以tan θ＝＝－，故选C.
2．若sin＝－，且α∈，则tan(π－α)＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选A.由sin＝cos α＝－，且α∈，
得sin α＝＝，
所以tan(π－α)＝－tan α
＝－＝－＝.
3．已知θ∈，则 ＝____________．
解析：因为 ＝＝＝|sin θ－cos θ|，又θ∈，所以原式＝sin θ－cos θ.
答案：sin θ－cos θ
4．若tan α＝cos α，则＋cos4α＝____________．
解析：tan α＝cos α⇒＝cos α⇒sin α＝cos2α，故＋cos4α＝＋cos4α＝sin α＋＋cos4α＝sin α＋＋sin2α＝sin2α＋sin α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.
答案：2
5．(2019·福建模拟改编)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则ab＝________，cos＝________．
解析：由题知sin α＝b，cos α＝a.因为a＋b＝，所以sin α＋cos α＝.两边平方可得sin2 α＋cos2 α＋2sin αcos α＝，所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝.所以sin αcos α＝ab＝，所以cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－.
答案： －
(1)三角函数的定义
若角α的终边过点P(x，y)，则sin α＝，cos α＝，
tan α＝(其中r＝)．
(2)利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
[注意] “奇变偶不变，符号看象限”．
(3)基本关系
sin2x＋cos2x＝1，tan x＝.
[技能] 利用同角三角函数的基本关系求函数值时，要注意确定符号．
三角函数的图象与解析式
[典型例题]
命题角度一 由“图”定“式”
(一题多解)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝－cos
C．f(x)＝cos
D．f(x)＝sin
【解析】 法一：根据函数g(x)的图象可知A＝1，T＝＋＝，T＝π＝，ω＝2，所以g(x)＝sin(2x＋φ)，所以g＝sin＝0，所以＋φ＝π＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ＝，所以g(x)＝sin，将g(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后，即可得到函数f(x)的图象，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝g＝sin＝sin＝cos.
法二：根据g(x)的图象可知g＝g＝1，因为f(x)的图象向右平移个单位长度后，即可得到g(x)的图象，
所以f＝f＝1，对于A，f＝sin≠1，不符合题意；对于B，f＝－cos 0＝－1≠1，不符合题意；对于C，f＝cos 0＝1，符合题意；对于D，f＝sin≠1，不符合题意．
【答案】 C
由“图”定“式”找“对应”
由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.记住三角函数的周期T的相关结论：
①两个相邻对称中心之间的距离等于.
②两条相邻对称轴之间的距离等于.
③对称中心与相邻对称轴的距离等于.
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A，ω，B已知)，也可代入图象与直线y＝B的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．
命题角度二 图象变换
(1)(一题多解)(2019·广州市调研测试)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
(2)若ω>0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( )
A． B．
C． D．
【解析】 (1)法一：由题设知，f＝sin.设x＋＝t，则x＝2t－，所以f(t)＝sin＝sin.故f(x)＝sin.故选B.
法二：由题设知，先将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得函数f(x)的图象，故f(x)＝sin＝sin.故选B.
(2)函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y＝cos＝cos，其图象与函数y＝sin ωx＝cos，k∈Z的图象重合，所以－＋2kπ＝－＋，k∈Z，所以ω＝－6k＋，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为，故选B.
【答案】 (1)B (2)B
三角函数图象的变换规律
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法．
(1)函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x作的变换．
(2)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左(右)平移k个单位长度后，其图象对应的函数解析式为g(x)＝sin[ω(x±k)＋φ]，而不是g(x)＝sin(ωx±k＋φ)．
命题角度三 三角函数图象的应用
(1)(多选)(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f(x)＝|sin x|·|cos x|，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的最小正周期为
C．(π，0)是f(x)图象的一个对称中心
D．f(x)在区间上单调递减
(2)已知函数f(x)＝4sincos x＋，若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为____________．
【解析】 (1)f(x)＝|sin x|·|cos x|＝|sin 2x|，作出函数f(x)的图象如图所示，由图知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f(x)的最小正周期为，f(x)在区间上单调递减，f(x)的图象无对称中心，故C不正确．
(2)方程g(x)＝0同解于f(x)＝m，在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2sin在上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解．
【答案】 (1)ABD (2)[，2)
巧用图象解决三角方程或不等式问题
解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集．准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值．
[对点训练]
1．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f＝( )
A．－2 B．－
C． D．2
解析：选C.由f(x)为奇函数可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g(x)＝Asinωx.由g(x)的最小正周期为2π，可得＝2π，故ω＝2，g(x)＝Asin x．g＝Asin ＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，故f＝2sin ＝.
2．(2019·湖南省五市十校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________．
解析：由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝6，所以ω＝＝，所以f(x)＝Asin，将(0，1)代入，可得Asin φ＝1，所以f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asin＝－Asin φ＝－1.
答案：－1
三角函数的性质
[典型例题]
(1)(一题多解)(2019·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，则下列关于g(x)的说法正确的是( )
A．最大值为3
B．在上单调递减
C．是g(x)图象的一个对称中心
D．直线x＝－是g(x)图象的一条对称轴
(2)(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【解析】 (1)通解：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)和函数g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1(|φ|<)的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，所以cos＝±1(k∈Z)，所以对任意k∈Z均存在m∈Z，使得kπ＋＋φ＝mπ.因为|φ|<，所以<＋φ<，所以＋φ＝π，所以φ＝，所以g(x)＝3cos＋1，所以g(x)的最大值为4，所以A错误．令2nπ≤2x＋≤2nπ＋π，n∈Z，得nπ－≤x≤nπ＋，n∈Z，所以B错误．因为g＝3cos＋1＝1，所以是g(x)图象的一个对称中心，所以C错误．因为g＝3cos＋1＝4，所以直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴，所以D正确．故选D.
优解：因为函数f(x)＝2sin(ωx－)(ω>0)和函数g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin，所以f(－)＝2sin＝－2，又－2为函数f(x)的最小值，所以直线x＝－为函数f(x)图象的一条对称轴，所以直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴，故选D.
(2)法一：由题意，得，则，又ω>0，所以，k∈Z，所以k＝0，则0<ω≤，故选B.
法二：取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项知选B.
【答案】 (1)D (2)B
三角函数性质的应用要注意以下两点：首先要将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再对比y＝sin x的性质，即把ωx＋φ看成一个整体处理，但是一定要注意ω>0，否则易出错；其次一定要结合图象进行分析．
[对点训练]
1．(一题多解)(2019·武昌区调研考试)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为2π，则f(x)的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B.(k∈Z)
C．(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B.法一：因为f(x)＝2＝2sin ，f(x)的最小正周期为2π，所以ω＝＝1，所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．故选B.
法二：因为f(x)＝2
＝－2cos，f(x)的最小正周期为2π，所以ω＝＝1，所以f(x)＝－2cos，
由2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.
2．(2019·南昌模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(0<ω<1，|φ|<)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是( )
A．f(x)在上是减函数
B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0
C．f(x)≥1的解集是，k∈Z
D．f(x)图象的一个对称中心是
解析：选D.由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝，则f(x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f＝0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确．选D.
3．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法错误的是( )
A．f(x)的周期是
B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z
解析：选ABC.函数f(x)＝的周期T＝＝2π，故A错误；函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，故B错误；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即直线x＝不是f(x)图象的对称轴，故C错误；令kπ－
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C.由题意可得函数f(x)的最小正周期T＝6，则ω＝＝＝.
结合点P的坐标可得A＝2，且×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
得φ＝2kπ－π(k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝－2sinx(k∈Z)．
令x＝k′π(k′∈Z)，得x＝3k′(k′∈Z)，
取k′＝1可得该函数图象的一个对称中心是(3，0)．
三角函数的值域与最值问题
[典型例题]
(1)已知将函数f(x)＝2sincos x＋的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在上的值域为( )
A． B．
C． D．
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
【解析】 (1)因为f(x)＝2cos x＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin，所以g(x)＝sin＝sin.因为－≤x≤，所以0≤2x＋≤，则－≤sin≤1，故－≤g(x)≤1.故选C.
(2)因为f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x
＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1，1]，所以f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，
所以当t＝1时，f(x)有最小值－4.
【答案】 (1)C (2)－4
有关三角函数的值域与最值问题的解题策略
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数，要根据三角恒等变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再借助三角函数的图象与性质确定值域与最值．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，转化为二次函数去求解．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，再转化为关于t的二次函数去求解．
[对点训练]
1．(2019·济南市模拟考试)若函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，π]上的值域为，则ω的最小值为( )
A． B．
C． D．
解析：选A.因为0≤x≤π，ω>0，所以－≤ωx－≤ωπ－.又f(x)的值域为，所以ωπ－≥，所以ω≥，故选A.
2．函数f(x)＝2sin2＋2sin·cos在区间上的最小值为________．
解析：由题意得，f(x)＝1－cos＋sin＝1＋sin 2x＋cos 2x＝1＋sin.
因为≤x≤，
所以≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤－，
所以1－≤1＋sin≤0，所以函数f(x)在上的最小值为1－.
答案：1－
一、选择题
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，选A.
2．(2019·昆明市诊断测试)函数y＝sin图象的一条对称轴的方程为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选D.由题意，令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，函数y＝sin图象的一条对称轴的方程为x＝.故选D.
3．(2019·广东省七校联考)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选B.由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，得2kπ－
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B.因为y＝cos 2x－sin 2x＝2cos＝2cos，所以要得到函数y＝2cos 2x的图象，可以将函数y＝cos 2x－sin 2x的图象向右平移个单位长度，故选B.
5．(2019·石家庄市模拟(一))已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，点A(0，)，B，则函数f(x)图象的一条对称轴为( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：选D.因为函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象过点A(0，)，所以2cos φ＝，即cos φ＝，所以φ＝2kπ±(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝±，由函数f(x)的图象知<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－，所以f(x)＝2cos(ωx－)．因为f(x)＝2cos(ωx－)的图象过点B，所以cos＝0，所以＝mπ＋(m∈Z)，所以ω＝6m＋4(m∈Z)．因为ω>0，>，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f(x)＝2cos.因为x＝时，f(x)＝2，所以x＝为函数f(x)图象的一条对称轴，故选D.
6．(一题多解)(2019·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝2sin在区间上单调递增，则ω的最大值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C.法一：因为x∈，所以ωx＋∈，因为f(x)＝2sin在上单调递增，所以＋≤，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C.
法二：逐个选项代入函数f(x)进行验证，选项D不满足条件，选项A、B、C满足条件f(x)在上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C.
7．(2019·福州市第一学期抽测)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是( )
A. B.
C. D．π
解析：选C.由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0
A. B.
C. D.
解析：选B.f(x)＝sin＋cos＝sin 2 018x＋cos 2 018x＋cos 2 018x＋sin 2 018x＝sin 2 018x＋cos 2 018x＝2sin，故A＝f(x)max＝2，f(x)的最小正周期T＝＝.又存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，所以f(x2)＝f(x)max，f(x1)＝f(x)min，故A|x1－x2|的最小值为A×T＝，故选B.
9．(多选)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，则下列判断错误的是( )
A．关于直线x＝对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于点对称
解析：选BCD.f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，则f＝sin＝sin ＝1，即函数关于直线x＝对称，故A正确，D错误；f＝sin＝sin＝，则函数不关于直线x＝对称，也不关于点对称，故B，C错误．
10．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间上单调递增
解析：选ACD.因为f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.
因为f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，因为y＝cos 2x在上单调递减，所以f(x)＝－cos 2x在上单调递增，故选ACD.
11．(多选)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是( )
A．φ＝
B.是f(x)图象的一个对称中心
C．f(φ)＝－2
D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴
解析：选ABD.由题意得，平移后的函数g(x)＝f＝2sin的图象关于y轴对称，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，故A正确；f(x)＝2sin，由2x＋＝kπ，k∈Z，得对称中心的横坐标为－＋，k∈Z，故是f(x)图象的一个对称中心，故B正确；f(φ)＝2sin＝2sin ＝2，故C不正确；由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，所以x＝－是f(x)图象的一条对称轴，故D正确．
12．(多选)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为2
B．f(x)的图象关于点中心对称
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)在区间上单调递减
解析：选ACD.由图可知，A＝2，T＝4×＝，所以ω＝＝3.
又由g＝2可得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<，所以φ＝－.
所以g(x)＝2sin，
所以f(x)＝2sin.
所以f(x)的最小正周期为π，最大值为2，选项A正确．
对于选项B，令2x＋＝k′π(k′∈Z)，得x＝－(k′∈Z)，所以函数f(x)图象的对称中心为(k′∈Z)，由－＝，
得k′＝，不符合k′∈Z，B错误．
对于选项C，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故C正确．
当x∈[，]时，2x＋∈，所以f(x)在区间上单调递减，所以选项D正确．故选ACD.
二、填空题
13．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f＝________．
解析：因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f(x)＝－4sin ωx，又A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin πx，所以f＝－4sin ＝－2.
答案：－2
14．(2019·长春市质量监测(二))定义在[0，π]上的函数y＝sin(ω>0)有零点，且值域M⊆，则ω的取值范围是________．
解析：由0≤x≤π，得－≤ωx－≤ωπ－，当x＝0时，y＝－.因为函数y＝sin在[0，π]上有零点，所以0≤ωπ－，ω≥.因为值域M⊆，所以ωπ－≤π＋，ω≤，从而≤ω≤.
答案：
15．(2019·蓉城名校第一次联考)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．
解析：因为2sin2x－sin 2x＋m－1＝0，
所以1－cos 2x－sin 2x＋m－1＝0，
所以cos 2x＋sin 2x－m＝0，
所以2sin＝m，即sin＝.
方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，即y＝sin，x∈的图象与y＝的图象有2个不同的交点．作出y＝sin，x∈及y＝的图象如图所示，则－1<<－，
即－2
16．(2019·江西赣州摸底改编)已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
解析：函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋.则f＝sin ＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
答案： ，k∈Z
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