课时作业(六十五) 不等式的证明 练习

课时作业(六十五)　不等式的证明

1．如果x>0，比较(－1)2与(＋1)2的大小．

解析：(－1)2－(＋1)2

＝[(－1)＋(＋1)][(－1)＋(＋1)]

＝－4.

因为x>0，所以>0，所以－4<0，所以(－1)2<(＋1)2.

2．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.

(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；

(2)求证：＋＋≥2.

证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，

所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤.

(2)因为≥，≥，≥，

所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2.

3．已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记f(x)>－1的解集为M.

(1)求M；

(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小．

解析：(1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝

由f(x)>－1，得

或或

解得0<x<2，

故M＝{x|0<x<2}．

(2)由(1)知0<a<2，

因为a2－a＋1－＝＝，

当0<a<1时，<0，

所以a2－a＋1<，

当a＝1时，＝0，

所以a2－a＋1＝，

当1<a<2时，>0，

所以a2－a＋1>，

综上所述：当0<a<1时，a2－a＋1<，

当a＝1时，a2－a＋1＝，

当1<a<2时，a2－a＋1>.

4．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，求证：＋≥4.

证明：由是3a与3b的等比中项得3a·3b＝3，

即a＋b＝1.要证原不等式成立，

只需证＋≥4，即证＋≥2.

∵a>0，b>0，∴＋≥2

＝2，

∴＋≥4.

5．(2016·课标全国Ⅱ，24)已知函数f(x)＝x－＋x＋，M为不等式f(x)<2的解集．

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.

解析：(1)解：f(x)＝

当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1，所以－1<x≤－；

当－<x<时，f(x)<2，恒成立；

当x≥时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，所以≤x<1.

所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．

(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0.

因此|a＋b|<|1＋ab|.

6．设函数f(x)＝|x－a|.

(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；

(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋4n≥2＋3.

解析：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，

∴或

或，

∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．

(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，

而f(x)≤1的解集是[0,2]，

∴，解得a＝1，

∴＋＝1(m>0，n>0)，

∴m＋4n＝(m＋4n)＝3＋＋≥2＋3(当且仅当m＝2n时取等号)．