课时作业(六十五) 不等式的证明 练习

课时作业(六十五)　不等式的证明1．如果x>0，比较(－1)2与(＋1)2的大小．解析：(－1)2－(＋1)2＝[(－1)＋(＋1)][(－1)＋(＋1)]＝－4.因为x>0，所以>0，所以－4<0，所以(－1)2<(＋1)2.2．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；(2)求证：＋＋≥2.证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤.(2)因为≥，≥，≥，所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2.3．已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记f(x)>－1的解集为M.(1)求M；(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小．解析：(1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝由f(x)>－1，得或或解得0<x<2，故M＝{x|0<x<2}．(2)由(1)知0<a<2，因为a2－a＋1－＝＝，当0<a<1时，<0，所以a2－a＋1<，当a＝1时，＝0，所以a2－a＋1＝，当1<a<2时，>0，所以a2－a＋1>，综上所述：当0<a<1时，a2－a＋1<，当a＝1时，a2－a＋1＝，当1<a<2时，a2－a＋1>.4．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，求证：＋≥4.证明：由是3a与3b的等比中项得3a·3b＝3，即a＋b＝1.要证原不等式成立，只需证＋≥4，即证＋≥2.∵a>0，b>0，∴＋≥2＝2，∴＋≥4.5．(2016·课标全国Ⅱ，24)已知函数f(x)＝x－＋x＋，M为不等式f(x)<2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.解析：(1)解：f(x)＝当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1，所以－1<x≤－；当－<x<时，f(x)<2，恒成立；当x≥时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，所以≤x<1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0.因此|a＋b|<|1＋ab|.6．设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋4n≥2＋3.解析：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，∴或或，∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，∴，解得a＝1，∴＋＝1(m>0，n>0)，∴m＋4n＝(m＋4n)＝3＋＋≥2＋3(当且仅当m＝2n时取等号)．