2020数学（理）二轮教师用书：第2部分专题5第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质


第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质
[教师授课资源]
[备考指导]
圆锥曲线命题方向
高考中一般2道选择、填空题，1道大题，命题时三种圆锥曲线全部考查，选择、填空题考两种圆锥曲线，大题考一种．
①选择、填空题以考查圆锥曲线定义基本性质为主，坚持四个原则．
1°数形结合，画图.2°定义活用(距离转化).3°有关结论引用.4°特殊值法，尽量不能小题大做(大量运算).5°平面几何知识应用(角平分线，中位线，Rt△)．
②大题的难度有所转化，掌握基本题型及解析几何处理问题的基本思想．
题型：定值、定点、最值、范围．
思想方法：设而不求，特殊到一般，整体代换．

2°重视圆锥曲线的切线问题．
3°重视求轨迹方程(直接法、定义法、相交点法、点差法)．
4°重视圆锥曲线的类型(焦点位置)．
5°圆锥曲线的焦点弦长问题，灵活应用极坐标．
6°重视以双曲线渐近线为背景的题目．
7°重视向量在解析几何中工具利用，如转化垂直，x1x2＋y1y2，转化锐角或钝角．
8°重视弦长公式|AB|＝|x1－x2|＝的化简技巧．
9°易忽视设直线方程时没讨论斜率k不存在情况．

[做小题——激活思维]
1．已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，离心率为，则椭圆C的标准方程是(　　)
A.＋＝1　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
C　[由题意可得2c＝4，故c＝2，又e＝＝，解得a＝2，故b＝＝2，因为焦点在y轴上，故椭圆C的标准方程是＋＝1.]
2．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为(　　)
A．30 B．25
C．24 D．40
C　[∵|PF1|＋|PF2|＝14，
又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.
∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2，
∴S＝|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.]
3．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝－12y D．x2＝12y
D　[由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.]
4.点M(1,1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，则a的值为(　　)
A． B．－
C．或－ D．－或
C　[抛物线y＝ax2化为x2＝y，它的准线方程为y＝－，点M(1,1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，可得＝2，解得a＝或－.]
5．“k＜9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)＜0，所以k＜9或k＞25，所以“k＜9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.]
6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
C　[因双曲线方程C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，
则e2＝＝＝1＋＝，
即＝，∴＝，
又因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x，故选C.]
[扣要点——查缺补漏]
1．椭圆的定义标准方程及几何性质

(1)定义：|PF1|＋|PF2|＝2a；如T2.
(2)焦点三角形的面积：S△PF1F2＝b2tan .
(3)离心率：e＝＝；如T1.
(4)焦距：2c.
(5)a，b，c的关系：c2＝a2－b2.
2．双曲线－＝1(a，b≠0)的几何性质
(1)离心率e＝＝；
(2)渐近线：y＝±x.
3．抛物线的定义、几何性质
(1)如图，|MF|＝|MH|.如T3，T4.

(2)已知抛物线y2＝2px(p>0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为焦点．
①焦半径|CF|＝x1＋；
②过焦点的弦长|CD|＝x1＋x2＋p＝；
③x1x2＝，y1y2＝－p2.
④＋＝.
4．方程Ax2＋By2＝1表示的曲线
(1)表示椭圆：A＞0，B＞0且A≠B；
(2)表示圆：A＝B＞0；
(3)表示双曲线AB＜0；如T5.
(4)表示直线：A＝0且B≠0或A≠0且B＝0.

　圆锥曲线的定义、标准方程(5年5考)

[高考解读]　以抛物线、双曲线、椭圆的定义和标准方程为载体，以定义转化为媒介，通过平面几何图形中的几何等量关系、待定系数法、解三角形的有关知识等求得相应曲线的标准方程，体现了等价转化和方程的求解思想.
1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3)　　　　　 B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
A　[若双曲线的焦点在x轴上，则
又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴
∴－1 若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为
－＝1，即
即n>3m2且n<－m2，此时n不存在．故选A.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
B　　[由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，连接F1A(图略)，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B.]
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
6　[如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]
[教师备选题]
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
B　[由y＝x可得＝. ①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9. ②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.]
2．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．
(3，)　[设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．
因为点M在椭圆＋＝1上，
所以联立方程可得解得
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．]

求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
提醒：对于抛物线问题，看到准线想到焦点，看到焦点想到准线．

1．(离心率问题)设F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点，点P在双曲线C的右支上且|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为a2，则双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C．4 D．2
B　[由|F1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，
所以△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2.
由S＝a2可知|PF1||PF2|＝2a2，
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
∴(|PF1|－|PF2|)2＝－2|PF1||PF2|＋|F1F2|2，
即4a2＝－4a2＋4c2，
∴e2＝＝＝2，
又e＞1，∴e＝，故选B.]
2．[一题多解](曲线方程问题)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(　　 )
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝x
C　[法一：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设＝a，则由已知得＝2a，由抛物线定义，得＝a，
故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ∵＝|AF|＝3，
＝3＋3a，∴2＝，即3＋3a＝6，
从而得a＝1，＝3a＝3.
∴p＝＝＝，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.
法二：由法一可知∠CBD＝60°，
则由|AF|＝＝3可知p＝3＝，
∴2p＝3，
∴抛物线的标准方程为y2＝3x.]
3．(轨迹问题)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则C点轨迹方程为(　　 )
A.＋＝1(y≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
D　[∵△ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，
∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵10>8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝8，即a＝5，c＝4，∴b＝3.∴C点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．故选D.]
　圆锥曲线的几何性质(5年10考)

[高考解读]　该考点是高考的核心热点之一，主要考查考生数形结合思想和化归与转化思想的应用，考查数学运算，直观想象的核心素养.
1．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
A　[法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
法二：由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
D　[由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.]
3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
B　[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.]

1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值．
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．

1．(求离心率的取值范围)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
B　[∵F1，F2是椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，
∴F1(－c,0)，F2(c,0)，c2＝a2－b2.
设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.
联立方程组
整理得，x2＝(2c2－a2)·≥0，
解得e≥.
又0＜e＜1，∴≤e＜1.]
2．(求离心率的值)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
－1　2　[如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．
∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝x，
∴＝.设m＝k，则n＝k，则双曲线N的离心率e2＝＝2.
连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F2＝30°.
设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝2a，即(＋1)c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝＝＝＝－1.]
3．(圆锥曲线的性质与函数交汇)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为________．
[3＋2，＋∞)　[由题意，得22＝a2＋1，即a＝，
设P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，
则·＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1
＝－，
因为x≥，所以·的取值范围为[3＋2，＋∞)．]
4．(与向量交汇考查几何性质)在椭圆＋＝1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有·≤1，则与的夹角余弦值的范围为________．
　[设P(x，y)，则Q点(x，－y)，
椭圆＋＝1的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
∵·≤1，∴x2－2＋y2≤1，
结合＋＝1，可得y2∈[1,2]．
故与的夹角θ满足：
cos θ＝＝＝＝－3＋∈.]
　直线、圆与圆锥曲线的交汇问题(5年6考)

[高考解读]　以直线与圆锥曲线或以圆与圆锥曲线的位置关系为载体，考查曲线方程的求解等问题，体现了数形结合的思想和等价转化的能力.
1．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得＝－.
∴＝－.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝.
而kAB＝＝，∴＝，∴a2＝2b2，
∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3，
∴E的方程为＋＝1.]
2．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
A　[令双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝.
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得＋＝a2，∴＝，即离心率e＝.故选A.]
3．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解](1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.

1．在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题．一般是先联立方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解．
2．处理圆与圆锥曲线相结合问题的注意点
注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．
提醒：“点差法”是解决中点弦问题的捷径，但必要时需要检验．

1．(面积问题)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
D　[易知直线AB的方程为y＝，与y2＝3x联立并消去x，得4y2－12y－9＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－.
S△OAB＝|OF|·|y1－y2|
＝×＝＝.故选D.]
2．(弦长问题)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，且被圆x2＋(y－a)2＝1截得的弦长为，则a＝(　　 )
A. B.
C. D.
B　[可以设切点为(x0，x＋1)，由y′＝2x，∴切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x＋1，
∵已知双曲线的渐近线为y＝±x，
∴x0＝±1，＝2，一条渐近线方程为y＝2x，圆心(0，a)到直线y＝2x的距离是＝⇒a＝.故选B.]
3.(最值问题)如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为(　　)
A．23 B．42
C．12 D．52
A　[由题意可设抛物线C1的方程为y2＝2px(p＞0)，
因为抛物线C1过点(2,4)，所以16＝2p×2，解得p＝4，所以抛物线C1的方程为y2＝8x.
圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0整理得(x－2)2＋y2＝1，
可知圆心C2(2,0)恰好是抛物线y2＝8x的焦点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
①当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，所以P(2,4)，Q(2，－4)，
于是|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋|C2N|＋4|QC2|＋4|C2M|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.
②当直线l的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
则Δ＞0，且x1x2＝4，即x2＝.
所以|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝x1＋2＋4(x2＋2)＋5＝x1＋4x2＋15＝x1＋＋15≥2＋15＝8＋15＝23，
当且仅当x1＝，即x1＝4时等号成立．
因为23＜25，所以|PN|＋4|QM|的最小值为23.故选A.]