2020数学（文）二轮教师用书：第2部分专题5第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质


第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质

[做小题——激活思维]
1．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为(　　)
A．12　　　B．16　　　C．20　　　D．24
C　[△F1AB的周长为
|F1A|＋|F1B|＋|AB|
＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|
＝2a＋2a＝4a.
在椭圆＋＝1中，a2＝25，a＝5，
∴△F1AB的周长为4a＝20，故选C.]
2．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
D　[由已知得|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．]
3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
17　[由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]
4．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e＝，则实数k的值是________．
或　[当k＞4时，有e＝＝，解得k＝；当0＜k＜4时，有e＝＝，解得k＝.故实数k的值为或.]
5．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
5　[∵双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.]
6．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．
　[由8x2＋y＝0，得x2＝－y.
∴2p＝，p＝，
∴焦点为.]
[扣要点——查缺补漏]
1．圆锥曲线的定义及标准方程
(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如T3.
(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化．如T1，T2.
(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．
2．圆锥曲线的几何性质
(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，如T4.
(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．

　圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)

[高考解读]　高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
切入点：|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|.
关键点：挖掘隐含条件，确定点A的位置，求a，b的值．
B　[设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，
∴|AF1|＋2|AB|＝4a.
又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，
∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，
又F2(1,0)，＝2，∴B.
将B点坐标代入椭圆方程＋＝1，得＋＝1，
∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.
故选B.]
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
切入点：△APF的周长最小．
关键点：根据双曲线的定义及△APF周长最小，确定P点坐标．
12　[由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3，0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝＝15为定值，
所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．

由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12.]
[教师备选题]
1．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
－y2＝1　[法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，
∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得

解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.]
2．(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
A　[设双曲线的右焦点为F(c,0)．
将x＝c代入－＝1，得－＝1，
∴ y＝±.
不妨设A，B.
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
则d1＝＝＝(c－b)，
d2＝＝＝(c＋b)，
∴ d1＋d2＝·2c＝2b＝6，∴ b＝3.
∵ ＝2，c2＝a2＋b2，∴ a2＝3，
∴ 双曲线的方程为－＝1.
故选A.]


1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．
易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．
2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”
(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程；
(2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．

1．(椭圆的定义)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
D　[如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，
|PF1|＝2a－|PF2|＝，
所以＝.故选D.]
2．(双曲线的标准方程)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
A　[易知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2.结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1.]
3．(抛物线的定义)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.
4　[设直线AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C(图略)，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.]
　圆锥曲线的性质(5年17考)

[高考解读]　高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线，难度适中.
1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．8
切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点．
关键点：正确用p表示抛物线和椭圆的焦点．
D　[抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，
椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)．
由题意得＝，∴p＝0(舍去)或p＝8.
故选D.]
2．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
切入点：以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2相交且|PQ|＝|OF|.
关键点：正确确定以OF为直径的圆的方程．
A　[令双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝.
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得2＋2＝a2，∴＝，即离心率e＝.
故选A.]
3．[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
切入点：C上存在点M满足∠AMB＝120°.
关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m的不等式．
A　[法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)．
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，
则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)
＝＝.
又tan∠AMB＝tan 120°＝－，
且由＋＝1可得x2＝3－，
则＝＝－.
解得|y|＝.
又0<|y|≤，即0＜≤，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.
对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.
法二：当0 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0 当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.]
[教师备选题]
1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
A　[因为双曲线的离心率为，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以(a)2＝a2＋b2，化简得2a2＝b2，所以＝.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以y＝±x.故选A.]
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)
A. B.
C. D.
D　[因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．
因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．
因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，
所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，
所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.
故选D.]
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.
故选A.]


1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值．
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．

1．(椭圆的离心率)[一题多解]直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.

B　[法一：如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.故选B.
法二：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意可取直线l的方程为y＝x＋b，椭圆中心到l的距离为，由题意知＝×2b，即＝，故离心率e＝.]
2．(双曲线的离心率)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，M为双曲线右支上一点，N是MF2的中点，O为坐标原点，且ON⊥MF2,3|ON|＝2|MF2|，则C的离心率为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
B　[连接MF1(图略)，由双曲线的定义得|MF1|－|MF2|＝2a，因为N为MF2的中点，O为F1F2的中点，所以ON∥MF1，所以|ON|＝|MF1|，因为3|ON|＝2|MF2|，所以|MF1|＝8a，|MF2|＝6a，因为ON⊥MF2，所以MF1⊥MF2，在Rt△MF1F2中，由勾股定理得(8a)2＋(6a)2＝(2c)2，即5a＝c，因为e＝，所以e＝5，故选B.]
3．(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
B　[抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.故选B.]
　直线与圆锥曲线的综合问题(5年5考)

[高考解读]　直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点，主要涉及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养.
角度一：直线与圆锥曲线的位置关系
1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
切入点：①直线l过点A；②l与C交于M，N两点；③l与x轴垂直．
关键点：将问题转化为证明kBM与kBN具有某种关系．
[解]　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为
kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
角度二：直线与圆锥曲线的相交弦问题
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．
(1)证明：k<－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：2||＝||＋||.
切入点：①直线l与椭圆C相交；②AB的中点M(1，m)．
关键点：根据＋＋＝0及点P在C上确定m，并进一步得出||，||，||的关系．
[证明]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
由题设知＝1，＝m，于是k＝－.
由题设得0 (2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则
(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．
由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.
又点P在C上，所以m＝，从而P1，－，||＝.
于是||＝＝＝2－.
同理||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||.
[教师备选题]
(2018·北京高考)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.
[解]　(1)由题意得解得a＝，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝
＝
＝ .
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得x＋3y＝3，x＋3y2＝3.
直线PA的方程为y＝(x＋2)．
由
得[(x1＋2)2＋3y]x2＋12yx＋12y－3(x1＋2)2＝0.
设C(xC，yC)，
所以xC＋x1＝＝.
所以xC＝－x1＝.
所以yC＝(xC＋2)＝.
设D(xD，yD)，
同理得xD＝，yD＝.
记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，
则kCQ－kDQ＝－
＝4(y1－y2－x1＋x2)．
因为C，D，Q三点共线，
所以kCQ－kDQ＝0.
故y1－y2＝x1－x2.
所以直线l的斜率k＝＝1.


1．判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法
(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得到一个一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；
(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点个数．
2．弦长公式
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C的两交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
则|PQ|＝|x1－x2|＝.
或|PQ|＝|y1－y2|＝(k≠0)．
3．弦的中点
圆锥曲线C：f(x，y)＝0的弦为PQ.若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点M(x0，y0)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.


1．(直线与椭圆的综合)已知离心率为的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，且·＝－1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆左焦点F的直线l与椭圆交于M，N两点，且直线l与x轴不垂直，若D为x轴上一点，||＝||，求的值．
[解]　(1)A1，A2，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，(0，b)，
·＝(－a，－b)·(a，－b)＝b2－a2＝－1，∴c2＝1.
又e＝＝，∴a2＝4，b2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知F(－1,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵直线l与x轴不垂直，∴可设其方程为y＝k(x＋1)．
当k＝0时，易得|MN|＝4，|DF|＝1，＝4.
当k≠0时，联立得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|MN|＝＝|x1－x2|＝＝.
又y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝，
∴MN的中点坐标为，
∴MN的垂直平分线方程为y－＝－(k≠0)，
令y＝0得，x＋＝0，解得x＝－.
|DF|＝＝，∴＝4.
综上所述，＝4.
2．(直线与抛物线的综合)过抛物线E：x2＝4y的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，抛物线在M，N两点处的切线交于点P.
(1)证明点P落在抛物线E的准线上；
(2)设＝2，求△PMN的面积．
[解]　(1)抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.
设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入抛物线方程x2＝4y，整理得x2－4kx－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
对y＝x2求导，得y′＝x，
所以直线PM的方程为y－y1＝x1(x－x1)．①
直线PN的方程为y－y2＝x2(x－x2)．②
联立方程①②，消去x，得y＝－1.
所以点P落在抛物线E的准线上．
(2)因为＝(－x1,1－y1)，＝(x2，y2－1)，且＝2.
所以得x＝8，x＝2.
不妨取M(2，2)，N(－，)，由①②得P.
易得|MN|＝，点P到直线MN的距离d＝，
所以△PMN的面积S＝××＝.