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2019-2020学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷
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2019-2020学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）
1．（2分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝2 C．x≠﹣3 D．x≠2
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a3•a3＝a9 C．（a3）2＝a6 D．（ab）2＝ab2
3．（2分）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2+3x+2＝x（x+3）+2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3）
C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）
4．（2分）以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2分）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
6．（2分）三角形的三边长可以是（ ）
A．2，11，13 B．5，12，7 C．5，5，11 D．5，12，13
7．（2分）如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2分）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．13 B．16 C．8 D．10
9．（2分）已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC＝2AE；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）若x2+mx+16＝（x+n）2，则常数m＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，△ABC的面积为12，则CD的长为 ．
14．（3分）已知一个凸多边形的每个内角都是150°，则它的边数为 ．
15．（3分）已知m+2n﹣2＝0，则2m•4n的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
17．（8分）计算：
（1）•（6x2y）2；
（2）（a+b）2+b（a﹣b）．
18．（8分）分解因式：
（1）ax2﹣9a；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3．
19．（8分）计算：
（1）+；
（2）÷（1﹣）．
20．（8分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
22．（10分）列方程解应用题：
初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．
（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原米的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
2019-2020学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）
1．（2分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝2 C．x≠﹣3 D．x≠2
【分析】直接利用分式的值为零的条件分析得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x+3＝0，
解得：x＝﹣3．
故选：A．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a3•a3＝a9 C．（a3）2＝a6 D．（ab）2＝ab2
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，对各选项分析判断后得结论．
【解答】解：因为a2与a3不是同类项，所以选项A不正确；
a3•a3＝a6≠a9，所以选项B不正确；
（a3）2＝a3×2＝a6，所以选项C正确；
（ab）2＝a2b2≠ab2，所以选项D不正确．
故选：C．
3．（2分）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2+3x+2＝x（x+3）+2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3）
C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）
【分析】根据因式分解的方法进行计算即可判断．
【解答】解：A．因为x2+3x+2＝（x+1）（x+2），故A错误；
B．因为4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3），故B错误；
C．因为a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故C错误；
D．因为x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故D正确．
故选：D．
4．（2分）以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形直接回答即可．
【解答】解：第一个、第三个和第四个是轴对称图形，只有第二个不是轴对称图形，
故选：C．
5．（2分）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解答】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×＝65°；
当50°是底角时亦可．
故选：C．
6．（2分）三角形的三边长可以是（ ）
A．2，11，13 B．5，12，7 C．5，5，11 D．5，12，13
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得出答案．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A.2，11，13中，2+11＝13，不合题意；
B.5，12，7中，5+7＝12，不合题意；
C.5，5，11中，5+5＜11，不合题意；
D.5，12，13中，5+12＞13，能组成三角形；
故选：D．
7．（2分）如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【解答】解：∵△ABE≌△ACF，
∴AC＝AB＝5，
∴EC＝AC﹣AE＝3，
故选：B．
8．（2分）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．13 B．16 C．8 D．10
【分析】由于△ABC是等腰三角形，底边BC＝5，周长为21，由此求出AC＝AB＝8，又DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到AE＝BE，由此得到△BEC的周长＝BE+CE+CB＝AE+CE+BC＝AC+CB，然后利用已知条件即可求出结果．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC＝5，周长为21，
∴AC＝AB＝8，
又∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BEC的周长＝BE+CE+CB＝AE+CE+BC＝AC+CB＝13，
∴△BEC的周长为13．
故选：A．
9．（2分）已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB＝DO，OE＝EC．然后即可得出答案．
【解答】解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC＝∠DBO，∠EOC＝∠OCB＝∠ECO，
∴DB＝DO，OE＝EC，
∵DE＝DO+OE，
∴DE＝BD+CE＝5．
故选：A．
10．（2分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC＝2AE；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝，DF＝，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM＝90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．
【解答】解：如图所示：连接BD、DC．
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．
∴①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴ED＝AD．
同理：DF＝．
∴DE+DF＝AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠ADF．
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE＝FC．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB+AC＝2AE．
故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围为 x≠﹣2 ．
【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2
故答案为：x≠﹣2
12．（3分）若x2+mx+16＝（x+n）2，则常数m＝ ±8 ．
【分析】直接利用完全平方公式得出答案．
【解答】解：∵x2+mx+16＝（x+n）2，
∴m＝±8．
故答案为：±8．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，△ABC的面积为12，则CD的长为 3 ．
【分析】利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题．
【解答】解：∵AE⊥BC，AE＝4，△ABC的面积为12，
∴×BC×AE＝12，
∴×BC×4＝12，
∴BC＝6，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BC＝3，
故答案为3．
14．（3分）已知一个凸多边形的每个内角都是150°，则它的边数为 12 ．
【分析】先求出对应的外角，再求出多边形的边数即可．
【解答】解：∵一个凸多边形的每个内角都是150°，
∴对应的外角度数为180°﹣150°＝30°，
∴多边形的边数是＝12，
故答案为：12．
15．（3分）已知m+2n﹣2＝0，则2m•4n的值为 4 ．
【分析】由m+2n﹣2＝0可得m+2n＝2，再根据幂的乘方运算法则可得2m•4n＝2m•22n，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：由m+2n﹣2＝0得m+2n＝2，
∴2m•4n＝2m•22n＝2m+2n＝22＝4．
故答案为：4．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，
∴BQ＝＝，
即PC+PQ的最小值是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
17．（8分）计算：
（1）•（6x2y）2；
（2）（a+b）2+b（a﹣b）．
【分析】（1）根据分式的乘除法的运算方法，求出算式的值是多少即可．
（2）应用完全平方公式，以及单项式乘多项式的方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）•（6x2y）2；
＝•（36x4y2）
＝12x3y2．
（2）（a+b）2+b（a﹣b）
＝a2+2ab+b2+ab﹣b2
＝a2+3ab．
18．（8分）分解因式：
（1）ax2﹣9a；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝a（x2﹣9）
＝a（x+3）（x﹣3）；
（2）原式＝﹣b（b2﹣4ab+4a2）
＝﹣b（2a﹣b）2．
19．（8分）计算：
（1）+；
（2）÷（1﹣）．
【分析】（1）直接化简分式，再利用分式的加减运算法则计算即可；
（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝
＝1；
（2）原式＝•
＝．
20．（8分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．
【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE＝∠DEF，进而可得AC∥DE；
（2）根据△ABC≌△DFE可得BC＝EF，利用等式的性质可得EB＝CF，再由BF＝13，EC＝5进而可得EB的长，然后可得答案．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠ACE＝∠DEF，
∴AC∥DE；
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC＝EF，
∴CB﹣EC＝EF﹣EC，
∴EB＝CF，
∵BF＝13，EC＝5，
∴EB＝＝4，
∴CB＝4+5＝9．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．
（2）S△ABC＝5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×2×5＝．
22．（10分）列方程解应用题：
初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间＝小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；
（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间＝大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
【解答】解：（1）设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，
根据题意得：＝++，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
1.5x＝1.5×40＝60．
答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；
（2）设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：
+＝，
解得：y＝30，
答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．
（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原米的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【分析】（1）①由“SAS”可证△BPD≌△CQP；
②由全等三角形的性质可得BP＝PC＝BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，可求解；
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，列出方程可求解．
【解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，
理由如下：∵AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，
∴AD＝12cm，BD＝6cm，∠B＝∠C，
∵经过2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，
∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，
∴t＝，
∴点Q的运动速度＝＝cm/s，
∴当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，
由题意可得：x﹣2x＝36，
解得：x＝90，
∴90﹣（）×3＝21（s），
∴经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）
1．（2分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝2 C．x≠﹣3 D．x≠2
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a3•a3＝a9 C．（a3）2＝a6 D．（ab）2＝ab2
3．（2分）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2+3x+2＝x（x+3）+2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3）
C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）
4．（2分）以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2分）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
6．（2分）三角形的三边长可以是（ ）
A．2，11，13 B．5，12，7 C．5，5，11 D．5，12，13
7．（2分）如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2分）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．13 B．16 C．8 D．10
9．（2分）已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC＝2AE；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）若x2+mx+16＝（x+n）2，则常数m＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，△ABC的面积为12，则CD的长为 ．
14．（3分）已知一个凸多边形的每个内角都是150°，则它的边数为 ．
15．（3分）已知m+2n﹣2＝0，则2m•4n的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
17．（8分）计算：
（1）•（6x2y）2；
（2）（a+b）2+b（a﹣b）．
18．（8分）分解因式：
（1）ax2﹣9a；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3．
19．（8分）计算：
（1）+；
（2）÷（1﹣）．
20．（8分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
22．（10分）列方程解应用题：
初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．
（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原米的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
2019-2020学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）
1．（2分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝2 C．x≠﹣3 D．x≠2
【分析】直接利用分式的值为零的条件分析得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x+3＝0，
解得：x＝﹣3．
故选：A．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a3•a3＝a9 C．（a3）2＝a6 D．（ab）2＝ab2
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，对各选项分析判断后得结论．
【解答】解：因为a2与a3不是同类项，所以选项A不正确；
a3•a3＝a6≠a9，所以选项B不正确；
（a3）2＝a3×2＝a6，所以选项C正确；
（ab）2＝a2b2≠ab2，所以选项D不正确．
故选：C．
3．（2分）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2+3x+2＝x（x+3）+2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3）
C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）
【分析】根据因式分解的方法进行计算即可判断．
【解答】解：A．因为x2+3x+2＝（x+1）（x+2），故A错误；
B．因为4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3），故B错误；
C．因为a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故C错误；
D．因为x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故D正确．
故选：D．
4．（2分）以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形直接回答即可．
【解答】解：第一个、第三个和第四个是轴对称图形，只有第二个不是轴对称图形，
故选：C．
5．（2分）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解答】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×＝65°；
当50°是底角时亦可．
故选：C．
6．（2分）三角形的三边长可以是（ ）
A．2，11，13 B．5，12，7 C．5，5，11 D．5，12，13
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得出答案．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A.2，11，13中，2+11＝13，不合题意；
B.5，12，7中，5+7＝12，不合题意；
C.5，5，11中，5+5＜11，不合题意；
D.5，12，13中，5+12＞13，能组成三角形；
故选：D．
7．（2分）如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【解答】解：∵△ABE≌△ACF，
∴AC＝AB＝5，
∴EC＝AC﹣AE＝3，
故选：B．
8．（2分）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．13 B．16 C．8 D．10
【分析】由于△ABC是等腰三角形，底边BC＝5，周长为21，由此求出AC＝AB＝8，又DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到AE＝BE，由此得到△BEC的周长＝BE+CE+CB＝AE+CE+BC＝AC+CB，然后利用已知条件即可求出结果．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC＝5，周长为21，
∴AC＝AB＝8，
又∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BEC的周长＝BE+CE+CB＝AE+CE+BC＝AC+CB＝13，
∴△BEC的周长为13．
故选：A．
9．（2分）已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB＝DO，OE＝EC．然后即可得出答案．
【解答】解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC＝∠DBO，∠EOC＝∠OCB＝∠ECO，
∴DB＝DO，OE＝EC，
∵DE＝DO+OE，
∴DE＝BD+CE＝5．
故选：A．
10．（2分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC＝2AE；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝，DF＝，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM＝90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．
【解答】解：如图所示：连接BD、DC．
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．
∴①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴ED＝AD．
同理：DF＝．
∴DE+DF＝AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠ADF．
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE＝FC．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB+AC＝2AE．
故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围为 x≠﹣2 ．
【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2
故答案为：x≠﹣2
12．（3分）若x2+mx+16＝（x+n）2，则常数m＝ ±8 ．
【分析】直接利用完全平方公式得出答案．
【解答】解：∵x2+mx+16＝（x+n）2，
∴m＝±8．
故答案为：±8．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，△ABC的面积为12，则CD的长为 3 ．
【分析】利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题．
【解答】解：∵AE⊥BC，AE＝4，△ABC的面积为12，
∴×BC×AE＝12，
∴×BC×4＝12，
∴BC＝6，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BC＝3，
故答案为3．
14．（3分）已知一个凸多边形的每个内角都是150°，则它的边数为 12 ．
【分析】先求出对应的外角，再求出多边形的边数即可．
【解答】解：∵一个凸多边形的每个内角都是150°，
∴对应的外角度数为180°﹣150°＝30°，
∴多边形的边数是＝12，
故答案为：12．
15．（3分）已知m+2n﹣2＝0，则2m•4n的值为 4 ．
【分析】由m+2n﹣2＝0可得m+2n＝2，再根据幂的乘方运算法则可得2m•4n＝2m•22n，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：由m+2n﹣2＝0得m+2n＝2，
∴2m•4n＝2m•22n＝2m+2n＝22＝4．
故答案为：4．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，
∴BQ＝＝，
即PC+PQ的最小值是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
17．（8分）计算：
（1）•（6x2y）2；
（2）（a+b）2+b（a﹣b）．
【分析】（1）根据分式的乘除法的运算方法，求出算式的值是多少即可．
（2）应用完全平方公式，以及单项式乘多项式的方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）•（6x2y）2；
＝•（36x4y2）
＝12x3y2．
（2）（a+b）2+b（a﹣b）
＝a2+2ab+b2+ab﹣b2
＝a2+3ab．
18．（8分）分解因式：
（1）ax2﹣9a；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝a（x2﹣9）
＝a（x+3）（x﹣3）；
（2）原式＝﹣b（b2﹣4ab+4a2）
＝﹣b（2a﹣b）2．
19．（8分）计算：
（1）+；
（2）÷（1﹣）．
【分析】（1）直接化简分式，再利用分式的加减运算法则计算即可；
（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝
＝1；
（2）原式＝•
＝．
20．（8分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．
【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE＝∠DEF，进而可得AC∥DE；
（2）根据△ABC≌△DFE可得BC＝EF，利用等式的性质可得EB＝CF，再由BF＝13，EC＝5进而可得EB的长，然后可得答案．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠ACE＝∠DEF，
∴AC∥DE；
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC＝EF，
∴CB﹣EC＝EF﹣EC，
∴EB＝CF，
∵BF＝13，EC＝5，
∴EB＝＝4，
∴CB＝4+5＝9．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．
（2）S△ABC＝5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×2×5＝．
22．（10分）列方程解应用题：
初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间＝小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；
（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间＝大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
【解答】解：（1）设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，
根据题意得：＝++，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
1.5x＝1.5×40＝60．
答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；
（2）设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：
+＝，
解得：y＝30，
答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．
（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原米的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【分析】（1）①由“SAS”可证△BPD≌△CQP；
②由全等三角形的性质可得BP＝PC＝BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，可求解；
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，列出方程可求解．
【解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，
理由如下：∵AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，
∴AD＝12cm，BD＝6cm，∠B＝∠C，
∵经过2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，
∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，
∴t＝，
∴点Q的运动速度＝＝cm/s，
∴当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，
由题意可得：x﹣2x＝36，
解得：x＝90，
∴90﹣（）×3＝21（s），
∴经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．
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