人教版新课标B必修12.1.4函数的奇偶性教学设计及反思

必修1《2.1.4 函数的奇偶性》教学设计

一．教学目标

1．理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性.

2．通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．

3．通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 

二．教学重点和难点：

1．教学重点：函数的奇偶性的定义；判断函数的奇偶性.

2．教学难点：归纳并抽象函数的奇偶性的定义.

三．教学方法与教学用具：

教学方法：教师启发讲授，学生探究学习

教学用具：多媒体演示

四．教学过程

一）引入课题

教学引入：前面我们学习了函数的单调性，它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质，今天我们继续研究函数的另一个性质，从什么角度研究呢？在现实生活中，我们有过许多对称美的感受，你能举出“对称美”的例子吗？如：

我们在数学中也能发现很多对称问题，请看下面的函数图像：

（1）中心对称图形          （2）轴对称图形
 

（二）概念形成
求值并观察总结规律
1. 已知 f (x) = 2x,

f (2) = 4         f (-2) = -4
f (1) =2          f (-1) = -2
f (-x) = -2x= -f (x)

2. 已知

f (2)= 8          f (-2)= -8
f (1) =1          f (-1) =-1
f (-x) = == -f (x)
图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
 

奇函数的定义

如果对于函数 y = f (x)的定义域 A内的任意一个 x,
都有 f (-x) = -f (x),则这个函数叫做奇函数.
奇函数的图象特征
以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称.

改变奇函数的定义域,它还是奇函数吗 ？
(x≠0)  是    (x≠1)  否   (x≥0) 否  (-1≤x≤1) 是
奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称
判断下列函数是奇函数吗
(1) f (x) = x3,x [-1,3]; 否
(2) f (x) = x,x (-1,1]. 否
 

例1   判断下列函数是不是奇函数：

（1）f（x）=      ；        （2）f（x）= -x3 ；

（3）f（x）= x +1 ；           （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．

解:   （1）函数 f（x）=       的定义域为A = { x | x ≠ 0} ，

所以当 x  A 时，-x  A．

因为 f（-x）=  - = - f（x），

所以函数 f（x）=       是奇函数．

解:   （2）函数 f（x）= -x3 的定义域为R，

所以当 x  R时，-x  R．

因为 f（-x）= -(-x)3 = x3 = - f（x），

所以函数 f（x）= -x3 是奇函数．

解:   （3）函数 f（x）= x+1 的定义域为R，

所以当 x  R时，-x  R．因为f（-x）= -x +1

- f（x）= -（ x + 1 ） = - x - 1 ≠ f（ - x），

所以函数 f（x）= x+1 不是奇函数．

解:   （4）函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7的定义域为R，

所以 x  R 时， 有- x  R ．

f（-x）= - x + (- x)3 + (- x)5 + (- x)7

                     = - (x + x3 + x5 + x7) = - f（x） ．

所以函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7是奇函数．

（三）自主探究

偶函数的定义
如果对于函数 y = f (x)的定义域A内的任意一个 x,
都有 f (-x) = f (x),则这个函数叫做偶函数.
偶函数的图象特征
以y 轴为对称轴的轴对称图形.
定义域对应的区间关于坐标原点对称.
偶函数 图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形

y=f(x)
(x,  f(x))关于y轴对称的点是(-x, f(-x))
例2   判断下列函数是不是偶函数：

（1）f（x）= x2 + x4 ；    （2）f（x）=  x2 + 1；

（3）f（x）= x2 + x3 ；    （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1， 3]．

解： （1）函数 f（x）= x2 + x4 的定义域为R，

所以当 x  R时，-x  R．

因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)4  = x2 + x4 =  f（x），

所以函数 f（x）= x2 + x4  是偶函数．

解： （2）函数 f（x）= x2 + 1的定义域为R，

所以当 x  R时，-x  R．

因为 f（-x）= (-x)2 +1 = x2 + 1 = f（x） ，

所以函数 f（x）= x2 + 1  是偶函数．

解： （3）函数 f（x）= x2 + x3 的定义域为R，

所以当 x  R时，-x  R．

因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)3  = x2 – x3 ，

所以当 x ≠ 0时， f（-x）≠ f（x）

函数 f（x）＝ x2 + x3  不是偶函数．

解： （4）函数f（x）= x2 + 1 ，x[-1, 3]

                 的定义域为A=[-1, 3] ，

           因为 2  A，而-2 A ．

        所以函数 f（x）= x2 + 1 ，x[-1, 3] 不是偶函数．
 

练习：判断下列函数是不是偶函数:
 

(1)f(x)= (x +1) (x -1) ;
 

(2)f(x)= x2+1,x [-1,1] ;
 

(3)f(x)=

（四）、归纳小结：1、奇函数、偶函数的定义

          2、判断奇函数和偶函数的方法

（五）、教材P49，练习A第 1、2 题 （甲）

　　          习题2.—1第 7、8 题  （乙）