黑龙江省牡丹江市第一高级中学2021届高三上学期开学考试 数学（理）（含答案）
展开牡丹江市第一高级中学2021届高三上学期开学考试
理科数学
一、选择题（每题5分，共60分）
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列不等式中，正确的是
A．若，则; B．若，则;
C．若，则; D．若，则.
3.已知条件，条件，则是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知曲线和曲线围成一个叶形图，则其面积为 （ ）
A．1 B． C． D．
5.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6.一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球．在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
8．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．72种
9.已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10.函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
- 2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标，单位为g，该厂每天生产的质量在的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为（ ）
参考数据：若，则，
，．
A．158 700 B．22 750 C．2 700 D．1 350
12．已知函数与的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知命题，，则命题的否定为
14. 的展开式中的项的系数等于____________
15.设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，则
（1）2是函数的周期；
（2）函数在上是减函数，在上是增函数；
（3）函数的最大值是1，最小值是0；
（4）当时，.
其中所有错误命题的序号是________．
- 已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为_________．
三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）
17. 解下列不等式．
（1）；
（2）.
18.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求的最值，并求取得最值时的值．
- 已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的极值.
20.在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收人为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如下．
（1）计算图中的值；
（2）文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求的分布列及数学期望和方差．
21.某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，从产品中随机抽取了个进行测量，根据所测量的数据画出频率分布直方图如下：
如果：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率.
(1)从产品中随机抽取件，合格品的个数为，求的分布列与期望;
(2)为了提高产品合格率，现提出，两种不同改进方案进行试验，若按方案进行试验后，随机抽取件产品，不合格个数的期望是：若按方案试验后，抽取件产品，不合格个数的期望是，你会选择哪个改进方案?
22.已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）当，时，
①证明：函数恰有一个零点；
②设为的极值点，为的零点，证明：.
参考数据：
牡一中2018级高三8月份开学测试答案
理科数学试题
1—5 AABDC 6—10 ABCDB 11—12 DA
13.
14. 10 15.（3） 16.
17.（1）；（2）
18. 解：（1）由题意可得：，即，解得：；
即函数的定义域为；
令，则其为开口向下的二次函数，且对称轴为，
当时，函数单调递增，
时，函数单调递减；
又为减函数；
所以，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）得：
无最大值，
当时，有最小值，
综上所述，当时，最小值为，无最大值
19.解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，
f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
20.解：（1）由题意可得，解得，
所以，，；
（2）记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组，共9人；
“同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B组，共6人；
“同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为C组，共6人；
所以按分层抽样，组被抽取的人数分别为、、；
在被抽取的7人中，没有观看《我和我的祖国》的有2人，
，
则，，，
所以X的分布列如下：
X | 0 | 1 | 2 |
P |
X的数学期望．
X的方差
21.解：（1）由直方图可知抽出产品为合格品的率为
即推出产品为合格品的概率为，
从产品中随机抽取件.合格品的个数的所有可能取值为0，1，2，3，4，
且，，
，
，.
所以的分布判为
的数学期望.
（2）方案随机抽取产品不合格的概率是，随机抽取件产品，不合格个数：
按方案随机抽取产品不合格的概率是，随机抽取件产品，不合格个数
依题意，，
解得，
因为，
所以应选择方案.
22.解：（1）若在恒成立，即在恒成立，
令，则.
当时，；当时，.
即在上单调递减；在上单调递增.
故，即，所以.
（2）当时，，，
①（i）当时，，即在上没有零点.
（ii）当时，令，则，
所以在上单调递增，，，
所以在上存在唯一实根，故在上单调递减，在上单调递增.
又因为，，，
所以在上有且只有一个零点.
综上，函数在上恰有一个零点；
②因为为的极值点，所以，即.
因为的导函数为在上恒成立，所以在上单调递减，因此恒成立，
即对任意成立，所以，，
所以有，即有成立.
令，，，所以在上单调递增，，，在上有且仅有一个零点，设为.
而，所以，故.
由①，所以，
故.
