高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解完美版ppt课件

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某电视台财经频道精心打造了一档大型体验式购物节目.这个节目根植于百姓生活,运用“看商品,猜价格”的游戏形式,将各类商品和大规模的互动体验结合起来,充分激发了观众的参与热情.每位选手只要在规定时间内猜出的某商品价格在主持人展示的区间内,就可以把它拿走.当选手说出一个价格不在规定区间内时,主持人会提示“高了”或“低了”.如果选手想用尽可能少的次数猜对价格,应该采用什么样的猜价方法呢?
二分法1.定义:对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b].若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,　 　　　,则每次取区间的　　　　,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. 2.用二分法求方程f(x)=0近似解的一般步骤(1)确定初始区间[a,b],使　　　　　　　. (2)取区间中点x1=　　　　. (3)计算f(x1),以决定取区间　　　　或　　　　: ①若f(x1)=0,则x1就是　　　　　　　　; ②若f(a)·f(x1)<0,则方程的根在区间(a,x1)上,令　　　　　　; ③若f(x1)·f(b)<0,则方程的根在区间(x1,b)上,令　　　　　　. 
f(a)·f(b)<0
(4)逐步缩小区间的“长度”,判断是否达到精确度要求.名师点析1. 用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间,进而得到一个近似解.2.二分法求方程近似解仅对对应函数的变号零点(曲线通过零点,且在零点两侧附近函数值异号)适用,对函数的不变号零点(曲线通过零点,且在零点两侧附近函数值同号)不适用,如函数f(x)=(x-1)2,它的零点就不能用二分法求解.
微技巧二分法的步骤的记忆口诀定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办?精确度上来判断.
微练习1下列函数图象与x轴均有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
微练习2若函数f(x)=x-3+lg3x的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:
f(2)≈-0.369 1　f(2.5)≈0.334 0f(2.25)≈-0.011 9f(2.375)≈0.162 4f(2.312 5)≈0.075 6f(2.281 25)≈0.031 9
则方程x-3+lg3x=0的一个近似解(精确度0.1)为(　　)A.2.1B.2.2C.2.3D.2.4
答案:C　解析:由参考数据可知f(2.25)·f(2.312 5)<0,且|2.312 5-2.25|=0.062 5<0.1,所以当精确度为0.1时,可以将x=2.3作为函数f(x)=lg3x+x-3零点的近似值,也即为方程x-3+lg3x=0的近似解.
二分法定义的理解例1(1)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间为(　　)A.[-2,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2](2)下列图象表示的函数中,能使用二分法求零点的是(　　)
反思感悟1.在二分法中,初始区间的选择不唯一,一般应在两个整数间,初始区间不同时,二分的次数可能不同.2.如果函数f(x)的某个零点x0的左右两侧附近的函数值是同号的,那么这样的零点就不能用二分法求解.
答案: (1) A　(2)C　解析:(1)由于f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(1)=13+5=6>0,f(-2)·f(1)<0,因此可以将[-2,1]作为初始区间,故选A.(2)能用二分法求函数零点的函数,在零点的左右两侧的函数值符号相反,由图象可得,A,B,D不能满足此条件,故选C.
变式训练1(1)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)A.f(x)=2x+3B.f(x)=ln x+2x-6C.f(x)=x2-2x+1D.f(x)=2x-1
(2)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点近似值时,已知f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1= =3,计算得f(4)·f(3)<0,则函数零点所在的区间是(　　)A.(2,4)B.(2,3)C.(3,4)D.无法确定
答案: (1) C　(2)B　解析:(1)因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以在零点的左右两侧附近函数值同号,所以不能用二分法求其零点,故选C.(2)由f(2)·f(4)<0,f(4)·f(3) >0知f(2)·f(3) <0.故函数零点所在的区间是(2,3).
用二分法求方程的近似解例2求方程lg x-2-x+1=0的近似解(精确度为0.1).分析先确定f(x)=lg x-2-x+1的零点所在的大致区间,再用二分法求解.
解:令f(x)=lg x-2-x+1,函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为函数f(x)在(0,+∞)上是增函数(证明略),所以f(x)至多有一个零点.又因为f(1)=0.5>0,f(0.1)≈-0.933<0,所以方程在[0.1,1]内有唯一实数解.使用二分法求解,如下表
至此,得到区间[0.493 75,0.55],其区间长度为0.55-0.493 75=0.056 25<0.1,由于要求的精度为0.1,则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解,不妨取0.5作为方程的近似解.
反思感悟利用二分法求方程近似解的注意事项(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地显示出逐步缩小的零点所在区间及其长度.(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,及时终止计算.
以下用二分法求其零点的近似值.由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:
由于区间(1.257 812 5,1.265 625)的长度为1.265 625-1.257 812 5=0.007 812 5<0.01,
二分法思想的实际应用例3在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到某指挥部(设为B)的电话线路在某一处发生了故障.这是一条10 km长的线路,想要尽快地查出故障所在.如果沿着线路一小段一小段地查找,困难很多,每查一小段需要很长时间.(1)维修线路的工人师傅随身带着话机,他应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半?(2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m~100 m,最多要查多少次?
解:(1)如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,假设发现AC段正常,可断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次若发现BD段正常,可断定故障在CD段,再到CD段中点E来查,依次类推即可.(2)每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此最多查7次就够了.
反思感悟二分法在实际生活中经常用到.如在平时的线路故障、气管故障等检查中,可以利用二分法较快地得到结果.还可用于实验设计、资料查询等方面.用二分法解决实际问题时应考虑的两个问题:一是转化成函数的零点问题;二是逐步缩小考察范围,逼近问题的解.
变式训练3某电视台有一档娱乐节目,主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖给选手.某次猜一种品牌的手机,手机价格在500~1 000元之间,选手开始报价:1 000元,主持人说:高了.选手紧接着报价900元,高了;700元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?
解:取价格区间[500,1 000]的中点750,如果主持人说低了,就再取区间[750,1 000]的中点875;否则取另一个区间[500,750]的中点;若遇到小数,则取整数,照这种方案,游戏过程猜价如下:750,875,812,843,859,851,经过6次可以猜中价格.
二分法在搜索中的应用日常生活中,我们经常要利用计算机、网络来搜索信息.你知道吗?二分法在搜索的过程中扮演着非常重要的角色.下图中的15个数是按从小到大排列的.258111216232729355153697577如果随机给出一个不大于100的自然数x,要让计算机查找x是否在上面这列数中,设计怎样的查找方法,才能保证不管给出的是什么数,都能在指定的步骤内查到结果呢?如果让计算机将x逐一与图中的数去比较,那么在有些情况下,只要比较1次就可以了(例如x=1),但在有些情况下,却要比较15次才能完成任务(例如x=80).
如果我们用二分法的思想来查找,情况就不一样了:每一次都让x与序列中正中间的数进行大小比较,通过这种方式缩小其可能的位置范围.例如,x=13时的查找过程可用下图表示.
由此不难看出,不管给出的是什么数,最多4次就能完成任务.计算机中的很多搜索程序都是用类似方法编写的,而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用,感兴趣的同学去查阅有关书籍和网站吧!
1.已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求其零点的个数分别为(　　)A.4,4 B.3,4C.5,4 D.4,3
答案:D　解析:由题图知函数f(x)与x轴有4个公共点,因此零点个数为4,从左往右数第4个公共点横坐标的左右两侧的函数值同号,因此不能用二分法求该零点,而其余3个均可使用二分法来求.故选D.
2.用二分法求函数f(x)=-x3-3x+5的近似零点时的初始区间是(　　)A.(-3,1)B.(1,2)C.(-2,-1)D.(-3,-2)
解析:本题考查对用二分法求函数零点近似值的理解及初始区间的选择.∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(-3)=41,∴f(1)·f(2)<0.又函数f(x)=-x3-3x+5的定义域为R,故f(x)的一个零点所在的初始区间为(1,2).
3.用二分法求方程f(x)=0在区间(0,1)内的近似解时,经计算,f(0.425)<0,f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一个近似解为　　　　　　　　　　　　　.(精确度为0.1) 4.用二分法求函数f(x)=ln x-2+x在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点c= ,则下一个含零点的区间是　　　　　. 
答案:0.6(答案不唯一)　 解析:∵0.605-0.532=0.073<0.1,∴(0.532,0.605)内的值都可以作为方程精确度为0.1的一个近似解.